דאס ריעמאן זעטאַ פאָנקשען און דאס ריעמאן היפאטעזיע

דר. פּאָל פרענקס שרייבט במשנתו של שלמה מיימון:

this criticism enabled a deeper validation of Maimonides: formal synthesis was exemplified by mathematical construction, in which the intellect, the formal activity, and the constructed object were one. Mathematics was the paradigm of infinite intelligibility, in which we accomplished something like creatio ex nihilo and were similar to God

די ענציקלאָפּעדיע בּריטאַניקא איז מסביר קאַנשׁעסנאס במשנתו של שלמה מיימון (עפ״י קאנט׳ס געדאנק פון נומענאן):

It was not till 1788 that he made the acquaintance of the Kantian philosophy, which was to form the basis of his lifework, and as early as 1790 he published the Versuch über die Transcendentalphilosophie, in which he formulates his objections to the system. He seizes upon the fundamental incompatibility of a consciousness which can apprehend, and yet is separated from, the “thing-in-itself.” That which is object of thought cannot be outside consciousness; just as in mathematics √-1 is an unreal quantity, so “things-in-themselves” are ex hypothesi outside consciousness, i.e. are unthinkable

דר סקאַט עראנסאן שרייבט:

As Jordan Ellenberg, a mathematician at the University of Wisconsin, wrote, a dirty secret in mathematics is that many unsolved problems have a similar flavour: they’re less about mysterious coincidences than about the lack of them

Take, for example, the Twin Primes Conjecture, which holds that there are infinitely many pairs of prime numbers separated by 2 (such as 3 and 5, or 11 and 13). Ellenberg explains that, for this conjecture to be true, there doesn’t need to be any mysterious ‘force’ pulling primes together; there just needs not to be a mysterious force pushing them apart. Or take the Riemann Hypothesis, which states that the infinitely many non-trivial roots of a certain complex function all lie on a single line. When it’s stated that way, the hypothesis does sound like a mystery. Why should infinitely many numbers all happen to line up like that?

The mystery lessens once you realise that each zero of this function encodes global information about the distribution of prime numbers – and a single zero off the line would represent infinitely many prime numbers clumping together in astronomically improbable-seeming ways. So, if you like, one mysterious pattern has to be there to prevent a second pattern that would be even more mysterious

ער שרייבט אז דאס איז בנוגע מאטעמאטיקס בכלליות: עס האט אַן אינטוּאיטיוו סענס (פאר דער וואס פארשטייט דאס) וואס דאס פאלגט נאך; עס איז נישט בעצם ״מיסטעריעז״. ועכ״כ אז בעצם האט מען זיך נישט צו שרעקן פאר גאָדעל׳ס טעארעמס וועלכע עפּלייען נאר זעלטן. און אט דאס איז א מיסטעריע וכידוע מדר. יוּדזשיִן וויגנער (לגבי מאטעמאטיק׳ס שטארקע קשר לפיזיקס).

אין מאטעמאטיקס איז דא צוויי געדאנקן פון א ״רעגולאר נומער״:

1). א נומער וואס קען דיוויידען 30 אדער 60 (די נומערן וואס קומען ארויס פון געבן עקספּאנענטס צו 30 אדער 60) אָן קיין רימעינדאר. והיינו, א נומער וואס אירע פּריים דיווייזארס פון וואס די נומער איז צאמגעשטעלט זענען נאר 2, 3, און 5.

2). א נומער וואס איך קען נישט צוקומען דערצו דורך צאמעדדן ווייניגער ווי די צאל פון די עצם נומער פון די נומערן אונטער דעם. למשל די נומער 1 איז א ״רעגולאר נומער״ ווייל מ׳קען נישט צוקומען צו 1 דורך איין 0 וואס איז אונטער דעם. ווי אויך איז 2 ״רעגולאר״ ווייל מ׳קען נישט צוקומען דערצו דורך צאמעדדן ווייניגער ווי 2 נומערן וואס זענען אונטער דעם. אין מעטאפיזיקס צייגט דאס אויף דאס שוועריקייט פון ווי אזוי קומט פון ״אַיִן״ [״0״] א ״יש״ [״1״]. ווי אויך אז ווי אזוי קומט פון אַן ״אחד הפשוט״ [״1] א ״ריבוי״ [״2״] (ועיין בעיקרים מאמר ב פי״א).

לייבניץ האט גע׳טענה׳ט אז פון גראַנדי׳ס סיריִס, אויב זאג איך אז דאס קאַנווערדזשד צו 1 אדער 1/2, דאן זעהט מען דאך ווי פון 0 ווערט 1 (אדער עכ״פ 1/2). מ׳קען דאך באטראכטן די סיריִס ווי (1-1)+(1-1)+(1-1) אא״וו, וואס באדייט דאך דאס זעלבע ווי 0+0+0 אא״וו [אַן אַיִן], און פונדעסטוועגן קומט דאס אָן צו א ״יש״.

דר. פּיִטער עטקינס זאגט אז בכלל קען מען דאך צוטיילן 0 אין צו פאזיטיוו 1 און נעגאטיוו 1; עס איז דאך 0=1-1. און 0 באדייט וואו עס איז נישטא קיין זמן בכלל. פאזיטיוו 1 גייט באדייטן וואו צייט גייט פאראויס און נעגאטיוו 1 גייט באדייטן וואו צייט גייט צוריקצווועגס (פון אונזער מבט). וממילא איז די ״יש מאין״ צושטאנד געקומען ווען די ״0״ האט זיך צוטיילט אין צו 1 און 1-, ווי אין איין יוּניווערס גייט צייט פאראויס און אין די אנדערע צוריקצווועגס. (דזשאַן אָפּדייק ברענגט דאס אויך צו.)

‏@מתבודד האט געשריבן:

מתבודד

דער בעל התניא פלעגט טאקע רופן די וועלט אַן ”אַיִן מִיֶשׁ” און נישט קיין יֶשׁ מִאַיִן, כידוע.

דאס שטימט יא מאטעמאטיש און לאגיש?...

אויב דעפינירט מען אַן ״אינווערס״-רעגולאר נומער אלס א נומער וואס מ'קען נישט צוקומען דערצו דורכ׳ן סאָבּטרעקטן כאטש אזויפיל נומערן ווי די נומער וואס זענען העכער/גרעסער ווי איר, דאן איז 0 נישט אזא סארט נומער ווייל מען קען יא: 3-2-1=0.

די ראמאנוזשאן טאַוּ פאָנקשען איז ווען איך נעם א נומער און איך געב דערצו אַן עקספּאָנענט פון 1. דערנאך, די נומער וואס איך באקום, וואס איז דאס זעלבע נומער, נעם איך דאס אוועק פון 1, און איך העכער וואס איך באקום צו אַן עקספּאָנענט פון 24. איך העכער דערנאך דעם אריגינעלן נומער צו אַן עקספּאָנענט פון 2 און איך טוה איבער דעם זעלבן שפיל הלאה והלאה העכערענדיג דעם עקספּאָנענט, און איך מאָלטיפּליי אט די גאנצע סיריִס צוזאמען. דערנאך מאָלטיפּליי איך וואס איך באקום ביים אריגינעלן נומער. 📎 175E31B3-F2D7-44CE-9EB2-EB0A15D2A372.jpeg סרינוואסא ראמאנוזשאן האט קאָנדזשעקטשורד אז טאמער איז די נומער איך וועל אויס א פּריים, דאן וועט די פאָנקשען פאר דעם פּריים נישט זיין מער ווי אויב איך נעם די פּריים און געב עס אַן עקספּאָנענט פון 11 און דערנאך נעם איך די סקווער-רוּט פון וואס איך באקום, און איך מאָלטיפּליי דאס ביי 2. עפ״י מאטעמאטישע לומדות האט דאס א שייכות צום ריעמאן היפאטעזיע.

עס קומט אויך אויס אז טאמער געב איך נישט קיין וועליוּ פאר q און איך לאז עס, און אזוי טוה איך מאכן די מאָלטיפּליקעישאן (אזוי אז עס ווערט א פּאַלינאָמיעל), דאן גייען די פראדוקט פון די קאָעפישענטס, והיינו די נומערן, פון יעדעס טערמין צוזאמען זיין די קאָעפישענט פון די פראדוקט פון זייער טערמין פלאץ. מיינענדיג, למשל די קאָעפישענטס פון די צווייטע און דריטע פלאץ ווען איך מאָלטיפּליי זיי צוזאמען, וועט זיין די קאָעפישענט פון די זעקסטע פלאץ, וואס צוויי מאל דריי איז זעקס.

‏דא האט @הקטן געשריבן:

הקטן

איך האלט, למשל, דאס אן אשכול בנוגע רימאן זעטא געט גארנישט צי צים פלאץ

אין די קאנטעקסט דארט איז עס צוגלייכן די דאזיגע אשכול איבער (הויכע) מאטעמאטיקס צו די parochial שאלה ״וועמענ׳ס רבי איז די גרעסטע?״ אדרבה קוקסט נאך. סתם אזוי וואלט איך עפּלייט דאס פּרינציפּ פון טשעריטי און געזאגט אז ער מיינט ענליך צו @הבל וריק׳ס טענה פריער, אז דאס איז דאך שטארק חכמה און לאו כל מוחא סביל דא. אבער גיין זאגן ״דאס געבט גארנישט צו״ און שטעלן דעם שמועס דא אויף דעם זעלבן לעוועל פון זיך טענה׳ן ״וועמענ׳ס רבי איז גרעסער״, איז נישט קיין סימן אויף חכמה, מילד גערעדט, און דארף צו פארשעהמען די חברים דא. פונעם פּערספּעקטיוו פון א קינד און א סכל זענען זיי טאקע אייניג.

און אזוי ווי איך האב גע׳ענטפערט איז דאך אט דאס די געדאנק: אויף די (ועכ״פ איינע פון די) אינטעלעקטשואלע forum ביהדות החרדית פאסט עס זאלן זיין אזעלכע סארט אשכולות ווי מ׳רעדט ארום וועגן דעם.

כידוע, איז מאטעמאטיקס די נענסטע מ׳קען צוקומען צו ״אמת״, ועיין באשכול טענה. (ואיה״נ אז דאס האט אויך די שוואכקייט פונעם מונכהאַוּזן טריילעמאַ (וואס איך בין מסביר אין מיין ארטיקל על נושא אמונה) אבער דאס איז סתם אזוי לגבי ״אמת״ בכלליות. ועיין בחתימתי בכלל, פון וואס @הקטן אליין האט טאקע אפגע׳חוזק׳ט. אבער בתוך זה איז דאס אבער דאך די נענסטע, ופשוט.) ואולי עפי״ז קען מען טאקע זאגן א רמז בסוף סוטה לגבי עיקבתא דמשיחא ״וחכמות סופרים תסרח ויראי חטא ימאסו והאמת תהא נעדרת״. והיינו, בעיקבתא דמשיחא איז דאס׳ן משווה זיין ״ווער איז גרעסער און ווער איז קלענער״ פון די סופרים ויראי חטא אויפ׳ן זעלבן מדריגה ווי חשיבות ״אמת״ ומאטעמאטיקס ווייל דאס איז נעדרת.

אין קורצן, נעבעך. (און דאס איז שוין פון איינעם וואס נעמט זיך אָן פאר אמונה בהשטיבל. אז מ׳פרעגט מיר איז דאס א חילול ה׳ און ברענגט אראפ די ווערט פון אט די אמונה בעיני החכמים.

שוין. כלום מתקנא אלא חכם בחכם. און עס איז טאקע מן הראוי צוצוצייכענען צו וואס @אנאנים האט געשריבן בסוף תגובה זו.

.

איזי איזי...
ווען איינער זאל ווען קאיפען שטיקער תנ"ך דא, וואלט איך אויך געשריבן דאס וואס איך האב געשריבן

ס'איז היינט אן אפענע וועלט און ווער ס'וויל לערנען חכמה האט ב"ה אווי צי גיין


דיין Ad hominem ארגיאמענט געט אויך נישט קיין סך צי

הקטן

ווען איינער זאל ווען קאיפען שטיקער תנ"ך דא וואלט איך אויך געשריבן דאס וואס איך האב געשריבן

מ'טוהט דאס דאך טאקע דא אבער בהסבר (ולדוגמא אפאר פון @קאך_לעפל'ס אשכולות) - איך געדענק נישט דו זאלסט האבן געזאגט אזאנס אויף זיי. און אט דאס פרוביר איך צו טוהן פונקט אזוי ביי די נושא, און אזוי ווי @פארוואס? האט געטוהן אין זיינע מאטעמאטישע אשכולות וואס ער האט "געקאַפּיט". די חילוק איז אז כנראה יענץ פארשטייסטו און דאס נישט. (ווי אויך האסטו אליין נישט געהאט די טענה אויף מיין אשכול איבער טערמאדינאמיקס, וואס איז פונקט אזוי ״געקאַפּיט״, און אפילו מיטגעהאלטן דארט.)

הקטן

דיין Ad hominem ארגיאמענט געט אויך נישט קיין סך צי

קיימתי בך עם עקש תתפל, דכך דרכך. ובפרט אז עס געבט יא צו צו פארוואס איך בין דיר נישט דן לכף זכות מיט'ן פּרינציפּ פון טשעריטי וכדכתבתי. איך שטיי ביי יעדעס ווארט איך האב געשריבן.

צו ענדיגן, צו ״קאַפּיען״ אזוי ווי דו האסט ליב צו זאגן אויף אנדערע, איז דיין אנטווארט דא:

הקטן

אויבערפלעכלעך עס-יאזעל

📎 4B2D1D6A-E55D-4D76-AA92-CD0FAE281AD1.jpeg

איך ווייס נישט פין וועלכע אשכול דו רעדסט וואס ברענגט שטיקער תנ"ך תגיבה נאך תגיבה אן קיין דיסקאשען בעק-ענד-פארד פין אנדערע חבירי השטיבל.
אויב אזא אשכול וואלט ווען געווען אין טאפ פין אקטיווע אשכולות וואלט איך ווען מן הסתם יענץ געניצט פאר א משל (די אשכול, און אנדער אזאלכע אשכולות איז דאך נישט היינט געבוירען, און איך האלט וואס איך האלט, שוין א לאנגער צייט, אן דעם וואס איך זאל זאגן א ווארט דערוועגן, וואו לאנג דאס מאכט דיך גוט פילען - איי דאנט גיוו עי, מנלנ"ז, האט)

צי איך פארשטיי יא צי ניין איז מיר שווער צי ענפערן ווייל ווען איך לערנען מאטעמאטיק האב איך בעסער ליעב צי ליינען און ענגליש
ליבי אומר לי דאס איז אזוי ביי אסך, אנ-לעס ס'ווער א שמוס פין זה אומר בכה וזה אומר בכה

איז טוישסטו (עד האַק) פון א פראבלעם פון ״קאַפּיען״ צו פשוט א פראבלעם אז די עולם האלט נישט מיט. אין אנדערע ווערטער, האלטסטו אזוי ווי @cictim. איך האלט נישט אזוי וכ@אנאנים שם. און אזוי ווי @מונטסורי האט געשריבן דא:

מונטסורי

למעשה האלט מיר יעצט אינמיטען דורכלערנען דעם תגובה פון @מי אני און דאס קאפ שווינדעלט, גענוג געווען פאר איין יום טוב, גיימיר מאכן אייער שפייז. ומכאן הקריאה יוצאת צו @מי אני חלילה נישט מיד צו ווערן, אפילו עס קוקט אמאל אויס אז דער עולם שלאפט ביים שיעור, ביום מן הימים וועט איינער ווער דא אריינפאלן, פרובירן צו ליינען און אפשר א לייק טון.

ווי אויך איז עס לענ"ד סתם אזוי א סארט סורווייווערשיפּ בּייעס זיך נאר וויסענדיג צו מאכן און רעכענען דאס "וואס געבט צו צום שטיבל" לפי די רעאקציעס, די "בּעק ענד פאָרט", וואס מ'זעהט דאס באקומט, און מ׳נעמט נישט אין באטראכט די וואס ליינען דאס סתם וואס זיי זעהט מען נישט. מ'זעהט אז רוב פון די וואס שרייבן זיך איין מיט זייער ערשטע הודעה אין די "שלום עליכם" אשכול זאגן אז זיי ליינען שוין דא אלס געסט א לענגערע וויילע, און ווי @מיימון האט דארט ארויסגעברענגט שרייבן רוב פון זיי נישט ווייטער קיינע תגובות, הגם זיי זעהן אויס ווי חכמים. אבער כנראה ליינען זיי אבער פארט די אשכולות און ארטיקלען. (איך בין א קעיס-אין-פּוינט: איך האב נישט רעאגירט אין יענעם אשכול איבער "ווער איז גרעסער" אבער איך האב פארט געזעהן דיין נארישע תגובה.) אין אנדערע ווערטער, ס'איז שטארק יתכן ו"לבי אומר לי" אז די וואס ליינען דאס בסתם, צי אלס סתם גאסט צי אלס איינגעשריבענע באניצער וואס ראאגירן נישט און לייקן נישט, זענען די רוב כנגד די וואס וואלטן ווען געדארפט רעאגירן און רעאגירן אויף אנדערע אשכולות. און @יואב האט זיך טאקע אפגערעדט דערויף אז היתכן מער מענטשן האלטן נישט ממש אקטיוו מיט מיט די סארט טעמעס. עס וואלט טאקע געפאסט פאר'ן עם חכם ונבון.

ולסיים, זאלסט מיר מוחל זיין (אדער נישט) אבער צו דעניגרעיטן אשכולות וואס זענען למעשה אינהאלטסרייך און איבער חכמה און דאס נישט עפּרישיעיטן, צייגט אז דער מענטש וואס דעניגרעיט דאס איז נישט קיין חכם, ועיין ברבינו יונה בריש פ"ד באבות. און ווי געזאגט איז עס א שאד וויבאלד עס זענען דא די וואס האלטן דיר פאר א ידען וכו׳ און אלס איינער וואס קען ענטפערן אויף עניני אמונה. איך וואלט געזאגט א סארט (אבות א יא) ״חכמים הזהרו בדבריכם״ אבער איך האלט נישט אז דאס עפּלייט, וכנ״ל. וממילא לגבי ״וואס דו האלטסט״, איז צו נוצן די לשון פונעם מרדכי (ע״ז תתנד, והובא בטו״ז יו״ד סימן צח ס״ק ו): ״דעת טפשין/שוטים אינו כלום״ (און דאס איז טאקע אינעם קאנטעקסט פון נישט וויסן ווי אזוי און נישט קענען "רעכענען" ששים...). וידוע ד״קטן״ לאו בן דעה הוא (לדוגמא בחגיגה ב: בגיטין כג. ובמנחות צג.).

מיין זיך אפגעבן אין די לענג מיט דיינע דברי בלע איז אפשר א ביישפיל פון קאָנינגהעם׳ס געזעץ, וואס קיינער האט טאקע נישט רעאגירט דערויף דארטן וואו איך האב עס צוגעברענגט, אבער דו אליין האסט דאס טאקע געליינט און געלייקט. (ואולי איז דאס אויך א ביישפיל פונעם פריער-דערמאנטן בּרענדאליני׳ס געזעץ.) 📎 הקטן.jpg

אז מ׳האט פריער אראפגעברענגט דע מארגענ׳ס געזעצן אין לאגיק, איז קען מען דאס נוצן אויף אויפצוווייזן קעגן אנסעלמ׳ס אנטאלאגישע ארגומענט. ווי באקאנט, ארבעט זיין ארגומענט אז מ׳דעפינירט ״ג-ט״ אלס די being פון וואס גרעסער/מער ווי דעם קען מען זיך נישט מצייר זיין בכלל. און די געדאנק קען מען זיך דאך מצייר זיין במחשבה. אויב אבער עקזיסטירט דאס נישט דאן איז דאך יא שייך עפעס מער/גרעסער, והיינו א being וואס עקזיסטירט אויך און דאס איז א סתירה צו וואס מען האט זיך ממש פריער מגדיר געווען. אין אנדערע ווערטער, זאגן ״ג-ט [עפ״י ההגדרה הנ״ל] עקזיסטירט נישט״ איז א סתירה מיניה וביה.

כידוע האט שוין דער כומר גאנילו פון מאַרמאָטיער געפרעגט דערויף בשעתו אז מ׳קען דאך נוצן דאס זעלבע לאגיק אויף אויפצווויייזן אז די מערסטע פּערפעקט אינזל עקזיסטירט בע״כ, וכדומה. אויף וואס אנסעלם האט גע׳ענטפערט אז די געדאנק פון מערסטע/גרעסטע פּערפעקשאן ליגט אין די הגדרה פון ״ג-ט״ משא״כ ביי ״אינזל״ וכדומה.

קאנט האט געפרעגט אויפ׳ן הוכחה אז עס איז נישט שייך צו זאגן אויף ״עקזיסטענץ״ אז עס איז א פּרעדיקעט וואס עפעס ״פארמאגט״ אדער נישט, וממילא דן צו זיין דערויף צו די עפעס האט דאס ״אויך״ צי נישט. צו זאגן אז ״דאס-און-דאס עקזיסטירט נישט״ איז נישט צו געבן ״נישט-עקזיסטענץ״ צו עפעס אַן ענטיטי - עס איז איידער צו זאגן אז גארנישט טוהט באפרידיגן די-און-די הגדרה.

מ׳קען דאס זעהן עפ״י דע מארגענ׳ס געזעץ אז עס איז נישט א סתירה מיניה וביה אפילו ווען מ׳לייגט אריין ״עקזיסטענץ״ בפירוש:

לאז ג׳ = ג-ט

לאז פּ׳ = אינפיניטלי פּערפעקט

לאז ע׳ = עקזיסטענץ

‏∀x[גx↔(פּx&עx)]
מיינענדיג,
‏עפעס איז ג-ט אויב און נאר אויב [iff] די עפעס איז אינפיניטלי פּערפעקט און די עפעס עקזיסטירט

דאן צו זאגן ״עס איז נישטא קיין ג-ט״ איז דאס זעלבע ווי זאגן:
‏~∃x[(פּx&עx)]
מיינענדיג,
‏עס איז נישטא קיין עפעס אזוי אז די עפעס איז אינפיניטלי פּערפעקט און די עפעס עקזיסטירט

און עפ״י דע מארגענ׳ס געזעץ איז דאס די זעלבע ווי זאגן:

‏∀x[(~פּx) אדער/v (~עx)]
מיינענדיג,
‏פאר יעדעס עפעס, אדער איז די עפעס נישט אינפיניטלי פּערפעקט אדער די עפעס עקזיסטירט נישט

מ׳קען זעהן אז עס איז נישטא קיין סתירה דערין אין די לעצטע זאץ.

און אז מ׳האט דערמאנט דער לאגיקער דר. קורט גאדעל אינעם אשכול (ובענין טעאלאגיע), האט ער געמאכט א ווערסיע פונעם אנטאלאגישן ארגומענט עפ״י מאָדעל לאגיק - א לאגיק וואס ארבעט ארום מיט ״מוכרח, מעגליך, אדער אומעגליך״. ווי דער טעאלאג דר. עלווין פּלענטינגא איז דאס מסביר (אין קורצן) אז א ״great being״ באדייט אז עס וואלט געווען “great” נישט קיין חילוק ווי אזוי אימער אומשטענדן וואלטן זיך ווען אויסגעשטעלט. א “maximally great being״ באדייט אז דאס איז א “great being״ אין יעדעס מעגליכע וועלט [״וועלט״ אין איר פילאזאפישן/לאגישן באדייט]. אויב אזא being עקזיסטירט בכלל, עקזיסטירט דאס בהכרח אין יעדעס מעגליכע וועלט; עס איז דאך נישט קיין אפשרי בעצם הגדרתה. יעצט, אפילו דער אטעאיסט איז מודה אז די “maximally great being״, והיינו ״ג-ט״, איז (לאגיש) ״מעגליך״. אבער דאס באדייט דאך דאס זעלבע ווי זאגן אז אין עפעס א מעגליכע וועלט איז דא א ג-ט. און אויב איז דאס דא אין איין מעגליכע וועלט איז דאס דא בהכרח אין יעדעס מעגליכע וועלט וכנ״ל. (דאס האט נישט קאנט׳ס פירכא וויבאלד די געדאנק דא איז נישט ״עקזיסטענץ״ ווי איידער ״הכרח׳דיגע עקזיסטענץ״.) 📎 96D58830-DA89-4551-BCF6-B52A1D58A67F.jpeg ‏דא הא׳מיר אראפגעברענגט אז אפילו אויף דעם זענען דא פירכות.

לגבי ראמאנוזשאן סאָמעישאן קען מען ״אויפווייזן״ אז די סיריִס פון:
1+2+3+4…
איז 1/12- אויב נעמט מען אָן אז גראַנדי׳ס סיריִס קומט אויס צו 1/2. והיינו, איך מאך א סארט גראַנדי׳ס סיריִס וואס טוישט זיך פון ״+״ צו ״-״ אבער וואקסט מיט אַן אבסאלוט נומער כזה:
1-2+3-4+5…
דערנאך פרעג איך וואס איז די סומע פון צוויי מאל די סיריִס: ווען איך עדד די סיריִס צו זיך. אבער וויבאלד דאס איז דאך אַן אינפיניט סיריִס, איז ווען איך לייג איינס צו צום צווייטן קען איך דאך בעצם ארויפרוקן די נומערן מיט איינס (דער אמת לאמיתו איז אז מ׳קען דאס נאר טוהן טאמער זיי זענען אַבּסאלוטלי קאָנווערדזשענט). מיינענדיג, עס וועט אויסזעהן אזוי:
1-2+3-4+5…
0+1-2+3-4…
און אזוי אויסשטעלן די וועליוּס און יעדעס איינס אראפרעכענען פון די נומער גראד העכער איר. ווי מ׳קען זעהן וועט דאס אויסקומען צום געהעריגן גראַנדי׳ס סיריִס וואס מ׳זאגט איז דאך 1/2. דאס איז אבער געווען צוויי מאל די סיריִס, וממילא איז אט די סיריִס קומט אויס צו האלב דערפון וואס דאס איז 1/4.

יעצט סאָבּטרעקט איך די נייע סארט גראַנדי׳ס סיריִס, וואס איך ווייס איז 1/4, פון פונעם (באמת דייווערדזשענט ערשטע סיריִס כזה:
1+2+3+4+5…
1-2+3-4+5…
ווי אָנגערירט אין די אשכול ווען מען סאָבּטרעקט א נעגאטיוו נומער פון עפעס איז כאילו איך עדד דאס פארקערטע. צב״ש, 1 מיינוס נעגאטיוו 1 באדייט 1 פּלאָס פּאזיטיוו 1. עפי״ז קען מען זעהן אז סאָבּטרעקטן די סיריִס פונעם ערשטן געבט:
0+4+0+8+0+12…
עס איז א פּעטערן פון נאך יעדעס 0 אינעם סיריִס וואקסט עס ביי 4. איך קען איגנארירן די 0׳ס און אז איך דיווייד די גאנצע סיריִס ביי 4 איז עס דאך די אריגינעלע סיריִס פון:
1+2+3+4…
ווייס איך אז די אריגינעלע סיריִס מיינוס די סיריִס וואס קומט אויס צו 1/4 איז 4 מאל אט די אריגינעלע סיריִס:
S-1/4=4S
אז איך סאַלוו פאר S קומט דאס אויס צו 1/12-.

עס זעהט אויס ״אילעגאל״ אבער למעשה טרעפט מען דאס אין פיזיקס. ‏דא, ווי דר. עדמונד קוֺיפּלענד איז דאס מסביר, שרייבט איינער: 📎 BBD9B5BC-D119-493E-B824-3DBAA3FFA912.jpeg אז מען מאכט די אריגינעלע סיריִס הנ״ל נאר מיט יעדעס נומער אינעם סיריִס האבענדיג אַן איִווען עקספּאנענט איז די ראמאנוזשאן סאָמעישאן דערפון 0. אויב געבט מען עס אַן אַדד עקספּאָנענט, דעפינירט אלס איינס ווייניגער ווי 2 מאל א געוויסע נומער, דאן גייט די ראמאנוזשאן סאָמעישאן דערפון זיין די נעגאטיוו פון די בּערנאָלי נומער פון די פלאץ פון אט די 2 מאל א געוויסע נומער [אינעם בּערנאָלי נומער סיִקווענס], דיוויידעד ביי 2 מאל די געוויסע נומער. (ווען די עקספּאנענט איז א קיוּבּ, 3, דאן איז דאס למשל 1/120.)

דר. עדווארד פרענקעל טענה׳ט אז די ראמאנוזשאן סאָמעישאן לומדות איז די זעלבע סארט ״אילעגאל״ וואס האט בכלל געגעבן די נומער i פאר אַן איִווען-רוּט פון א נעגאטיווע נומער. און ער זאגט דאס איז אפילו ענליך צו ווען מען איז אויפגעקומען מיט ״אילעגאלע״ אירעשאנעל נומערן.

ווי געזאגט איז אויף גראַנדי׳ס סיריִס באקומט מען דורך די סעזאַראָ סאָמעישאן א סארט קאָנווערדזשענס צו 1/2. דאס ארבעט דורך דעם אז ביז יעדעס נומער אינעם סיריִס נעם איך די עוורידזש פון אלע נומערן צאמגערעכענט ביז אהין. די עוורידזש וואס קומט אויס דאס מערסטע, דאס גייט זיין מיין סומע דא. די לומדות ארבעט ביי געוויסע סארט דייווערדזשענט סיריִס. עס ארבעט אויך ביים צווייטן סארט סיריִס הנ״ל אויפצוווייזן אז עס איז 1/4. עס ארבעט אבער נישט ביים סיריִס פון:
1+2+3+4…
צו צייגן אז דאס איז 1/12-. דער מאטעמאטיקער דר. בּוּרקאַרד פּאָלסטער איז ברוגז אויף דעם חשבון הנ״ל… (יענעם חשבון קומט פונעם פיזיקער דר. אנטאני פּאַדיִאַ.) דר. פּאָלסטער ברענגט ארויס אז טאמער טוישט מען א משהו די ריעמאן זעטאַ פאָנקשען אז אנשטאטס נאר ״+״ האלט עס זיך אין איין טוישן מיט ״-״ ביי יעדעס צווייטע, דאן איז דאס די דיריכלעט עטאַ פאָנקשען; נאטירט אלס *ζ מיט א שטערענדעל אויבן (אדער מיט η.

אויב איך געב א 0 פאר׳ן s פון דעם דיריכלעט עטאַ פאָנקשען גייט דאס זיין גראַנדי׳ס סיריִס. און טאמער געב איך פאר s א וועליוּ פון 1- דאן איז דאס די צווייטע סארט גראַנדי׳ס סיריִס הנ״ל.

ער ווייזט אויף דאס אז עס איז 1/12- דורכ׳ן סאָבּטרעקטן די דיריכלעט עטאַ פאָנקשען פונעם ריעמאן זעטאַ פאָנקשען. עס קומט אויס אז יעדעס אַדד פלאץ וועט זיין 0, וואס איך קען איגנארירן, און יעדעס איִווען פלאץ האט א 2 אינעם נוּמערעיטאר און די דענאַמינעיטאר וואקסט מיט 2 (און האט די s עקספּאָנענט אויף זיך). אז איך דיווייד דאס אלעס ביי 2 איבער 2 מיט דעם s עקספּאָנענט איז עס דאך די געהעריגע ריעמאן זעטאַ פאָנקשען. אז מ׳סאַלווט דאס אלגעברעאיש קומט אויס אז די ריעמאן זעטאַ פאָנקשען איז דאס זעלבע ווי די דיריכלעט עטאַ פאָנקשען דיוויידעד ביי וואו איך האב אוועקגענומען פון 1, 2 דיוויידעד ביי 2 וואס האט די עקספּאָנענט פון s. און אז איך געב פאר s די וועליוּ פון 1- דאן איז דאך דאס ביים כנ״ל די צווייטע סארט גראַנדי׳ס סיריִס, וואס דאס ווייס איך דאך איז 1/4 ביים דיריכלעט עטאַ פאָנקשען, און ביים ריעמאן זעטאַ פאָנקשען איז דאס דאך:
1+2+3+4…
און אז איך סאַלוו עס יעצט קומט דאס אויס צו 1/12-. ועפי״ז קומט אויס אז טאמער געב איך פאר s א וועליוּ פון 0, וואס דאן איז דאך דאס די געהעריגע גראַנדי׳ס סיריִס כנ״ל, דאן גייט דאס אויסקומען צו 1/2-. (און דאס אז ביי יעדעס נעגאטיוו איִווען וועליוּ איז דאס וואס עס געבט ארויס 0, דאס זענען דאך די ״טריוויעל״ 0׳ס.)

‏דאס איז ראַמאַנוּזשאַן סאָמעישאן.

ער ענדיגט צו אינטרעסאנט אז טאמער איך טוה ביי די סיריִס פון:
1+2+3+4…
טוישן יעדעס נומער אין דעם לויט׳ן צאמרעכענען אלע נומערן ביז אהין:
1,3,6,10…
דאן איז דאך די פארמולא דאס צו וויסן ביז א געוויסע נומער, אזוי ווי קאַרל פרידריך גאַוּס האט אויפגעוואוזן אלס קינד, יענע נומער טיימס איינס מער ווי יענע נומער און איך דיווייד דאס ביי 2. אויב מיט ״יענע נומער״ מיין איך x, אזוי ווי אין אלגעברא בכלליות, און איך גרעף דאס, זעהט דאס אויס כזה. און די עריע אין די קוּרוו אונטער די x עקסיס [וואו ס׳איז געל] איז 1/12-. 📎 D66B3DFA-0213-4354-B3EA-8935EBF4CB75.jpeg

לגבי סיִקווענסעס איז אינטרעסאנט צוצוצייכענען צו מוֺיסנער׳ס טעארעם. דאס זאגט אז איך קען צאמשטעלן א סיִקווענס פון
1,2,3,4,5…
וואו יעדעס נומער האט די זעלבע עקספּאָנענט דורכ׳ן טוהן כזה: למשל, אויב וויל איך וויסן וואס גייט זיין די סיִקווענס ווען יעדעס נומער האט אַן עקספּאָנענט פון 2, דאן נעם איך צום ערשט ארויס פון דעם געהעריגן סיִקווענס פון נומערן איינע נאך דאס אנדערע [אָן קיין שום עקספּאָנענט] יעדעס צווייטע נומער:
1,3,5,7,9…
דערנאך טויש איך יעדעס נומער אין דעם סיִקווענס לויט די סומע פון אלע נומערן וואס קומען בעפאר ביז אהין:
1,4,8,16,25…
דאס איז דאך:
1²,2²,3²,4²,5²…

אויב וויל איך דאס טוהן פאר, צב״ש, אַן עקספּאָנענט פון 4, דאן צום ערשט נעם איך אוועק יעדעס פערטע נומער אינעם סיִקווענס. דערנאך טויש איך יעדעס נומער אין דעם סיִקווענס לויט די סומע פון אלע נומערן וואס קומען בעפאר ביז אהין. דערנאך נעם איך אוועק יעצט יעדעס דריטע נומער אינעם סיִקווענס און איך טויש יעדעס נומער אין דעם סיִקווענס לויט די סומע פון אלע נומערן וואס קומען בעפאר ביז אהין. דערנאך נעם איך אוועק יעדעס צווייטע נומער אינעם סיִקווענס און איך טויש יעדעס נומער אין דעם סיִקווענס לויט די סומע פון אלע נומערן וואס קומען בעפאר ביז אהין. דאס גייט מיר געבן:
1⁴,2⁴,3⁴,4⁴…

אויב נעם איך ארויס צום ערשט יעדעס טרייענגולער נומער און איך רעכן אלע נומערן ביז אהין פון וואס בלייבט איבער און איך טויש עס מיט דעם, באקום איך די סיִקווענס פון די פעקטאָריעלס:
1!,2!,3!,4!…

אז מ׳האט אויבן גערעדט אין די געדאנק פון דאָבּל-נעגעישאן לגבי מגדיר זיין ״ג-ט״, איז כידוע דא צוויי סארטן דראָגס: אינהיבּטארי, וואס האלטן צוריק ניוראָטראסמיטארס אינעם מח, און עקסייטעטארי, וואס טוהן דאס פארקערטע. אלקאהאל איז אַן אינהיבּיטארי דראָג וואס (ווי דר. פּאָל בּלום איז דאס מסביר אין די לעקציע [27:06-27:15]) טוהט אינהיבּיטן די אינהיבּיטאָרי חלקים פונעם מח (הגם באמת זענען די חלקים אין ראם פון עקסייטעטארי) וואס האלטן אין אלגעמיין צוריק דעם מענטש, ולכן איז א שיכור ווילדער וכדומה.

ולפי״ז טרעפט מען אזא סארט ענליכן געדאנק פון א דאָבּל-נעגאטיוו ביי יין. האב איך געקלערט אז מ׳קען מיט דעם זאגן א רמז בהגמרא בעירובין סה. א״ר חנינא כל המתפתה ביינו יש בו מדעת קונו ע״ש. והיינו, אז ער פארשטייט די געדאנק פונעם דאָבּל-נעגאטיוו שבהיין, וואס די געדאנק איז לגבי לדעת את קונו וככל הנ״ל. (און דאס קען אויך זיין די רמז דארט פון נכנס יין יצא סוד. און דאס קען אויך זיין די געדאנק פון, סנהדרין ע., חמרא וריחני פקחין.)

ובכל זה, דער אסטראנאמער דזשעימס דזשיִנס האט געזאגט, "ג-ט איז א מאטעמאטיקער". און ווי דזשים האָלט שרייבט לגבי די חקירה אינעם פילאזאפיע פון מאטעמאטיקס צי מאטעמאטישע מושגים טוהן "עקזיסטירן" ממש טאקע (אין אן אנטאלאגישן זין):

Herein lies a clue to the demystification of mathematics. What gives the subject a mystical tincture is the reputed nature of its objects. Whereas the objects studied by botany or chemistry are part of the physical world, those of mathematics are thought to inhabit a transcendent world that cannot be accessed by normal modes of knowledge. But suppose there are no such transcendent objects. Does mathematics then become like theology without God? Is it (as philosophical nominalists insist) mere make-believe, a marvelously complicated fairy tale?

און פונקט אזוי ווי דארט ביי מאטעמאטיקס פארשטייט מען אז די תירוץ צום לעצטן שאלה זיינער איז ל"ד "יא", איז ביי טעאלאגיע אויך, וואו די דריטע עיקר קומט אזוי כעין נעגעיטן דעם ערשטן עיקר וככל הנ"ל, אויך די תירוץ צו די שאלה דערביי ל"ד "יא".

***

ווען לייבניץ האט געוואלט מסביר זיין פאר די מלכה סאָפיִאַ טשאַרלאט פון Prussia די געדאנק פון אינפיניטלי קליין [אינפינטעסימעל], האט זי געזאגט אז עס פעהלט נישט אויס ווייל זי ווייסט דאס זעהענדיג אירע יועצים...

אז מ׳האט גערעדט פון מעיטריסיִס ובענין סיִקווענסעס איז אינטרעסאנט צוצוצייכענען צום נומער וואנט. דאס איז וואו איך שטעל אויס א שורה פון 1׳ס איינס נאכ׳ן צווייטן. גראד אונטער דעם שטעל איך נאכדעם א שורה פון עני נומערן איך וועהל אויס. דערנאך שטעל איך אויס דערין נומערן אזוי אז יעדעס נומער זאל זיין די סקווער פון די סומע פון די פראדוקט פון די נומערן צו אירע רעכטע און לינקע זייט און די פראדוקט פון די נומערן העכער איר און אונטער איר. מיינענדיג, אז ווען איך מאָלטיפּליי די נומער וואס איז גראד צו רעכטס פונעם נומער צוזאמען מיט די נומער גראד צו לינקס פונעם נומער, און איך לייג צו צו דעם די פראדוקט ווען איך מאָלטיפּליי די נומער גראד העכער דעם נומער מיט די נומער גראד אונטער דעם נומער, און דערנאך סקווער איך עס [איך מאָלטיפּליי עס ביי זיך אליין] וועט עס זיין אט די נומער אינדערמיט. (ווען איך שטעל אויס דעם וואנט ווייטער ווייס איך בדרך כלל וואס איז שוין די מיטעלסטע נומער און איך דארף געוואור ווערן, דורך אלדזשעברא, וועלכעס איז א נומער וואס פעהלט ארום איר.)

‏(עס איז אביסל ענליך צו פּאַסקאַל׳ס טרייענגעל.)

א נומער וואנט העלפט מיט׳ן קענען דעצידירן וואס קומט דערנאך אין א סיִקווענס וואס מ׳געבט דיר. והיינו, איך שטעל אט די סיִקווענס אונטער די שורה פון 1׳ס. ביי א געוואלד סיִקווענסעס וואס גייען מיט עפעס א סדר וועט די נומער וואנט זיך עווענטועל ענדיגן מיט נאר שורות פון 0,ס. למשל, דא ביי די סיִקווענס פון סקווערס: 📎 6AE5A107-CBF2-451E-B0B2-6BFB8F1D55B8.jpeg דאס האלט אויך אָן ביי די סיִקווענס פון קיוּבּס, העכערע פּאַוּערס/עקספּאָנענטס, ואפילו די פיבּאָנאַטשי סיִקווענס.

איז אויב זעה איך אז דאס פאסירט מיט די נומער וואנט פון דעם סיִקווענס, דאן וואס איך טוה איז אז איך שטעל אויס די נומער וואנט מיט די סיִקווענס און טויש די צווייטע שורה, וואס איז די געגעבענע סיקווענס, צו די נומער מיינוס די נומער וואס קומט פאר דעם אינעם סיִקווענס טיימס x. דערנאך שטעל איך אויס ווייטער די נומער וואנט עפ״י די הלכות הנ״ל נאר מיט די הלכות ווען איך מאָלטיפּליי א וועריעבּל. ביים שורה העכער וואו דח שורה דארונטער זענען 0׳ס, קומען זיי אויס צו בעצם די זעלבע פּאַלינאָמיעל און ווען איך סאַלוו דאס און טערמינען פונעם העכסטן דעגרי [די נאָמיעל וואס האט דאס גרעסטע עקספּאָנענט] איז דאס רעכען איך אלס די מקום וואס איך וויל אָנפילען אינעם סיִקווענס, די צווייט העכסטע נאָמיעל איז די פלאץ אינעם סיִקווענס פאר דעם, די דריט העכסטע איז צוויי פלעצער אינעם סיִקווענס פאר דעם, אא״וו. ווען איך פאלג די עקוועישאן געבט דאס מיר דעם נומער איך זוך.

עס איז אינטרעסאנט צו באמערקן אז די פּאַלינאָמיעל איך באקום פונעם נומער וואנט וואס איך מאך פאר׳ן פיבּאָנאַטשי סיִקווענס:

-x²+x+1

און אז איך סאַלוו דאס באקום איך:

(1+√5)/2

וואס דאס איז די גאלדענע רעישיאו וואס איז מקושר צום פיבּאָנאַטשי סיִקווענס.

עס קומט אויך אויס אז יעדעס מאל עס איז דא א 0 אין א נומער וואנט גייט עס אדער זיין אליינס אדער שאפן א פונקטליכע סקווער: 4 0׳ס צוזאמען, 9 0׳ס צוזאמען, 16 0׳ס צוזאמען אא״וו. און ווען עס איז דא איין 0 ארום א נומער אינעם וואנט קעגנאיבער דעם נומער וואס איך וויל געוואור ווערן קען עס מאכן א פראבלעם וויבאלד 0 טיימס די וועריעבּל וואס איך וויל וויסן וועט עס אטאמאטיש מבטל זיין. דאן איז וואס איך טוה איז כזה: 📎 35A10C06-6956-4145-953D-BE585E05635D.jpeg איך עקסטענד דאס און איך סקווער אלע נומערן וואס זענען הארט נעבן דעם נומער אינעם וואנט. דערנאך מאָלטיפּליי איך די אין די שתי וואס זענען נעבן מיט די אויף די אנדערע זייט קעגן זיי אינעם שתי וואס זענען מער אינדרויסן [פונעם זעלבן קאליר אינעם בילד] און איך טוה דאס נאכאמאל פארקערט אבער ווייטער אינעם שתי, און דאס דארף אויסקומען די זעלבע ווען איך טוה די זעלבע שפיל אינעם ערב. עס זענען דא אנדערע לומדות׳ן צו טוהן ווען די סקווערס פון די 0׳ס זענען נאך גרעסער כנ״ל.

בנוגע די קשר צווישן מאטעמאטיקס און אמונה וואס מ׳האט גערעדט אינעם אשכול איז אינטרעסאנט צוצוצייכענען צו וואס דער פראנצויזישער מאטעמאטיקער זשאַן לע ראַנד ד׳אַלעמבּערט האט געזאגט לגבי רעכענען אינפיניטעסימעלס, די אינפיניטלי קליין: ״גיי ווייטער, און די אמונה [אין זייער עקזיסטענץ] וועט שוין קומען צו דיר.״

ועוד בזה (מיט הומאר): 📎 3D30520A-1AFE-46C9-80CF-D4600FF722AE.jpeg ***

ולגבי גאָדעל׳ס טעארעם האט דער פיזיקער דזשאַן אַרטשיבּאָלד וויִלער געקלערט אז עס איז מעגליך דא א קשר צווישן דעם טעארעם און הייזענבערג’ס אָנסירטענטי פּרינציפּ אין קוואנטום פיזיקס. ער איז געגאנגען דאס פרעגן פון גאָדעל אליינס. גאָדעל איז געווארן ברוגז און אים ארויסגעווארפן פון זיין אפיס.

בנוגע גאָדעל׳ס טעארעם איז דא אין קאמפּיוטער סייענס/מאטעמאטיקס די געדאנק פון קאָלמאָגאָראָוו קאמפּלעקסיטי. דאס איז די מעסטונג פאר א געוויסע זאך די מינימום/קערצסטע פראגראם (אין א געוויסע פראגראמינג שפראך), אין אינפארמאציע/בּיטס, וואס געבט ארויס אט די זאך (מיט איר אינפארמאציע) ווען די פראגראם לויפט אויף אַן איידיעלייזד קאמפיוטער מיט אָנלימיטעד מעמארי. אין אנדערע ווערטער, עס איז א מעסטונג פון א זאך אין די קלענסטע וועג איך קען ענקוֺידן איר אינפארמאציע אין בּיינערי. (דאס האט א שייכות מיט סאלאמאנאף׳ס טעאריע פון יוניווערסאל אינדאקטיוו אינפערענס.)

אין דעם איז דא טשעיטין׳ס אינקאָמפּליִטנעס טעארעם. דאס לויטעט אז עס איז אלס דא א נומער וואס מ׳קען נישט אויפווייזן אז די קאָלמאָגאָראָוו קאמפּלעקסיטי פון עני ספּעציפישע סיִקווענס פון אינפארמאציע/בּיטס (וואס יעדעס זאך איז דאך בעצם אינפארמאציע און קען ווערן ענקוֺידעד אלס א סיִקווענס פון בּיטס/אינפארמאציע) איז מער ווי דעם. דאס מיינט אז פאר יעדעס נומער איז דא אַן אינפיניט צאל סיִקווענס פון אינפארמאציע/בּיטס וואס האט א קאָלמאָגאָראָוו קאמפּלעקסיטי מער ווי דעם (ווייל עס איז דאך דא א גבול פון וויפיל קורצע פראגראמען עס זענען פארהאן), אבער מ׳קען נישט ווייזן אויף א געוויסע ספּעציפישע סיִקווענס פון אינפארמאציע/בּיטס און אויפווייזן אז איר קאָלמאָגאָראָוו קאמפּלעקסיטי איז מער ווי דעם.

די נומער ווענדט זיך אין די פראגראמינג שפראך מ׳נוצט און די סיסטעם פון מאטעמאטיקס מ׳נוצט. (אַן upper bound דערויף איז ממש אפאר קילאבּייטס.)

‏דאס קען ווייטער האבן א שייכות מיט די טעאלאגישע שמועסן אין דעם אשכול, לגבי דעם ווי ריבוי וקאמפּלעקסיטי קומט פון פשטות. ועיין לדוגמא בעיקרים מאמר ב פי״א.


ועיין כאן.

***

ולגבי די געדאנק פון עוסק זיין אין pure חכמה און די נוצליכקייט דערפון, פארציילט מען אז דער בריטישער פינאנץ מיניסטער איז אמאל געקומען באזוכן מיכאל פאראדעי. זעה׳ענדיג עקספּערימענטן אין עלעקטראָמאַגנעטיזם האט ער געפרעגט, ״וואסערע נוצן איז דא דערפון?״ האט אים פארטדעי גע׳ענטפערט, ״איך ווייס נישט. אבער איין טאג וועסטו נאך בעהטן דערפון שטייערן.״

***

דער מאטעמאטיקער דר. מעלווין נעטענזאן דערציילט:

The American Institute of Mathematics organized its first conference, In Celebration of the Centenary of the Proof of the Prime Number Theorem: A Symposium on the Riemann Hypothesis,” at the University of Washington on August 12–15, 1996. According to its website, the American Institute of Mathematics, a nonprofit organization, was founded in 1994 by Silicon Valley businessmen John Fry and Steve Sorenson, longtime supporters of mathematical research.” The story circulating at the meeting was that the businessmen funding AIM believed that the way to prove the Riemann hypothesis was the corporate model: To solve a problem, put together the right team of “experts” and they will quickly find a solution

At the AIM meeting, various experts (including Berry, Connes, Goldfeld, Heath-Brown, Iwaniec, Kurokawa, Montgomery, Odlyzko, Sarnak, and Selberg) described ideas for solving the Riemann hypothesis. I asked one of the organizers why the celebrated number theorist Z was not giving a lecture. The answer: Z had been invited, but declined to speak. Z had said that if he had an idea that he thought would solve the Riemann hypothesis, he certainly would not tell anyone because he wanted to solve it alone. This is a simple and basic human desire: Keep the glory for yourself

Thus, the AIM conference was really a series of lectures on “How not to solve the Riemann hypothesis.” It was a meeting of distinguished mathematicians describing methods that had failed, and the importance of the lectures was to learn what not to waste time on

ער דערציילט סתם אזוי: 📎 1.jpg ער ברענגט ארויס אז אויפקומען מיט חידושים במאטעמאטיקס ארבעט בעסער ווען מ'ארבעט אליין ווי איידער בחברותא. גייט דאס שוין ווייטער צוזאמען מיט טעאלאגיע אין דעם געביט אז פשטות איז בעסער ווי ריבוי.

ווי געזאגט איז ווען מען געבט אַן עקספּאָנענט פון 4, אדער א מאָלטיפּל דערפון [עני נומער איך קען דיוויידן ביי 4 אָן א רימעינדאר] צו i ברענגט עס דאס צוריק צו א געהעריגע פאזיטיווע 1. דאס באדייט אז i ווערט גערופן די רוּט פון יוּניטי פאר 4 און אירע מאָלטיפּלס. דאס איז ווייל א רוּט פון יוּניטי איז ווען איך וועהל א נומער אלס אַן עקספּאָנענט, און פאר א ספּעציפישע בּעיס (אימעדזשינערי/קאַמפּלעקס) נומער וועט מיר די עקספּאָנענט דאס ברענגען צו 1, דאן איז די בּעיס דאס רוּט פון יוּניטי פאר די בּעיס נומער. טאמער איז נישטא קיין קלענערע עקספּאָנענט איך קען וועהלן דערפון פאר די בּעיס און אזוי עס מאכן צו 1, דאן איז דאס די פּרימיטיוו רוּט פון יוּניטי פון די בּעיס. עס קומט אויס אטאמאטיש אז אויב איז די עקספּאָנענט א פּריים דאן איז דאך דאס בהכרח די פּרימיטיוו רוּט פון יוּניטי פון די בּעיס - עס איז דאך נישטא קיין קלענערע מאָלטיפּל דערפון.

אין דעם איז דא די סיריִס וואס רופט זיך די גאַוּס קראַדוועטיק סומע. דאס איז וואו איך וועהל איין פּריים און איין אינטעדזשער. איך הייב דערנאך אָן פון 0 ביז איינס ווייניגער ווי א די פּריים איך האב אויסגעוועהלט. און ביי יעדעס נומער פון 0 ביז אהין נעם איך די סקווער פון דעם נומער וואו איך האלט און איך מאָלטיפּליי דאס ביי די אינטעדזשער איך האב געוועהלט. און וואס איך באקום געב איך אלס אַן עקספּאָנענט צום (בּעיס) נומער וואס איז די (פּרימיטיוו) רוּט פון יוּניטי פון די פּריים נומער איך האב געוועהלט. דאס טוה איך ביי יעדעס נומער פון 0 ביז איינס ווייניגער פונעם פּריים איך האב געוועהלט. דערנאך עדד איך אלעס וואס איך באקום צאם. 📎 99C50570-B16F-49C4-AEA0-8B2934B0E094.jpeg איך קען וויסן וואס איז די רוּט פון יוּניטי פאר׳ן פּריים דורך דאָפּלען פּיי/דאס וואס די היקף פון א סירקעל איז מער ווי איר רוחב [π], דאס מאָלטיפּלייען ביי i, און דאס דיוויידען ביים פּריים. דערנאך געב איך דאס וואס איך באקום אלס אַן ערספּאָנענט צו אוילער׳ס נומער פון 2.718… (דאס האט א שייכות מיט אוילער׳ס אידענטיטעט וואס @שליח האט דערמאנט.)

דער מאטעמאטיקער דר. שמואל פּעטערסאן האט אויפגעוואוזן, מיוסד אויף טאמער די ריעמאן היפאטעזיע איז אמת, אז טאמער אנשטאטס סקווערן דעם נומער וואו איך האלט ביי אינעם פריערדיגן פּראצעדור, טוה איך קיוּבּן די נומער, דאן ווען איך רעכען צאם א צאל גאַוּס קראַדוועטיק/קיוּבּיק סומעס גייען זייערע סומעס צוזאמען זיין בערך אט די צאל פון גאַוּס קראַדוועטיק/קיוּבּיק סומעס געהעכערט צו אַן עקספּאָנענט פון 5 און דערנאך גענומען דעם זעקסטן רוּט דערפון [וועלכע נומער מאל וועלכע נומער וכו׳ 6 מאל, וועט מיר ברענגען צו דעם נומער].

📎 1.jpg 📎 1.jpg The Happy Land

I hear them speak of a Happy Land
The chosen researchers a joyful band
Professor, ah where is that radiant shore
Shall I attain it and weep no more?
Take care, take care, my child

Is it where the Geometer draws his base
And elegant quadrics float through space
Where the circular points are the open door
And conics osculate evermore?
Not there, not there, my child

Does it lie ’mid Algebra’s stern array
Where the law of Symmetry points the way
And the path leads up through ascending powers
To the hilltop won after weary hours?
Not there, not there, my child

Is it set in the space of the Dead-Alive
Where the Non-Euclidean seems to thrive
Where nothing is ever the form it seems
And the Absolute haunts in ghostly dreams?
Not there, not there, my child

It must be then in that region fair
Where the Calculus scents the fragrant air
And the infinitesimal’s gifts combine
Giving man a mastery half divine?
Not there, not there, my child

Can it lie, perchance, in the active sphere
Of the highly technical engineer
Who silent stands in the foremost place
Hewing the path for the human race?
Not there, not there, my child

It lies afar on the Z-prime plane
Conformal, mapped by a Cauchy brain
Where genius sees with the complex i
And the Spirit of Functions dwells thereby
It is there, it is there, my child

אין דעם איז אויך דא דעם דעדעקינד עטאַ פאָנקשען. דאס איז ווען איך האב עפעס א קאמפּלעקס נומער [אַן עכטע נומער ± אַן אימעדזשינערי נומער]. דאן הייב איך אָן פון 1 און איך מאָלטיפּליי צוזאמען עד אינפיניטי על זה הדרך: אוילער׳ס נומער e געהעכערט צו אַן עקספּאָנענט פון 2 מאל π טיימס i טיימס די קאמפּלעקס נומער (ועיין לעיל בנוגע אוילער׳ס אידענטיטעט), און דערנאך דאס אלעס געהעכערט צום עקספּאָנענט צום נומער וואו איך האלט יעצט, און וואס איך באקום סאָבּטרעקט איך פון 1. דאס אלעס וואס איך באקום ביי יעדעס נומער אין די סיריִס טוה איך אלעס צאממאָלטיפּלייען. דערנאך מאָלטיפּליי איך דאס וואס איך באקום פונעם סיריִס ביי די פיר-און-צוואנציגסטע רוּט פון e געהעכערט צו אַן עקספּאָנענט פון 2 מאל π טיימס i טיימס די קאמפּלעקס נומער. 📎 702A18A3-B33E-4B84-AF84-AAB424BA1721.jpeg ***

http://www.kaveshtiebel.com/viewtopic.php?p=508945#p508945

בנוגע דעם געדאנק אז לגבי מציאותו של הקב״ה כביכול איז א דאָבּל-נעגעישאן נישט קיין עפירמעישאן און אז די עסאָסיעטיוו/מאָלטיפּליקיטעטיוו דיסטריבּיוּטיוו פּראַפּערטי ביי לאגיק גייט נישט אָן ביי דעם וכו׳, שרייבט דר. יאָהאַן מאַרעק במשנתו של אלעקסיאוס מעינאנג לגבי ״incomplete״ אביעקטן; זיי זענען נישט (נוקלעאר ‏[מיינענדיג: נישט אנטאלאגיש, נישט טעכניש, נישט אינטענשאנעל, און נישט מאָדעל]) דעטערמינד לגבי זייער עסענס צו געוויסע פּרעדיקעטס:

With respect to being, Meinong states that all complete objects have either being or non-being, and all incomplete objects lack being. Meinong’s indifference principle accommodates the law of excluded middle in the external but not in the internal version. From the fact that incomplete objects do not have being, it does not follow that they have non-being as well. Some of them, for example, incomplete objects that are also contradictorily determined, have non-being; others, like the triangle as such, are not determined with respect to being at all

📎 65957694-4352-4923-9162-183E2BD07809.jpeg ולדרכינו עפ״י מהלכו איז דאס אז טעאלאגישע באגריפן פון ״ג-ט״ ב״ה פאַלן אונטער דאס צווייטע קאטעגאריע ובנוגע ״being״: ווי די נעגעישאן פונעם דרויסענדן זאץ ווערט נישט דוקא דיסטריבּיוּטעד אריין צום פּרעדיקעט לעצמו. ואיה״נ אז ״ג-ט״ באדייט דאך דאס מערסטע מושלם אין אלעם שייך, איז אבער מצידינו איז דאס בהכרח נישט אזוי און גאר incomplete, ובפרט בנוגע ״being״ וכנ״ל, מכח אונזער אי-השגה דערין. הגם מ׳קען טאקע טענה׳ן אז די עסענס פון ״ג-ט״ איז דאך אט דאס: מוכרח המציאות.

דר. מאַרעק שרייבט דארט ווייטער ולגבי דעם אנטאלאגישן ארגומענט:

Meinong stressed the distinction between “being existing” as a determination of so-being and “existence” (“to exist”) as a determination of being. Meinong’s distinction between judgements of so-being and judgements of being, combined with the indifference principle that being does not belong to the object’s nature (so-being), reminds one of Kant’s dictum that being is not a real predicate. Meinong did not accept the ontological argument either, and argued that “being existing” is a determination of so-being and can in a certain sense be properly accepted even of the object “existing golden mountain,” and, say, even of the object “existing round square,” whereas “existence”, which is a determination of being, will no more belong to the one than it does to the other. In other words, according to the characterization principle both the existing round square and the existing golden mountain (Russell 1907 uses “existent”) are existing (existent), but nevertheless they do not exist. Bertrand Russell could not see any difference between “being existent” and “to exist” and had “no more to say on this head.”

דר. מאַריאַ רייכער שרייבט אין די קאנטעקסט פון קאנט׳ס פירכא אויפ׳ן אנטאלאגישע ראיה אז ״עקזיסטענץ״ איז נישט קיין פּרעדיקעט: 📎 CD1860D7-066A-4F06-9DB5-9E57C058FCF1.jpeg ואגב, אין דעם געביט ולגבי די חילוק בין פּלעטאניזם און פארמאליזם וכדומה במאטעמאטיקס, האט בּערטראנד ראָסעל געשריבן:

Being is that which belongs to every conceivable term, to every possible object of thought... “A is not” must always be either false or meaningless. For if A were nothing, it could not be said not to be... Numbers, the Homeric gods, relations, chimeras, and four-dimensional spaces all have being, for if they were not entities of a kind, we could make no propositions about them. Thus being is a general attribute of everything, and to mention anything is to show that it is. Existence, on the contrary, is the prerogative of some only amongst beings

ומענין לענין באותו ענין האט דער פילאזאף דר. דוד לוּאיס געשריבן:

I’m moved to laughter at the thought of how presumptous it would be to reject mathematics for philosophical reasons. How would you like the job of telling the mathematicians that they must change their ways, and abjure countless errors, now that philosophy has discovered that there are no classes? Can you tell them, with a straight face, to follow philosophical argument wherever it may lead? If they challenge your credentials, will you boast of philosophy’s other great discoveries: that motion is impossible, that a Being than which no greater can be conceived cannot be conceived not to exist, that it is unthinkable that anything exists outside the mind, that time is unreal, that no theory has ever been made at all probable by evidence (but on the other hand that an empirically adequate ideal theory cannot possibly be false), that it is a wide-open scientific question whether anyone has ever believed anything, and so on, and on, ad nauseum? Not me!

ער האט סתם אזוי געשריבן:
I am convinced that philosophical debate always ends in deadlock
ער האט אבער געזאגט דערויף:

That may suggest!an ‘anything goes’ attitude toward philosophical questions that I neither hold nor approve of. I would insist that when debate over a philosophical question ends in deadlock, it does not follow that there is no truth of the matter; or that we don’t know the truth of the matter; or that we ought to suspend judgement; or that we have no reason for thinking one thing rather than the other

אין די לעקציע [4:54-5:33] איז דר. איוואן שזעליעני מסביר העגעל'ס געדאנק (לפי רוב מפרשיו) פון "טיִסיס, אַנטיטיִסיס און סינטעטיס״, וואו אַנטיטיִסיס איז די נעגעישאן פונעם טיִסיס, און סינטעטיס איז די נעגעישאן פון דעם נעגעישאן, אבער דאך נישט דעם טיִסיס - עס איז עפעס ניי. אונז טרעפן מיר טאקע די געדאנק בעצם לגבי מגדיר זיין "ג-ט".

מי אני

אז מ׳האט אויבן גערעדט אין די געדאנק פון דאָבּל-נעגעישאן לגבי מגדיר זיין ״ג-ט״, איז כידוע דא צוויי סארטן דראָגס: אינהיבּטארי, וואס האלטן צוריק ניוראָטראסמיטארס אינעם מח, און עקסייטעטארי, וואס טוהן דאס פארקערטע. אלקאהאל איז אַן אינהיבּיטארי דראָג וואס (ווי דר. פּאָל בּלום איז דאס מסביר אין די לעקציע [27:06-27:15]) טוהט אינהיבּיטן די אינהיבּיטאָרי חלקים פונעם מח (הגם באמת זענען די חלקים אין ראם פון עקסייטעטארי) וואס האלטן אין אלגעמיין צוריק דעם מענטש, ולכן איז א שיכור ווילדער וכדומה.

ולפי״ז טרעפט מען אזא סארט ענליכן געדאנק פון א דאָבּל-נעגאטיוו ביי יין. האב איך געקלערט אז מ׳קען מיט דעם זאגן א רמז בהגמרא בעירובין סה. א״ר חנינא כל המתפתה ביינו יש בו מדעת קונו ע״ש. והיינו, אז ער פארשטייט די געדאנק פונעם דאָבּל-נעגאטיוו שבהיין, וואס די געדאנק איז לגבי לדעת את קונו וככל הנ״ל. (און דאס קען אויך זיין די רמז דארט פון נכנס יין יצא סוד. און דאס קען אויך זיין די געדאנק פון, סנהדרין ע., חמרא וריחני פקחין.)

איך האב געקלערט ווייטער אז עס איז דא א באקאנטן רמז ביי שתיית יין בפורים אז די (מגילה ז:) מיחייב איניש לבסומי בפוריא עד דלֹא ידע, אז די ווארט "ידע" איז ר"ת ע'ד ד'לא י'דע, ווייל די געדאנק דערין איז אז תכלית הידיעה שנדע שלא נדעך. דאס איז בעצם ווייטער אַן אינפיניט סיִקווענס, וויבאלד בתוך יעדעס "ידע" איז דא אַן "עד דלא ידע", וכן הלאה.

אויך האב איך געקלערט אז דער רמב"ם שרייבט במו"נ (ח"א פס"א) אז שם הוי' ב"ה איז מורה על עצמותו ית' וואס מ'קען דאך נישט משיג זיין און דעריבער אסור לקרוא אותו ע"ש. און אונז טרעפן מיר בנדרים ז: דכל מקום שהזכרת השם מצויה שם עניות מצויה ע"ש. ולהלן שם בדף מא. נקטינן דאין עני אלא בדעה ע"ש. והיינו הרמז אז די שם איז מורה על עצמותו שאי אפשר לדעתו אשר אין ענין "עני", וואס האט א קשר מיט'ן מזכיר זיין דעם שם, אלא בדעה.
דאס קען האבן א קשר מיט מיין חתימה. והא לך לשונו של הנפוצות יהודה (דרוש ט): "והוא שידע בלתי היותו יודע מאומה, כי תכלית מה שנדע שנדע שלא נדע, כמו שהיה סוקרטי הפילוסוף מעיד על עצמו שאחרי בלותו לא היתה לו עדנה בלמוד החכמות זולתי מה שהשיג כי מאומה לא ישא בעמלו שיולך בידו מהידיעה והחכמה", עכ"ל. הגם דאס איז לגבי חכמה הכלליות און נישט לגבי ידיעת ה' דייקא.

מי אני

דר. פרעד סאממערס פארציילט אז אלס תלמיד פון הגאון הרב דר. סאלאווייטשיק האט ער אים געזאגט, ״איך האב ספיקות איבער דאס מציאות פון ג-ט״. האט ער ארומגעלייגט זיין האנט ארום אים און געזאגט, ״פרעד, אינטעלעקטועלי איז עס 50/50. מ׳דארף גלייבן״.

דר. וויליאם לעין קרעיג זאגט בנוגע זיין דעבאטע מיט דר. קעווין שאַרפּ:

I have no confidence whatsoever in his claim that in order to believe in God I need to have a probability significantly higher than 51%. He gave no argument for that other than just an example. He gave an illustration that he thinks it is 51% probable that Hillary Clinton will win the presidential election. But that is not enough for him to believe that she will win. Well, fine, that is just an illustration. But in many other cases, 51% might be enough for a person to believe in something, especially (as William James pointed out) if this is a pressing conclusion that imposes itself upon you and is a matter of great urgency and importance, William James argued that in a case like that you are perfectly rational to believe in something even without evidence. This is James' famous essay, “The Will to Believe.” This idea that in order to believe something you have to be significantly more than 51% confident in it, I think is person-relative and subjective. For some people that might be true, for other people it might not. For some beliefs it might be true, but for other beliefs (as James said) it may not. I agree – I have no confidence in his argument from confidence!

ולגבי לאגיק און דעדאָקטיוו ארגומענטן בכלל זאגט ער:

Dr. Scharp's seems to think that the probability of the conclusion of a deductive argument cannot be any higher than the probability of the conjunction of the premises. You take the premises together and ask, “How probable is it that all of these premises are true?” And that will give you the probability of the conclusion. That is false in a deductive argument. The probability of the conjunction of the premises only sets a minimum probability for the conclusion. So if the probability of the premises is 51%, all that proves is that the probability of the conclusion cannot be less than 51%

It shows merely that the probability of the conclusion cannot be less than 51%. But it could be much higher. It could be 70, 80, 90%. I think Dr. Scharp was under the misimpression that the conclusion to a deductive argument has a probability which is simply equal to the probability of the conjunction of the premises

דר. פּעטריק קעין שרייבט במשנתו של קאנט:

Allen Wood adduces significant textual evidence which confirms his emphasis upon Kant's conviction that belief in God's existence cannot be morally required, that is, there cannot be a moral obligation to believe that God exists (nor can belief in his existence be justly required by the state). Kant held these convictions out of respect for freedom of conscience, a disdain for hypocrisy, and because they fitted with his belief that the best 'theoretical' evidence and arguments could only establish God's logical possibility, that the concept of God is not self-contradictory. As Wood correctly notes, Kant did suggest that the 'minimum of theology' everyone can be expected to accept is the minimum compatible with this theoretical evidence, that is, that 'it is possible that there is a God', and sometimes claimed that 'religion' does not necessarily involve 'assertoric faith' in God, that is, belief in the existence of God, as opposed to his mere possibility. Thus, it is indeed possible for an agnostic (what Kant liked to call a 'sceptical' as opposed to a 'dogmatic' atheist) to be religious in Kant's sense

Yet, from the claim that religion may not necessarily involve assertoric faith in the existence of God, it does not follow that assertoric faith cannot be rationally required. In fact, Kant consistently asserted that it is. In his lectures on religion in the 1780s, for example, Kant compared the epistemic status of the 'firm conviction' in the postulate of God's existence with that of mathematical axioms

דר. אנטאני ענדערסאן איז מסביר גאָדעל׳ס אנטאלאגישע פּרוּף אויף מציאותו, וועלכע האט 3 דעפיניציעס, 6 אקסיאמען/פּרעמיסעס, און 3 טעארעמס וואס מ׳נעמט ארויס דערפון, אזוי:

אקסיאם 1). אויב א׳ האט א פּראַפּערטי ב׳ און פון א׳ קומט בהכרח אלס אפיר ג׳, דאן האט די ג׳ אויך ב׳. דאס מיינט אז יעדעס פּראַפּערטי וואס קומט אפיר פון א פּאזיטיווע פּראַפּערטי, איז אליינס פּאזיטיוו

אקסיאם 2). אויב די פארקערטע פון עפעס איז נעגאטיוו, דאן איז די עפעס פּאזיטיוו (ענליך צום געזעץ פון עקסקלוּדעד מיטן)

טעארעם 1). אויב א׳ איז א פּאזיטיווע פּראַפּערטי, דאן איז דא א מעגליכקייט אז עפעס מיט די א׳ עקזיסטירט

דערנאך איז ער נחית צו דעפינירן ״ג-ט״/א דיוויין בּיִאיִנג:

דעפיניציע 1). עפעס איז געטליך נאר (בדרך ״↔״) אויב עס האט אלס די עפעס׳ס עסענס ממש נאר (אויך בדרך ״↔״) פאזיטיווע פּראַפּערטיס

אקסיאם 3). געטליכקייט/דיוויניטי איז א פּאזיטיווע פּראַפּערטי

טעארעם 2). דאס שטעלט צאם אקסיאם 3 מיט טעארעם 1: עפעס קען מעגליך עקזיסטירן וואס איז געטליך

דעפיניציע 2). א׳ איז אַן עסענס פון עפעס, נאר אויב פאר יעדעס פּראַפּערטי ב׳ האט עס די עפעס די ב׳ בהכרח נאר אויב א׳ באדייט ב׳

אקסיאם 4). אויב א פּראַפּערטי איז פּאזיטיוו איז עס בהכרח פּאזיטיוו

טעארעם 3). אויב עפעס איז געטליך דאן איז געטליכקייט די עפעס׳ס עסענס ועיקר פּראַפּערטי

דעפיניציע 3). עפעס עקזיסטירט בהכרח נאר אויב יעדעס עסענס פונעם עפעס איז בהכרח

אקסיאם 5). הכרח׳דיגע/מוכרח המציאות איז פּאזיטיוו

די אוספיר דערפון איז אז ג-ט עקזיסטירט.

מ׳האט אויפגעוואוזן מיט א קאמפיוטער אז די לאגיק וואס ער טוהט איז וואליד און האלט אויס אויב נעמט מען אָן די אקסיאמען. די שאלה איז נאר לגבי איר סאַוּנדנעס/קאָדזשענסי.

מענאן בישאף שרייבט אין דעם:

Gödel starts with an axiom—an assumption, in other words: If φ has the property P and from φ always follows ψ, then ψ also has the property P. For simplicity, we can assume that P stands for “positive”. For example:, if a fruit is delicious, a positive property, then it is also fun to eat. Therefore, the fun of eating it is also a positive property

The second axiom further sets a framework for P. If the opposite of something is positive, then that “something” must be negative. Thus, Gödel has divided a world into black and white: Either something is good or bad. For example, if health is good, then a disease must necessarily be bad

With these two premises, Gödel can derive his first theorem: If φ is a positive property, then there is a possibility that an x with property φ exists. That is, it is possible for positive things to exist

Now the mathematician turns for the first time to the definition of a divine being: x is divine if it possesses all positive properties φ. The second axiom ensures that a God defined in this way cannot have negative characteristics (otherwise one would create a contradiction)

The third axiom states that divinity is a positive characteristic. This point is not really arguable because divinity combines all positive characteristics

The second theorem now becomes a bit more concrete: by combining the third axiom (divinity is positive) and the first theorem (there is the possibility that something positive exists), a being x could exist that is divine

Gödel’s goal now is to show in the following steps that God must necessarily exist in the framework that has been laid out. For this purpose, he introduces in the second definition the “essence” φ of an object x, a characteristic property that determines all other characteristics. An illustrative example is “puppylike if something has this property, it is necessarily cute, fluffy and clumsy

The fourth axiom doesn’t seem too exciting at first. It simply states that if something is positive, then it is always positive — no matter the time, situation or place. Being puppylike and tasting good, for example, are always positive, whether during the day or at night in Heidelberg, Germany, or Buenos Aires

Gödel can now formulate the third theorem: if a being x is divine, then divinity is its essential property. This makes sense because if something is divine, it possesses all positive characteristics — and thus the properties of x are fixed

The next step relates to the existence of a particular being. If somewhere at least one being y possesses the property φ, which is the essential property of x, then x also exists. That is, if anything is puppylike, then puppies must also exist

According to the fifth axiom, existence is a positive property. I think most people would agree with that

From this one can now conclude that God exists because this being possesses every positive property, and existence is positive

As it turns out, Gödel’s logical inferences are all correct — even computers have been able to prove that. Nevertheless, these inferences have also drawn criticism. Besides the axioms, which of course can be questioned (why should a world be divisible into “good” and “evil”?), Gödel does not give more details about what a positive property is

It’s true that by means of the definitions and axioms, one can describe the set P mathematically:

1. If a property belongs to the set, its negation is not included. The set is self-contained

2. The fact that the essence of the set has only the characteristics of the set is itself an element of the set. The set always has the same elements — independent of the situation. In this case, the situation is the mathematical model in which the set is contained

3. Existence is part of the set

4. If φ is part of the set, then the property of having φ as the essence of the set is also contained in the set

But all of this does not ensure that this set is unique. There could be multiple collections that satisfy the requirements. For example, as logicians have shown, it is possible to construct cases where, by Gödel’s definition, there are more than 700 divine entities that differ in essence

📎 511CBC7A-BB62-41DC-823E-38D4B45E3E53.jpeg דר. גרעהעם אַפּיִ טענה׳ט אז אפגעזעהן פון די לאגיק שבו פארמאגט דאס די זעלבע שוואכקייט ווי אנסעלם׳ס אריגינעלע אנטאלאגישע ארגומענט: מ׳קען דאס טענה׳ן אויף א געוואלד סארט ענטיטיס, ווי אויף א פּערפעקט אינזל ווי גאָנילאָ האט גע׳טענה׳ט בשעתו.

ווי אויך וואלט קאנט זיך לכאורה געדינגען אויף אקסיאם 5 אז מ'קען דן זיין אין מציאות/עקזיסטענץ ווי א פּרעדיקעט.

***

דר. קענעט סיִסקין שרייבט במשנתו של הרמב״ם און זיין נעגאטיווע טעאלאגיע און דאָבּל נעגעישאן:

Maimonides’ appeal to negation (GP 1.58) is often misunderstood because in normal speech a double negative usually indicates a positive. If I say that this dog is not lacking in the power of sight, you would be justified in concluding that it can see for the simple reason that sight is a power normally associated with dogs. What Maimonides has in mind is a more extreme form of negation. Thus “God is powerful” means “God does not lack power or possess it in a way that makes it comparable to other things.” Can God do something like move a book off a shelf? Yes, to the extent that God does not lack power but no to the extent that God does not have to move muscles, summon energy, or receive a supply of food or fuel. The power to create the whole universe is so far beyond that needed to move a book that any comparison cannot help but mislead

‏דער רמב״ם׳ס מהלך בסתם קען אולי גיין צוזאמען מיט מייסטער עקהארט׳ס מהלך אז די העכסטע געדאנק פון ״אַיִן״ איז הקב״ה.

***

הקטן

ס'איז היינט אן אפענע וועלט און ווער ס'וויל לערנען חכמה האט ב"ה אוואו צו גיין.

דר. טאם ניקאלס שרייבט לגבי דאס זילזול כהיום נגד אינטעלעקטשועליזם און reasoning און דאס אויפשטייג פון אנטי-אינטעלעקטשועליזם:

These are dangerous times. Never have so many people had access to so much knowledge, and yet been so resistant to learning anything

וכבר הבאתי מה שאמר היידעגער:

What is most thought-provoking in these thought-provoking times, is that we are still not thinking

‏כמובן קענען עקספּערטן אויך מאכן טעותים, און די טעותים קענען זיין גרעסערע אגב חורפיה לא דק, אבער על הכלל כולו איז עס ק״ו לטיפשים שלא קראו ולא שנו.

📎 418170FB-16C1-4718-8FD7-6E5D07DAD01E.jpeg ***

אינעם סוגיא פון גראַנדי׳ס סיריִס האט יעקב בּערנאָלי געוואוזן אז ווען איך האב איין נומער דיוויידעד ביי א צווייטע נומער צוזאמען מיט א דריטע נומער, איז ווילאנג די צוויי נומערן זענען נישט דאס זעלבע קומט דאס אויס צו די סיריִס (די גרעסערע נומער איז m): 📎 1305E99E-549F-477D-9F95-F476D0A3C428.jpeg ועפי״ז קומט אויס אז טאמער זענען ביידע דיווייזאר נומערן דאס זעלבע, והיינו צוויי מאל די זעלבע נומער, דאן קומט דאס אויס ענליך צו גראַנדי׳ס סיריִס מיט alternating פאזיטיוו און נעגאטיוו סיינס: 📎 DE043B04-EF0C-460F-B723-866D97856CDC.jpeg דניאל בּערנאָלי האט געוואוזן אז אויב שפילט מען זיך ארום מיט׳ן אריינלייגן 0׳ס אינעם סיריִס, קען מען דאס מאכן האבן עני וועליוּ צווישן 0 און 1.

די סיריִס פון:
1-2+4-8+16 אא״וו
וואס איז ענליך אין דעם אז עס טוישט כסדר אהין-און-צוריק פון פאזיטיוו צו נעגאטיוו, נאר יעדעס נומער דאפעלט זיך, איז בעצם דייווערדזשענט. נאר מיט מאטעמאטישע לומדות קען מען עס מאכן קאנווערדזשען צו 1/3. והיינו, דורכ׳ן דאס (לדוגמא) טראנספארמירן צום סיריִס:
1/2-1/4+1/8-1/16 אא״וו
וואס דאס קאָנווערדזשד צו 1/3 (דורך אַן אוילער סאָמעישאן).

*

ולגבי די געדאנק דערין אז 0 קען מען דאך צוטיילן אין צו 1-1, און דאס איז אַן אפטייל צווישן צייט וואס לויפט פאראויס און צייט וואס לויפט צוריקצווועגס ‏(ואגב עיין כאן), קען מען אויך זאגן ענליך לגבי די חילוק צווישן אטעאיסטן און טעאיסטן. ווייל ווי געזאגט:

מי אני

עס קומט אויס אז לגבי דאס פּראפּאזישאן פון דאס ״עקזיסטענץ״ פון ג-ט איז עס כעין 1 - 1 [איינס מיינוס איינס; פּאזיטיוו 1 און דערנאך צוגעלייגט צו דעם נעגאטיוו 1], און דער אטעאיסט זאגט דאך מעיקרא אויף דעם א גאנצע 0. איז די שאלה דא צי ביי די פאל איז 1-1 ≠ 0 אדער יא 1-1 = 0 ווי ביי געהעריגע מאטעמאטיקס? מיינענדיג, איז עס טאקע די זעלבע ווי דער אטעאיסט (עכ״פ בעלמא הדין) צי נישט?

וממילא איז די חילוק פשוט איינס און זמן: אז גראד נאך דער טעאיסט עפירמד דאס געבט ער דערצו די נעגעישאן. און ביי ג-ט טרעפט מען דעם געדאנק אז ער איז כביכול למעלה מן הזמן. וממילא טאמער געבט מען דעם עפענונג דערצו בכלל, הגם אז בתוך רגע כמימריה ווארפט מען דאס אפ, קען מען דערין אריינקוועטשן גאנץ רעליגיע.
‏און מ׳טרעפט טאקע (ברכות ז.) ביי דעם רגע כמימריה פון בלעם שהיה יכול לכוון, וואס איינמאל מ׳האט דעם פתח קען מען שוין גיין ווייטער (ע״ש בתוד״ה שאלמלי), אז די פסוק זאגט (מיכה ו ג) ומה הלאתיך ענה בי.

***

דער מאטעמאטיקער דר. דוד נעאוּ האט געזאגט לגבי צאמלייגן מאטעמאטיקס מיט טעאלאגיע:

Integration [of God into mathematics] is not possible in mathematics. In mathematics, God’s revelation is silent. There is nothing to integrate… as far as math goes, there ain’t nuthin’ there

***
📎 2E86BFB3-1638-4F59-8E43-7F5150CA6C41.jpeg ועיין כאן איבער די פּיטאגאָריען טעארעם וכאן איבער אוילער׳ס אידענטיטעט.

דער מאטעמאטיקער דר. דזשעימס פּראַפּ זאגט אז בעצם איז דאך עני פּאזיטיווע אינטעדזשער דו וועסט נאר אָנכאפן below די עוורידזש פון די גאנצע סעט פון פּאזיטיווע אינטעדזשערס. דאס איז וויבאלד עס זענען דא א פיניט צאל פון נומערן אונטער/קלענער פון דעם, אבער אַן אינפיניט צאל נומערן נאך/גרעסער פון דעם. אבער עפ״י ראַמאַנוּזשאן סאָמעישאן מאכט ער די וויץ: 📎 89BBC0B8-621A-4C24-88E3-B0466B822850.jpeg אויב די עוורידזש פונעם גאנצן סעט איז נאר 1/6, איז דאך יעדעס גאנצע פאזיטיווע אינטעדזשער אטאמאטיש מער ווי דעם.

ענליך צום געדאנק פונעם קאָלאַץ קאָנדזשעקטשור איז דא די געדאנק פון פרייליכע נומערן. דאס איז אז איך הייב אָן מיט א נומער. דערנאך סקווער איך יעדעס דידזשיט אינעם נומער און איך עדד זיי צאם. דערנאך, מיט די נומער וואס איך באקום, טוה איך איבער דאס שפיל. אויב צום סוף קום איך אָן צום נומער 1, דאן איז דאס א פרייליכע נומער. למשל: 📎 Happy.jpg עס קומט אויס אז אויב טוישט מען ארום די דידזשיטס פון א פרייליכע נומער, גייט יענע נומער אויך זיין א פרייליכע נומער, ופשוט.

אין בּעיס 2 און 4 איז יעדעס נומער "פרייליך". מ'ווייסט אז ביז בּעיס 500,000,000 איז נישטא קיין בּעיס ווי יעדעס נומער איז "פרייליך". מ'איז נישט זיכער צי בּעיס 2 און 4 זענען די איינציגסטע בּעיסעס ווי יעדעס נומער איז "פרייליך".

📎 0916A055-F84C-4D94-A919-2FB195E7F788.jpeg 📎 5F466EBB-457F-48A6-88E7-4012A6971A99.jpeg

מי אני

אז מ׳האט דערמאנט גראַנדי׳ס סיריִס בנוגע רעליגיע האב איך געקלערט ענליך אז דא [פון 1:50] איז מען מסביר, עפ״י דר. אנטאני פלוּ, אז ס׳איז יתכן לומר אז דער אטעאיסט און דער טעאיסט זאגן בעצם די זעלבע זאך אויף למעשה (עכ״פ לגבי די אביעקטיווע וועלט ממש). דאס איז נאך מער עפ״י א שטארקע מהלך פון טעאיסטישע נעגאטיווע טעאלאגיע. און ווי אונז האבן דא אראפגעברענגט:

מי אני

דאס דערמאנט פון דעם פראנצויזישן טעאלאג מישעל דע סערטעא'ס מימרא: The weight of [God's] transcendence makes any proposition relative, even to the point that the statement "God exists" has to be followed by a denial

והיינו, אז עס קומט אויס אז לגבי דאס פּראפּאזישאן אן פון דאס ״עקזיסטענץ״ פון ג-ט איז עס כעין 1 - 1 [איינס מיינוס איינס; פּאזיטיוו 1 און דערנאך צוגעלייגט צו דעם נעגאטיוו 1], און דער אטעאיסט זאגט דאך מעיקרא אויף דעם א גאנצע 0. איז די שאלה דא צי ביי די פאל איז 1-1 ≠ 0 אדער יא 1-1 = 0 ווי ביי געהעריגע מאטעמאטיקס? מיינענדיג, איז עס טאקע די זעלבע ווי דער אטעאיסט (עכ״פ בעלמא הדין) צי נישט?

‏(דאס קען שוין אויך אָנרירן אויף די געדאנק.)

דאס געבט אפשר א נייעם באדייט/קנייטש צו יוּקליד׳ס מימרא: The laws of nature are but the mathematical thoughts of G-d ווי אויך צו דר. מעקס טעגמארק׳ס היפאטעזיע… 😃

דער קריסטליכער טעאלאג דר. וויליאם לעין קרעיג איז (בעצם) נישט מסכים דערמיט. ער טענה׳ט אז דאס׳ן טענה׳ן ״ג-ט איז העכער פון מענטשליכע השגה און שפראך״ באדייט אז דאס פּרינציפּ פון בּייוועילענס, והיינו דאס געזעץ פון עקסקלוּדעד מיטן גייט נישט האלטן. ער האלט אז דאס איז אבסורד (און ווי אויך גייט דאס קעגן דאס געזעץ פון נאַן-קאַנטרעדיקשאן).

ועוד טענה׳ט ער, אז עס באדייט א סעלף-רעפערענץ וואס פרעגט דאס אפ. והיינו, די זאץ/פּראַפּאזישאן ״מ׳קען מגדיר זיין תוארים לגבי ג-ט דורך בּייוועילענט פּראַפּאזישאנס״ איז דאך בעצם אליינס א בּייוועילענט פּראַפּאזישאן לגבי ג-ט וממילא גייט די פּרינציפּ אליינס דא נישט נוגע זיין. אבער דאן איז דאך דאס נישט פאלש; עס איז ״אינדערמיט״. אבער מען זאגט דאך יא אז די פּראַפּאזישאן לגבי ג-ט איז פאלש ממש.

ובלשונו:

A second denial of theological truth comes from the quarter of Eastern mysticism and its peculiarly Western step-child, the New Age movement. According to this perspective, which I shall call mystical Anti-Realism, there are propositions about God all right, but they are neither true nor false; they are all of them truth valueless. Thus, propositions expressed by sentences like “God exists,” “God is good,” or “The world was created by God” are neither true nor false, having no truth value. God is said to transcend all categories of human thought and language, so that it is quite impossible to assert any truths about God, as Christian theology pretends to do

Unfortunately, it’s not even clear what is meant by the Mystical Anti-Realist claim that God is “above human thought and language.” This is a metaphorical expression; but what does it mean? The best sense I can make of this claim is that what logicians call the Principle of Bivalence fails to be valid for propositions about God. The Principle of Bivalence states that for any proposition p, p is either true or false. The Principle is very closely related to the Law of Excluded Middle, one of the famous three “laws of thoughts,” which states that for any proposition p and its negation not-p, either p is true or not-p is true. The claim under consideration is that propositions ostensibly referring to God are neither true nor false

Now on the face of it such a position seems incomprehensible, for it seems absurd to say that a logical contradiction is not false. But on this view a proposition expressed by a sentence like “God both exists and does not exist” is not false. Such a proposition seems necessarily false! Neither is it true that “God either exists or does not exist.” But this statement seems to be necessarily true — what other alternative is there?

But the position involves an even deeper incoherence. For consider the proposition expressed by the sentence: “God can be described by bivalent propositions.” Since that proposition is itself a proposition about God, the Principle of Bivalence should not be valid for it. Therefore, it cannot have a truth value; in particular, it cannot be false. But if it is not false, then how can it be the case, as the Anti-Realist claims, that the Principle of Bivalence fails for propositions about God? If the Principle of Bivalence fails for propositions about God, then isn’t it false that God can be described by bivalent propositions? The claim thus refutes itself: one cannot coherently affirm that propositions about God are neither true nor false

The Anti-Realist might retort that the above only shows that rational paradox is inevitable when we try to talk about God

וידוע די פראבלעם פון רעליגיעזע שפראך. ועיין במו״נ ח״א פנ״ט. (און ווי די קריסטליכע טעאלאג דר. סעלי מקפעיג האט געזאגט, ״טעאלאגיע איז מערסטענס פיקציע״.)

*

איך פארשטיי אז די אשכול איבער מאטעמאטיקס ממש גייט אריין אפטמאל אין פילאזאפיע/טעאלאגיע. אבער גאטלאבּ פרעגע האט געזאגט אז ״יעדעס גוטע מאטעמאטיקער איז כאטש א האלבע פילאזאף, און יעדעס גוטע פילאזאף איז כאטש א האלבע מאטעמאטיקער. א פילאזאף וואס האט נישט קיין קשר צו מאטעמאטיקס/דזשיאמעטרי איז נאר א האלבער פילאזאף. א מאטעמאטיקער וואס האט נישט קיין קשר צו פילאזאפיע איז נאר א האלבער מאטעמאטיקער.״ וידוע וואס איז געווען געשריבן ביים שער פון אפלטון׳ס ישיבה (אין א וועג דאס התייסדות פון מערב-וועלט פילאזאפיע): ״דער וואס קען נישט דזשיאמעטרי זאל נישט אריינטרעהטן.״ דער פייטן ופילוסוף געארג פיליפּ פרידריך פרייהער וואן הארדענבערג, באקאנט אלס ״נאָוואַליס״, האט געזאגט, ״פּיוּר מאטעמאטיקס איז רעליגיע.״

מי אני

‫איך האב געקלערט בדרך צחות אז לגבי ווי אזוי איך האב צוגעשטעלט דעם געדאנק פון אמונה צו גראַנדי׳ס סיריִס אז מ׳קען אין דעם אריינטייטשן דעם אויבן-דערמאנטן טאמסאן׳ס לאמפ חקירה. דאס שטעלט צאם גראַנדי׳ס סיריִס מיט די סיריִס פון 1+1/2+1/4+1/8 אא״וו וועלכעס קאנווערדזשד צו 2, אזוי ווי מ׳האט דערמאנט אנהויב אשכול. והיינו, די חקירה פרעגט אז אויב איך האב א לאמפ וואס איך צינד דאס אן נאכ׳ן דורכגיין 1 מינוט [לגבי די גראַנדי סיריִס וועט דאס האבן א וועליוּ פון 1] און איך לעש עס דערנאך אויס נאכ׳ן דורכגיין 1/2 מינוט [לגבי די גראַנדי סיריִס וועט דאס האבן א וועליוּ פון (1-)], דערנאך צינד איך עס צוריק אָן נאכ׳ן דורכגיין 1/4 מינוט, דערנאך לעש איך עס אויס נאכ׳ן דורכגיין 1/8 מינוט, איך צינד עס נאכאמאל אָן נאכ׳ן דורכגיין 1/16 מינוט, וכן הלאה והלאה. ווי דערמאנט גייען די אלע אינטערוואלס, הגם זיי זענען אינפיניט, קאנווערדזשען צו 2 [מינוט]. שטעלט זיך די שאלה, ביי 2 מינוט איז די לאמפ אנגעצונדען אדער אויסגעלאשן? דאז ווענדט זיך אינעם גראַנדי סיריִס וויבאלד בתוך די 2 מינוט איז דאך דא אן אינפיניט צאל פון געהאלבטע אינטערוואלס, וואס ביי יעדע פון זיי טוישט זיך עס אלטערנאטיוולי פון (1-) [אויסגעלאשן] צו 1 [אנגעצינדען], און די סיריִס קאנווערדזשד דאך נישט געהעריג כנ״ל. און אן ענטפער פון 1/2 ביי דעם אין די קאנטעקסט האט אויך נישט קיין זין.‬

‫ולענינינו, איז דאס אולי א שטיקל רמז אז בעת בריאת העולם, וואס מעשה בראשית איז וואו מען קלערט אויף מציאות הא-ל, טרעפן מיר אז ס׳דא דעם ״אור״ הגנוז מחמת הרשעים...‬
‫והיינו, אז צווישן אן אינפיניט סוּפערטעסק פון א בּיינערי אור וחושך ביז מען קומט אָן צום מושג פון ״2״ קעגנזייטיגע הוכחות, איז דאס א זאך וואס איז שווער משיג ומכריע צו זיין וכו׳ ונגנז הוא מבני אדם. 😃‬

‏דא צונעמט דר. אלכסנדר פּרוס די פּאראדאקס פונעם לאמפ אזוי:

1). צייט איז אַן אקטועלע אינפיניטי וואס איז צוטיילט לעתים

2). אי הכי איז די מעשה פון טאמסאן׳ס לאמפ (מעטאפיזיש) מעגליך

3). בהכרח, אויב איז דאס (מעטאפיזיש) אמת דאן איז דאס אדער אָנגעצינדן אדער אויסגעלאשן נאך 2 מינוט

די סתירה איז אז עס איז בהכרח נישט אָנגעצינדן און בהכרח נישט אויסגעלאשן נאך 2 מינוט - וויבאלד עס איז אלעמאל דא א צייט ווען עס איז אויסגעלאשן נאכ׳ן זיין אָנגעצינדן וכן להיפך, זייענדיג בעצם אַן אינפיניט צאל פאסירונגען פון אויסגעלאשן, אָנגעצינדען, אויסגעלאשן, אָנגעצינדען וכו'.

עס איז אבער מוכרח אויך צוצולייגן די הנחה אז:
4). יעדעס טויש אין די אָנגעצינדן צי אויסגעלאשענקייט דערפון איז א פועל יוצא פון די לעצטע טויש פאר די יעצטיגע. ווייל אז נישט איז דאך דאס פון זיך אליינס און אומאפהענגיק אין די סיריִס בכלל.

אבער דאן איז דאך די צווייטע הנחה פאלש: עס איז יא אומעגליך. דאס איז וויבאלד עס איז דאך אָנגעוואנדן אין ווי אזוי עס איז געווען ממש פריער, מיינענדיג דאס לעצטע טויש איז וואס איז פועל אויף וואס עס איז ענדגילטיג געבליבן. אבער עס איז דאך נישטא קיין ענדגילטיגע ״לעצטע״ טויש וכנ״ל!

און אין די סוגיא פון טעאיזם נוצט ער א סעלף רעפערענשאל משל אז עס איז כאילו מ'זאל פרעגן, ״אויב אטעאיזם איז אמת, וואלט ג-ט געוואלט מ׳זאל זיין אטעאיסטן?״ אבער אויב עס איז אמת איז דאך נישטא קיין ג-ט וואס וויל! ער זאגט אויך אז די פראבלעם ארבעט אויף פארקערט טאמער זאגט מען בריאת יש מאַיִן דערביי (וואס גראַנדי האט דאך געוואלט צייגן מיט זיין גראַנדי׳ס סיריִס, צו וואס דאס איז דומה, לענין בריאת יש מאַיִן). והיינו, אויב ג-ט באשאפט אזא סארט לאמפ מאַיִן איז עס אדער געווען אָנגעצינדן אדער אויסגעלאשן ביים בריאה. אבער דאס איז אויך נישט תלוי אין קיין פריערדיגן פאזיציע בעפאר.

דר. פּרוס פאר זיך האלט אז הגם אקטועלע אינפיניטיס זענען מעגליך (וסמך לזה ממאטעמאטיקס), איז אבער קאָזעל פיניטיזם אמת. והיינו אז עס איז אומעגליך צו זיין אַן אינפיניט סעריע פון פועל ונפעל; אזוי ווי ביי די טאמסאן׳ס לאמפ און דערפאר איז דאס טאקע נישט מעטאפיזיש מעגליך (ער זאגט אז דאס איז זיכער סינטעטיש אומעגליך וויבאלד די שנעלקייט אין צייט ביי דעם וואס ווערט מער און מער גייט עווענטועל גורם זיין אז די טויש פונעם switch וכו׳ גייט שנעלער ווי די שנעלקייט פון ליכטיגקייט).
דאס שטארקט אויך די קאלאם קאסמאלאגישע ארגומענט אז אויב דארף אלעס א cause, דארף אלעס אָלטימעטלי האבן אַן uncaused cause.

אגב, דר. וויליאם לעין קרעיג זאגט אז עס ליגט נישט אין זיין מאדערנע ווערסיע פונעם קאלאם קאסמאלאגישן ארגומענט א טענה/הוכחה פאר בריאת יש מאַיִן.

ועיין במו״נ ח״א פע״ג-עו וואו ער גלייכט נישט די (אריגינעלע) קאלאם ארגומענט.

דער פילאזאף דר. וויליאם רוֺי, אַן אטעאיסט, האט פארמולירט וואס ער האט גערופן די הוּם-עדוואָרדס פּרינציפּ. דאס לויטעט אז אויב יעדעס חלק פרטי בתוך א סעט האט א סיבה אלס א הסבר (פאר איר עקזיסטענץ), דאן האט מען מסביר געווען די סעט על הכלל מיט א סיבה אלס א הסבר (פאר איר עקזיסטענץ). דאס איז אָנגעבליך א פירכא צו אבן סינא׳ס הוכחה בפרט און דעם (קאלאם) קאסמאלאגישן ארגומענט בכלל: מ׳דארף נישט זוכן קיין אנדערע סיבה פאר דאס עקזיסטענץ פונעם כלל ווען מ׳פארשטייט א הסבר צו דאס עקזיסטענץ פון יעדעס חלק פרטי בתוכה. דר. אלכסנדר פּרוס טענה׳ט אבער אז דאס גייט נישט אָן ביי אַן אינפיניט קאָזעל ריִגרעס פון סיבות (עכ״פ טאמער איז עס א סארט אינפיניטי וואס האט אַן אָנהויב נאר איך קען דאס אינפיניטלי צוטיילן - איך וועל אין אזא פאל מוזן צוקומען צו א סיבה מחוצה לה), ואפילו ביי פיניט סעריע פון קאָזעל סיבות איז דאס אבער סירקולער. ועפי״ז, אויב איז די הוּם-עדוואָרדס פּרינציפּ אמת וויל ער גאר יא שטארקן דאדורך די טענה פון א סיבה ראשונה.

מי אני

וז"ל של העיקרים (מאמר ב פ"ו):

אבל לפי האמת אין זה גדר ולא רושם, כי הוא יתברך אין לו גדר, כי הגדר מחובר מסוג והבדל, ומלת 'נמצא' אינה סוג שתאמר על כל נשואיו בהסכמה כמו שמדרך הסוג להיות כן, כי אין בעולם סוג יכללהו עם זולתו. כי לא יאמר 'נמצא' על הא-ל יתברך ועל זולתו בהסכמה, כי המציאות האמתי הוא אליו יתברך, ומציאות שאר הנמצאות קנוי ממציאותו, ואחר שהנמצא אינו סוג יכלול אותו יתברך ואת זולתו, אין לו הבדל.

ועיין ג"כ במו"נ ח"א פנ"ז "הוא נמצא ולא במציאות" ע"ש.

דאס דערמאנט פון דעם פראנצויזישן טעאלאג מישעל דע סערטעא'ס מימרא:
‏

The weight of [God's] transcendence makes any proposition relative, even to the point that the statement "God exists" has to be followed by a denial

דער אור ה׳ איז אויך מסביר (מאמר א כלל ג פ״ג) דעם רמב״ם:

והעמיק עוד כי גם המציאות והאחדות לא יאמר בו ית׳ כי אם בשיתוף השם.

ועפי״ז וזה.

ער פאר זיך, אין דעם ענין פון אינפיניטי [נושא האשכול], האלט אז עס איז יא שייך תוארים בהקב״ה ביחס לזולתו. און די געדאנק אז די חילוק ביניהם איז צווישן פיניט און אינפיניט [בתכלית ובבלתי בעל תכלית], וממילא איז עס אינו נערך במדריגה, איז גענוג מספיק אויף צו זאגן אז עס איז נישטא קיין דמיון ביניהם (דער רלב״ג האלט אויך בעצם אזוי במלחמות ה׳ מאמר ג פ״ג). דאס זעלבע האלט ער איז בנוגע די חילוק בינו לבין ברואיו צווישן מחוייב המציאות און אפשרי, וואס איז במין. וממילא קען מען יא זאגן ״מציאות״ עליו ית׳ וואס איז א תואר עצמי (און נישט קאָלעפּסט לעצמותו, וואס דעמאלטס וואלט די ״עצמיות״ אליין געווען מובן אצלינו, וואס דאס איז מן הנמנע אלס׳ן זיין זיין השכל המשכיל והמושכל אחד, ועיין במו״נ ח״א פס״ח) וואס מ׳קען יא זאגן און איז די הוראה אז ער איז בלתי נעדר.

ער איז אויך קעגן דעם געדאנק פונעם רמב״ם בזה וואס האלט כנ״ל אז א דאָבּל-נעגאטיוו ביי דעם איז נישט קיין פּאזיטיוו. ווי ער שרייבט:

ובכלל, באמרינו שהוא ית׳ איננו בלתי יודע, כבר חייבנו שהוא יודע… [ו]מה שיתחייב ביודע, יתחייב ביכול ורוצה ושאר התוארים.

***

ווי ארויסגעברענגט אָנהויב אשכול זענען דא צוויי וועגן ווי אזוי ארויסצושרייבן דעם זעטאַ פאָנקשען: אדער אלס אַן אינפיניט סומע אדער אלס אַן אינפיניט פּראדוקט. 📎 F1E3B0E0-3D59-426A-8ACF-584C6D6C5B4C.jpeg די שאלה שטעלט זיך וועלכע איז מער אקוראט ווען מ׳שטעלט דאס אפ ״אינדערמיט״; ווען עס איז פיניט? דא ווייזן זיי אז לכאורה געבט די פראדוקט ווערסיע מער ביז עס ״קומט אָן״ לאינפיניטי.

***

‏דא ברענגט דער מאטעמאטיקער דר. מעטיוּ וואטקינס צו א טעאלאגישע ״פּרוּף״ פאר׳ן ריעמאן היפּאטעזיע…

***

ולגבי דר. וויליאם לעין קרעיג׳ס דעבאטע מיט דר. קעווין שׁאַרפּ ברענגט דר. קרעיג צו פון דר. טימאטי מקגרוּ, לגבי דאס למעשה׳דיגע נישט דעמאנסטרעטיוו נאטור פון די סארט ארגומענטן:

If someone concluded that each of these arguments for God’s existence has only a 13% chance of being true or sound then instead of saying it's still more likely than not that at least one of the arguments is true he should say “It's still more likely than not that God exists.” That the overall conclusion is true. So he's quite right, and Tim McGrew (an excellent philosopher in dealing with probability theory at the University of Western Michigan) has published an article on this in Philosophia Christi where he points out the power of the cumulative case where it could be that in the case of these five arguments that I typically present (or seven in the Sharp debate) each one has, say, only a 13% probability that theism is true given that argument. And yet the cumulative force of the case would easily satisfy the demand of Sharp that this overall conclusion be highly probable. So he's quite right. That is the power of a cumulative case. You don't even need to present arguments that make it 51% probable that God exists. One could make it 23% probable that God exists, another 25%, another 15%. And yet the overall cumulative probability of the arguments would make it highly probable that God exists

ועיין כאן במה שהבאתי מדר. עלווין פּלאנטינגא.

הרב דר. מיכאל אברהם איז מסביר גאָדעל׳ס מאָדעל הוכחה למציאות הא-ל. ער הייבט דארט אָן: 📎 D7E0E450-D889-4EA6-BE37-D036B5E15963.jpeg 😃

צום סוף פירט ער אויס אז מ׳קען דאס נוצן אלס א הוכחה צו ריין פילאזאפישע אינטוּאיטיוו מושגים, ״פילאזאפיע״, וואס זענען פועל אויף ראיות עובדות, הגם אז זיי אליינס זענען נישט ניתן לחושים: 📎 736FA4CD-BA82-431E-84E7-DC77ED812601.jpeg

מי אני

און אז מ׳האט דערמאנט די געדאנק פון גאָדעל׳ס טעארעם, וואס צייגט טאקע אויף די געדאנק פון אומעגליכקייט אלעס צו דערגיין בתוך א סיסטעם, שרייבט דער מאטעמאטיקער דר. דזשעימס סטיין אז עס איז יתכן אז עס איז דא א פּרוּף וואס צייגט אויף דאס אומעגליכקייט צו אויפווייזן אדער אפפרעגן מציאת הא-ל (איינמאל מ׳האט דעפינירט די פּראַפּערטיס פונעם מושג ״ג-ט״):

Both sides [theism and atheism] have been so busy trying to construct proofs supporting their case that it seems to me they have overlooked the obvious. Once the attributes of a deity are precisely defined, there may be a proof that it is impossible to prove the existence or nonexistence of such a deity. Alternatively, the deity hypothesis may possibly be shown to be independent of a set of philosophical axioms, adjoining either the deity hypothesis or its negation to those axioms leads to a consistent axiom set

ווי איך פארשטיי, לערענט אפ דר. עלווין ריינעס דעם רמב"ם לגבי נבואת משרע"ה אז משרע"ה איז (דורך שלימות אין "געשטאלט אינטוּאישאן") צוגעקומען צו א דעמאנסטרעטיוו פּרוּף ממש על מציאות ה'. ער שרייבט דארט:

I feel Maimonides' theologic agony was his striving and subsequent failure to discover the Mosaic mode of proof for the existence of God

עכ"פ אויב איז דאס טאקע פשט, דאן קומט אויס אז עס ליגט אינעם זיבעטן עיקר מהי"ג עיקרים של הרמב"ם במעלת נבואת משרע"ה, אז מ'זאל גלייבן אז עס איז יא פארהאן א דעמאנסטרעטיוו פּרוּף ממש על מציאות ה', הגם אַן אלגעמיינעם מענטש קען נישט צוקומען דערצו סיידן טאמער ער איז במדריגת השלימות כמו משרע"ה.

בנוגע ראַמאַנוּדזשאַן סאָמעישאן האט מען מרחיב געווען די וויץ אזוי: 📎 5381B0F4-09E9-4779-BD8F-8C494435A48B.jpeg ובנוגע דאס אז מ׳קען פּלאַטן אויף א גרעף די אימעדזשינערי נומערן מלמעלה למטה און די עכטע נומערן מימין לשמאל, איז דא די וויץ: 📎 49B535F3-9700-401F-829F-60C367D97FA4.jpeg און אז מ׳רעדט שוין, לגבי גרעפס בכלליות: 📎 59E44590-DB78-466A-AD53-7F049545475A.jpeg (אין פיזיקס וכדומה איז די x עקסיס אפטמאל צייט. די ״ארידזשין״ ביי א גרעף באדייט וואו סיי די x און סיי די y זענען 0.) 📎 3CA2A95C-77A2-47AB-93C5-90A6F35FCFD7.jpeg ובענין i (צוזאמען מיט טריגאנאמעטרי): 📎 2F584D72-3942-444B-9DCB-53521511D1CF.jpeg

אביסל ענליך צום סעינט פּעטערסבּורג געים שרייבן דר. פרענק ארנצעניאוס, דר. אדם עלגא, און דר. דזשאן האָטאָרן אזא סארט משל (צווישן אנדערע):

דאנאלד טראמפּ באקומט אַן אפפער פון א באנק אין רוסלאנד (יא יא…). אויב געבט ער זיי א מיליאן דאלאר וועלן זיי אים מאכן (קאַוּנטעבּל) אינפיניט אפפערס פון געבן רובל ווי פאלגענד: יעדעס רובל באנקנאט האט א סיריעל נומער אָנגעהויבן פון 1. ביי 12:00 וועלן זיי אים געבן 10 רובל באנקנאטן, אין די רייע אָנגעהויבן על הסדר פון די קלענסטע סיריעל נומער און ארויף, און די מיט די קלענסטע סיריעל נומער, די מיט די נומער 1, דארף ער פארברענען. אז נישט באקומט ער גארנישט. 12:30 באקומט ער נאך 10 רובל באנקנאטן און ער דארף ווייטער פארברענען די מיט די קלענסטע סיריעל נומער וואס ער האט בכלל [די צווייטע קלענסטע וואס ער האט באקומען 12:00, והיינו די מיט די נומער 2]. 12:45 עוד הפעם. 12:52 עוד הפעם. 12:57 עוד הפעם. וכן הלאה והלאה על זה האופן אינפיניט פעמים ביז מ׳קומט אָן צו 1:00.

ער נעמט אָן דעם דיעל און ס׳קומט אויס אז ביי 1:00 האט ער גארנישט.

דאס איז אויך א משל פון זיי, וואס האט צו טוהן מיט קאַנווערדזשענס וואס איך האב אָנגעהויבן די אשכול מיט: 📎 4BC20895-6121-4D6B-9046-158580A4B055.jpeg ***

לגבי מאניפּולירן דיווערדזשענט סיריִס שרייבט דער מאטעמאטיקער דר. דזשעימס פּראַפּ:

Mathematicians don’t have much use for divergent series these days, but physicists seem to have a higher tolerance for them. String theorists actively like them. Of course they do

***

דער מאטעמאטיקער דר. סטיווען סטראָגאץ שרייבט לגבי די אוילער אידענטיטעט: 📎 67B63DF8-F3E6-47B3-A86D-96EA971CD7A4.jpeg

‏דא האב איך געשריבן איבער דעם אז ווען אַן עקספּאָנענט איז א פרעקשאן, דאן באדייט דאס אז די די דענאמינעיטאר וועט זיין די מספר פון די רוּט [2 פאר א סקווער רוּט, 3 פאר א קיוּבּיק רוּט, 4 פאר א 4 רוּט [א נומער מאל די זעלבע נומער מאל די זעלבע נומער מאל די זעלבע נומער וועט אנקומען צו די נומער אין די רוּט], און די נוּמערעיטאר וועט זיין די עקספּאָנענט פון די נומער אין די רוּט. דאס אויפצוווייזן באנוצט מען זיך מיט וואס ווערט גערופן דעם פּרינציפּ פון פּערמאנענס. דאס באדייט אז נישט קיין חילוק וועלכע סארט נומערן איך נוץ אריינצולייגן אין די וועריעבּל פון אַן אַלגעבּרעאישן עקוועישאן [גאנצע, פרעקשאנס, ואפילו קאמפּלעקס], וועט די אַלגעבּרעאישע עקוועישאן נאכפאלגן די זעלבע אלגעמיינע הלכות און manipulations ולפי די נומער שבה.

דער מאטעמאטיקער דר. דזשעימס פּראַפּ שרייבט ווי אזוי דאס ווייזט אז עקספּאָנענטס וואס זענען פרעקשאנס, זענען באמת רוּטס: 📎 DCE143EB-6F39-4F2A-9522-06D0E512444C.jpeg כידוע, ווען מ׳מאָלטיפּלייט צוויי בּעיסעס וואס זענען דאס זעלבע, וואס האבן עקספּאָנענטס, לאז איך די בּעיס די זעלבע און איך עדד צאם די עקספּאָנענטס. (ווען איך דיווייד צוויי בּעיסעס וואס זענען דאס זעלבע, וואס האבן עקספּאָנענטס, לאז איך די בּעיס די זעלבע און איך סאָבּטרעקט די צווייטע עקספּאָנענט פונעם ערשטן. ווען איך העכער א בּעיס מיט אַן עקספּאָנענט ביי א צווייטע עקספּאָנענט, לאז איך די בּעיס דאס זעלבע און איך מאָלטיפּליי די עקספּאָנענטס.)

די פּרינציפּ האלט אבער נישט אלעמאל, ולדוגמא ביי קאָטערניִאַנס וכמבואר. אבער דאס אליינס צו דעגרינטעווען ״פארוואס נישט?״, איז וויכטיג צום פארשטאנד פונעם נושא.

און אז מ׳רעדט שוין, שרייבט ער דארט לגבי פרעקשאנס בכלל:

Many people find fractions and decimals confusing, counter-intuitive, and even scary. Consider the story of the A&W restaurant chain’s ill-fated third-of-a-pound burger, introduced as a beefier rival of the McDonald’s quarter-pounder. Many customers were unhappy that A&W was charging more for a third of a pound of beef than McDonald’s charged for a quarter of a pound. And why shouldn’t they be unhappy? Three is less than four, so one-third is less than one-fourth, right?

Well, that’s what many of those aggrieved customers told the consultants who had been hired to find out why A&W’s “Third is the Word!” innovation had gone so disastrously awry. But I wonder if those customers were rationalizing (sorry…) after the fact. Maybe some of these people had had such bad experiences when learning about fractions in school (the awkward fraction 1/3 in particular) that they preferred to avoid eating at establishments that triggered their math anxiety

🙂

ער שרייבט דארט אויך לגבי דעם ארכימידיען פּרינציפּ. דאס לויטעט אז ווען איך האב צוויי נומערן, וואס איינס איז פיל פיל פיל קלענער ווי דאס צווייטע, גיי איך אלס האבן א נומער וואס איך קען מאלטיפּלייען די קלענערע ביי, כדי עס זאל אָנקומען צו כאטש אזוי גרויס ווי די גרעסערע נומער. אין אנדערע ווערטער, עס איז אין א סעט וואס האט נישט קיין אינפיניטלי קליין אדער אינפיניטלי גרויס. ער שרייבט:

the Archimedean property: Given two counting numbers m and n, no matter how disparate in size they are, if you add enough m’s together you can get a sum at least as big as n, and vice versa. The older I get, the more profound I think the Archimedean Property is, not just as a mathematical assertion but as an assertion about the observable universe. We study quarks and we study galaxies, and they’re very different from each other, but they occupy a common scale, with human beings somewhere in the middle. Maybe there are things that are infinitely smaller than quarks or infinitely larger than galaxies, but how could we ever come to know about them? It seems to me that the Archimedean property of the counting numbers in a way corresponds to fundamental limits on our ability to probe the universe with our finite bodies and minds

ועיין כאן.

ובענין לימיטס ביז אינפיניטי איז, כידוע, אויפגעוואוזן אין מאטעמאטיקס אז
.9999999999…=1

שרייבט דארט דר. פּראַפּ:

I asked ChatGPT, the modern apotheosis of unjustified self-confidence, to prove that .999… is less than 1. Its reply began “Here is a proof that .999… is less than 1.” It then proceeded to show (using familiar arguments) that .999… is equal to 1, before majestically concluding “But our goal was to show that .999… is less than 1. Hence the proof is complete.” This reply, as an example of brazen mathematical non sequitur, can scarcely be improved upon

Curiously, shortly after ChatGPT gave me this answer, the chat session terminated unexpectedly, and when I started a new session and repeated my question, ChatGPT gave me a more sensible answer; no matter how strongly I prompted it, it wouldn’t repeat its earlier bogus answer. I know ChatGPT is just a predictive language model, but it was hard no avoid the sensation that this predictive language model was ashamed of its earlier response

😃

ולגבי ראַמאַנוּזשאַן סאָמעישאן שרייבט דא דר. פּראַפּ:

Ramanujan himself didn’t mention the zeta function; he just did some manipulations of the series. But which manipulations are we allowed to do? There’s the rub. There are ways to manipulate Ramanujan’s sum so as to lead to different conclusions than Ramanujan’s. For instance, there’s a way to “prove” (*) that 1+2+3+4+… is 0, and there are infinitely many ways to “prove” that 1+2+3+4+… is −1/8. There are good reasons to prefer Ramanujan’s manipulations to these, but anyone who shows you Ramanujan’s derivation without explaining why his way of juggling symbols is profound and the others are mere curiosities isn’t telling you the whole story

I think it’s misleading to say that 1+2+3+4+… equals −1/12. It would be better to say something more like “the divergent series 1+2+3+4+… is associated with the value −1/12” or “the zeta-regularized value of the series 1+2+3+4+… is −1/12” or “The Ramanujan constant of the series 1+2+3+4+… is −1/12.” Phrasing the result this way isn’t as catchy as asserting equality, but it’s more honest (while at the same time more respectable-sounding than “1+2+3+4+… wants to be −1/12”)

(*) If S = 1+2+3+… then 2S = 1+1+2+2+3+3+… = 1+(1+2)+(2+3)+… = 1+3+5+… = (1+2+3+…) − (2+4+6+…) = S − 2S = −S, and 2S = −S implies S = 0

📎 C923679B-0B64-4C96-9CD8-58B41FB4ED80.jpeg ***

עס איז אויך דא די געדאנק פון קאַוּשי סיִקווענסעס. דאס זענען סיִקווענסעס וואס מ׳קען גרינגער זעהן אז זיי קאַנווערדזשען, וויבאלד ווי ווייטער די סיִקווענס גייט אלס ווייניגער איז די מרחק און דיפערענץ צווישן די צוויי נומערן וואס זענען איינס נעבן דאס אנדערע. אין אנדערע ווערטער, אין דעם סיִקווענס, ווען איך כאפ אָן א ווייטקייט צווישן נומערן, זענען אלע (די אינפיניט לינקע זייט) קלענער ווי דעם אחוץ א פיניט צאל וואס זענען גרעסער (די פיניט רעכטע זייט).

לגבי דעם אז א דאָבּל-נעגעישאן לגבי תוארים על הקב"ה באדייט נישט א פּאזיטיוו, שרייבט דר. משה הלברטל:

Just as we cannot say that God “sees,” neither can we say that God “knows”; and just as we cannot say that God “sits,” neither can we say that God “is present” or “exists”

The inclusive nature of the attribute/adjective transforms religious language into a medium that ignores God’s transcendence from the world. Maimonides therefore takes the view that one can only negate the association of certain attributes with God; one can say, for example, that He is not absent or that He is not multiple, but no positive attributes can be associated with Him. It should be emphasized that the negative attributes are categorical negatives, that is, one may infer no positive attributes from them. Ordinary negation differs logically from categorical negation in that ordinary negation allows for the corresponding positive attribute — that is, the opposite of the attribute being negated — to be inferred. If a person is said not to be absent, it may be inferred that he is present. But if the number three is said not to be yellow, it cannot be inferred that it is green or red. In that sort of categorical negation, what is negated is the category of color with respect to numbers. The expression “God is not absent” does not allow for the inference that God is present, as it would in a case of ordinary negation. Categorical negation maintains that the category of absence or presence, as we know it, does not apply to God; the same is true of unity and multiplicity. Because there is no way to apply positive attributes to God, all that we know about his essence pertains to what He is not. A person who knows God advances through the sequence of negations and comes to know more and more that he does not know

ולגבי צי ס'איז שייך א דעמאנסטרעטיוו פּרוּף למציאות ה', שרייבט ער עפ"י משנתו של דר. שלמה פינס, וועלכער האט אפגעלערענט דעם רמב"ם במו"נ אלס צוצוקומען צו א סארט סקעפּטיסיזם בעניני מעטאפיזיקס:

But if the critique of religious language is taken seriously, then a proof of God’s existence that concludes with the statement “God exists” lacks any meaning whatsoever. God cannot be known in any positive way, and so the immortality of the soul [which is achieved through the actualization of the soul's capacity to apprehend metaphysical truths] is likewise impossible. Accordingly, human perfection must be situated in some context other than knowledge of God, for in this critical view of things, that knowledge includes only what cannot be known

זיי שרייבן:

Bernhard Riemann died in 1866 at the age of 39. Here is a list of things named after him

Riemann bilinear relations
Riemann conditions
Riemann form
Riemann function
Riemann–Hurwitz formula
Riemann matrix
Riemann operator
Riemann singularity theorem
Riemann surface
Compact Riemann surface
The tangential Cauchy–Riemann complex
Zariski–Riemann space
Cauchy–Riemann equations
Riemann integral
Generalized Riemann integral
Riemann multiple integral
Riemann invariant
Riemann mapping theorem
Measurable Riemann mapping theorem
Riemann problem
Riemann solver
Riemann sphere
Riemann–Hilbert correspondence
Riemann–Hilbert problem
Riemann–Lebesgue lemma
Riemann–Liouville integral
Riemann–Roch theorem
Arithmetic Riemann–Roch theorem
Riemann–Roch theorem for smooth manifolds
Grothendieck–Hirzebruch–Riemann–Roch theorem
Hirzebruch–Riemann–Roch theorem
Riemann–Stieltjes integral
Riemann series theorem
Riemann sum
Riemann–von Mangoldt formula
Riemann hypothesis
Generalized Riemann hypothesis
Grand Riemann hypothesis
Riemann hypothesis for curves over finite fields
Riemann theta function
Riemann Xi function
Riemann zeta function
Riemann–Siegel formula
Riemann–Siegel theta function
Free Riemann gas
Riemann–Cartan geometry
Riemann–Silberstein vector
Riemann-Lebovitz formulation
Riemann curvature tensor
Riemann tensor
Riemannian graph
Riemannian group
Riemannian holonomy
Riemannian manifold also called Riemannian space
Riemannian metric tensor
Riemannian Penrose inequality
Riemannian polyhedron
Riemannian singular value decomposition
Riemannian submanifold
Riemannian submersion
Riemannian volume form
Riemannian wavefield extrapolation
Sub-Riemannian manifold
Riemannian symmetric space
Riemann's differential equation
Riemann's existence theorem
Riemann's explicit formula
Riemann's minimal surface
Riemann's theorem on removable singularities
Riemannian Geometry
Riemannian 2-Manifold
Riemannian Connection on a Surface
Pseudo-Riemannian Manifold

📎 ריעמאן.jpg

אין דעם סוגיא פונעם ריעמאן זעטאַ פאָנקשען איז דא דאס ריעמאן-סיעגעל זעטאַ פאָנקשען (אויך גערופן דעם Z פאָנקשען) וואס העלפט דאס איוועליוּעיטן. דאס ארבעט עפ״י די געמאַ פאָנקשען און די ריעמאן-סיעגעל טעטאַ פאָנקשען.

די געמאַ פאָנקשען איז א מאטעמאטישע לומדות פון אויסברייטערן די געדאנק פון א פעקטאָריעל (פאָנקשען) צו קאמפּלעקס נומערן אויך; עכ״פ וואו די ״עכטע״ חלק פונעם נומער איז פּאזיטיוו. עפי״ז ארבעט די ריעמאן-סיעגעל טעטאַ פאָנקשען אז ווען איך האב א נומער נעם איך די געמאַ פאָנקשען פונעם קאמפּלעקס נומער פון ״עכטע״ (פּאזיטיוו) 1/4 פּלאָס/מיט די אימעדזשינערי האלב פון דעם נומער וואס איך האב געוועהלט. דערנאך נעם איך אוועק דערפון די לאַגעריטם (בּעיס פון 10) וואס גייט מיר געבן π, טיימס די נומער וואס איך האב געוועהלט, און איך נעם דערנאך די האלב דערפון. 📎 30908317-855A-419D-B5CA-1170E98EFC5E.jpeg עפי״ז איז די ריעמאן-סיעגעל זעטאַ פאָנקשען/Z פאָנקשען פאר א נומער, ווען איך נעם די ריעמאן-סיעגעל טעטאַ פאָנקשען פון דעם נומער, געב דאס אלס אימעדזשינערי, און שטעל דאס אלס די עקספּאָנענט פון אוילער׳ס נומער (ועיין ערך אוילער׳ס אידענטיטעט). דערנאך מאָלטיפּליי איך דאס ביי די (געהעריגע) זעטאַ פאָנקשען פונעם קאמפּלעקס נומער וואס איז פאזיטיוו (״עכטע״) 1/2 פּלאָס די נומער וואס איך האב געוועהלט אלס די אימעדזשינערי חלק. 📎 B7656050-C262-43E3-8A44-BCB1C9E5A3B9.jpeg עס קומט אויס אז די זעראָס פון די ״עכטע״ נומערן וואס איך פיטער אריין צום ריעמאן-סיעגעל זעטאַ פאָנקשען/Z פאָנקשען זענען די ״נאַן-טריוויעל״ זיראָס פונעם זעטאַ פאָנקשען ווען די ״עכטע״ חלק איז 1/2, און די זיראָס פון די קאמפּלעקס נומערן דערפון זענען די ״טריוויעל״ זיראָס פונעם זעטאַ פאָנקשען.

***

אז מ׳האט פריער דערמאנט די געדאנק פון דיסטריבּיוּשאן ביי לאגיק, איז ווי אזוי עס ארבעט דארט איז אז טאמער האט מען א פּראַפּאזישאן:
א׳ און (ב׳ אדער ג׳)

דאן איז דאס די זעלבע ווי:
(א׳ און ב׳) אדער (א׳ און ג׳)

אגב, דער מאטעמאטיקער גאטהאלד אייזענשטיין, וואס על שמו ווערן גערופן די אייזענשטיין אינטעדזשערס, איז ל״ע געשטארבן אלט זייענדיג 29 יאר (אזוי ווי אנדערע מאטעמאטישע עילוים וואס זענען ל״ע געשטארבן גאר אינג, ווי ניִלס הענריק אַבּעל, עוואריסט געלויס, און פרענק רעמסי). (זיינע עלטערן זענען געווען אידן וואס האבן זיך ל״ע גע׳שמד׳ט.) מ׳זאגט נאך אז קארל פרידריך גאַוּס האט געזאגט אויף אים, ״עס זענען נאר געווען דריי מאטעמאטיקער וואס האבן געשאקעלט א וועלט: ארכימידוס, ניוטאן, און אייזענשטיין.״ ער האט זיכער געזאגט אז ״אזא סארט מאטעמאטישע טאלאנט קומט נאר אפיר געציילט מאל אין א יאר-הונדערט.״

וויבאלד די נומערן זענען געבויט מכח א דריטל אין אַן עקספּאָנענט, וואס דאס באדייט אז זיי האבן א רוּט פון 3, קומט אויס אז יעדעס אייזענשטיין אינטעדזשער איז א קיוּבּיק [3] רוּטס פון יוּניטי וואס אַן עקספּאָנענט פון 3, אדער א מאָלטיפּל דערפון, וועלן דאס צוריקצוברענגען צו 1.

***

ולגבי די קשר צווישן גאָדעל׳ס אינקאמפּליטנעס טעארעם און אויפווייזן מציאות ה׳ איז דאס וואס דר. ליעם קאפי בּרייט שרייבט: 📎 0432BE3F-4AEE-43AD-919F-0379468CEF10.jpeg ***

ומענין לענין באותו ענין פונעם קשר צווישן מאטעמאטיקס און טעאלאגיע זאגט דר. וויקטאר בּלאַזשאָ לגבי יוּקליד:

Here’s another fun linguistic-cultural perspective on diagrams in Greek geometry. The language in which Euclid describes constructions is quite odd. “Let the circle ABC have been described.” The language of Greek mathematics “makes the author and temporality disappear from a proof,” as one historian has put it. Euclid is not saying that he’s drawing the diagram, and he’s not telling the reader to draw the diagram. He’s just sort of commanding the diagram into existence

You know the book of Genesis in the Bible: “Let there be light,” God said, and there was light. Euclid uses literally the same kind of construction. It’s exactly the same verb form as in the Ancient Greek version of the Bible. Just as God makes heaven and earth by merely pronouncing that they exist, so Euclid makes geometrical objects appear just ordering them to be. It’s not “I draw” or “you draw” but “let it have been done”

You could read this as supporting a Platonic conception of mathematics. Euclid is distancing himself from actual drawing. The objects of mathematics just are. They are not something you or I have to make

But here’s a counter argument to this interpretation. Netz argues that actually Euclid’s grammatical construction merely reflects a purely practical circumstance of the Greek tradition. Namely, that Greek mathematicians had to prepare their diagrams in advance due to technical limitations of the visual media available. Here’s what Nets writes:

“Of the media available to the Greeks none had ease of writing and rewriting. [Standard media were papyri and wax tablets, and, for larger audiences, such as Aristotle’s lectures,] the only practical option was wood painted white. None of these [ways of representing figures] is essentially different from a diagram as it appears in a book. The limitations of the media available suggest the preparation of the diagram prior to the communicative act - a consequence of the inability to erase. This, in fact, is the simple explanation for the use of perfect imperatives [such as] ‘let the point A have been taken’. It reflects nothing more than the fact that, by the time one comes to discuss the diagram, it has already been drawn”

That’s Netz’s interpretation, and if he’s right then Euclid’s grammatical choice reflects only incidental cultural circumstances and says nothing about philosophical commitments. “Let it have been done” just means “I did it yesterday”. It doesn’t mean that geometry is set apart from concrete action and that doing has no place in mathematics

לגבי די אנטאלאגישע הוכחה/ארגומענט און קאנט'ס פירכא דערויף, שרייבט שלמה מיימון אין זיין גבעת המורה אויפ'ן מו"נ (ח"א פנ"ז):📎 גבעת המורה נז.jpg ***
📎 IMG_4515.jpeg

בנוגע מאטעמאטישע לומדות לגבי מאכן א דיווערדזשענט סיריִס קאנווערדזשען איז דא א לומדות, ובנוגע דעם זעטאַ פאָנקשען, וואס רופט זיך זעטאַ פאָנקשען רעגולאריזעישאן. לדוגמא, עפי״ז קען מען געבן א קאנווערדזשענט וועליוּ פאר די דיווערדזשענט סיריִס פון 1+1+1+1+1… פון 1/2-. דאס ארבעט אז מ׳זאגט עפ״י די לומדות אז דאס איז די זעלבע ווי ווען מ׳געבט 0 צום זעטאַ פאָנקשען. מ׳קען דאס באטראכטן ווייל אז מ׳גרעפט דעם דיווערדזשענט סיריִס זעהט עס אויס כזה: 📎 IMG_4578.jpeg אויב דערנאך וויל מען דאס ״עוורידזשן״, זעהט עס דאך אויס כזה: 📎 IMG_4580.jpeg אט די שיפע ליניע וואס גראד דאס אויס גייט דורכגיין די y עקסיס פון די גרעף ביי 1/2-.

עפי״ז איז דא די וויץ בנוגע די טראַלי פראבלעם: 📎 IMG_4577.jpeg והיינו, אז אויב האט מען איינע נאך איינע נאך איינע בב״ת אויף די טרעק, קומט דאך אויס לפי די לומדות אז עס קומט אָן צו 1/2-, והיינו אז מ׳הרג׳עט א נעגאטיוו האלבע מענטש, והיינו אז מ׳מאכט לעבעדיג א האלבע מענטש (וויבאלד דא איז דאך די פאזיטיוו טויט, וממילא די נעגאטיוו דערפון לעבעדיג). אויב אזוי איז דאך דאס בעסער ווי לאזן אויף א ליידיגע טרעק…

ובענין די טראַלי פראבלעם בב״ת איז דא די וויץ אויך: 📎 IMG_4576.jpeg ועיין כאן בענין בדיחה בהטראַלי פראבלעם וסעט טעאריע, (וכאן).

עס איז דא סיִקווענס וואס רופט זיך סילוועסטער׳ס סיִקווענס. דאס איז אז איך הייב אָן מיט 2 און דערנאך 3, און דערנאך צו באקומען דעם נעקסטן נומער אינעם סיִקווענס מאָלטיפּליי איך צוזאם אלע נומערן פאר איר אינעם סיִקווענס און איך לייג צו 1. עס קומט אויס אז טאמער עדד איך צאם די רעסיפּראקעלס, והיינו אז איך ״דריי ארום״ יעדעס נומער און מאך זיי פאר פרעקשאנס אזוי אז די נומער ווערט די דינאַמינעיטאר און די נוּמערעיטאר דערפון איז 1 (וויבאלד יעדעס נומער בסתם איז דאך די נומער די נוּמערעיטאר אויבן און 1 די דענאַמינעיטאר אונטן; אז איך דיווייד דאס ביי 1 איז דאס דאך די נומער גופא), דאן איז דאס די סיריִס פון פרעקשאנס וואס קאנווערדזשד דאס שנעלסטע צו 1.

אגב, יעדעס סומע פון פרעקשאנס, וואו יעדעס פון די פרעקשאנס האט א נומערעיטאר פון 1 און יעדעס פרעקשאן האט אַן אנדערע דענאַמינעיטאר, ווערט גערופן א מצרי׳שע פרעקשאן.

עס איז דא אין מאטעמאטיקס דעם געדאנק פון יוּקליד׳ס גן. דאס איז ווען איך האב א געריכט גרעף און אויף יעדעס פונקט דערפון וואו א x איז א גאנצע נומער/אינטעדזשער קומט זיך צאם מיט וואו א y, און אויף דעם לייג איך א ״בוים״. אויב שטייט א מענטש ביים ארידזשין [וואו x און y זענען 0]📎 IMG_4645.pngדאן אויב קוקט ער אויף א סלוֺיפּ, והיינו א שיפקייט פון א געוויסע פּראָפּאָרשען פון ווי הויך עס איז לפי ווי ווייט עס גייט אין די לענג, דאן וועט ער זיך באגעגענען און זעהן א בוים וואס שטייט ביי יענע הויכקייט ביי y און יענע ווייטקייט ביי x. ופשוט. אלע ביימער אונטער דעם אויף די שורה וואס ער קוקט, וועלן זיין בלאקירט פון זיין זיי זעהן. עס קומט אויס אז טאמער די נומער פון די הייך און די נומער פון די ווייטקייט פון זיין זעה ליניע האבן אייניגע פּריים פאקטארן, זענען זיי בהכרח בלאקירט פון זיין זעה ליניע דורך א בוים פריער אינעם זעה ליניע, וואס איז די ״סימפּליפייד״ ווערסיע פון די פרעקשאן, וממילא איז קאָפּריים און האבן נישט אייניגע פּריים פאקטארן.

ועפי״ז קומט אויס אז טאמער אין אזא סארט אינפיניט גן כאפ איך אָן א בוים ביי רענדאם, איז די פּראַבּעבּיליטי אז דאס איז א בוים וואס ער קען זעהן אויפגעוואוזן אז ווען די זעטאַ פאָנקשען איז π²/6, (והיינו 6 דיוויידעד ביי π²), וואס דאס איז די בּעסעל פאָנקשען, ווען איך געב א וועליוּ פון 2 פאר ד זעטאַ פאָנקשען, ζ(2), דהיינו אז יעדע עקספאנענט דערין איז 2. דאס איז ווייל דאס ווייזט די פּראַבּעבּיליטי אז צוויי נומערן זאלן זיין קאָפּריים.

דאס גייט צוזאמען מיט די געדאנק פון אָפּעיק סעטס. דאס איז די מאטעמאטישע שאלה אז ווען איך האב א געוויסע שׁעיפּ, וואס איז די קורצסטע לענג פון ליינס (אלעס צוזאמען) וואס איך קען מאכן דערין, אזוי אז פון וועלכע זייט אימער מ׳זאל נאר מאכן א גראדע ליין אינעם שׁעיפּאין עני ענגעל, וועט עס זיך זיכער באגעגענען אין איינע פון די ליינס איך האב געמאכט דערין פאר'ן דורכגיין דאס גאנצע שׁעיפּ. (עס דערמאנט אביסל פון די אַרט גאַלערי פראבלעם.) מ׳ווייסט אז עס קען נישט זיין לענגער ווי די עצם פּערימעטער פונעם שׁעיפּ, און נישט קורצער ווי האלב די פּערימעטער. דאס איז לדוגמא די קורצסטע אָפּעיק סעט פאר׳ן סקווער וואס מ׳ווייסט; עס האט אלעס צוזאמען א לענג פון בערך 2.639, ביחס ווען דער פּערימעטער דערפון איז 4:📎 IMG_4649.jpeg ***

לגבי פעקטאָריעלס איז דא סטירלינג'ס עפּראַקסימעישאן. דאס לויטעט אז די פעקטאָריעל פון א געוויסע נומער, איז בערך יענע נומער דיוויידעד ביי e און דערנאך געהעכערט צום עקספּאָנענט פון יענע נומער. דערנאך מאָלטיפּליי דאס ביי די סקווער רוּט פון 2 מאל π טיימס יענע נומער. ווי העכער יענע נומער איז, אלס מער פונקטליך איז די עפּראַקסימעישאן.

***

ולגבי די מעגליכע הוכחה אז עס איז אומעגליך אויפצוווייזן אדער אפרעגן מציאות הא-ל, שרייבט דר. וויליאם פּאָלין אין די קאנטעקסט פונעם פריערדערמאנטן אנטאלאגישן הוכחה און קאנט'ס פירכא דערויף:

At that time still dreaming his dogmatic dreams, Kant believed in the possibility of an a priori proof of the existence of God, but in his master-work he denied the possibility of any logical proof for God. The essence of this denial rests in the reduction of all proofs to some form of the ontological, and, then, denying in toto the validity of the latter

‏אויבן האב איך צוגעברענגט דעם בּיינאָמיִעל טעארעם:

מי אני

עס איז דא דעם געדאנק פון א בּיינוֺימיִעל קאָעפישׁענט. דא הא׳מיר אביסל מסביר געווען דעם געדאנק פון א פּאַליִנוֺימיִעל עקוועישאן. א בּיינוֺימיִעל עקוועישאן איז פשוט א פּאַליִנוֺימיִעל וואס איז נאר צאמגעשטעלט פון צוויי טערמינען [צוויי מאַנוֺימיִעלס]; יעדעס איינס מיט א געהעריגע נומער [די קאָעפישענט ביי וועלכעס עס איז מאָלטיפּלייד; וואס קען זיין 1, וממילא שרייבט מען נאר ארויס די וועריעבּל], א וועריעבּל [וואס קען זיין געהויבן צו אן עקספּאנענט פון 0, וממילא שרייבט מען עס נישט ארויס], און אן אנדערע (בדרך כלל נאר פאזיטיווע) עקספּאנענט פאר יעדעס איינס [וואס איינע פון זיי קען זיין 1, וממילא שרייבט מען עס נישט ארויס].

אויב האב איך א בּיינוֺימיִעל וואס די גאנצע בּיינוֺימיִעל צוזאם ווערט געהעכערט צו אן עקספּאנענט, והיינו אז איך בין כופל די גאנצע בּיינוֺימיִעל אויף זיך אליין אזויפיל מאל ווי די עקספּאנענט זאגט מיר, גייט דאס ווערן עקספּענדעד אין צו א פּאַליִנוֺימיִעל עקוועישאן [מיט אנדערע עקספּאָנענטס פאר יעדעס איינס]. עס קומט אויס אז פאר יעדעס סארט בּיינוֺימיִעל וואס איך עקספּענד אויף אזא וועג, אויב שטעל איך אויס די רעזאָלטינג פּאַליִנוֺימיִעל וואס קומט ארויס פונעם וועריעבּל וואס האט דעם גרעסטן עקספּאנענט [די דעגריִ] ביז דעם קלענסטן, גייט עס אלס האבן די זעלבע (מאָלטיפּל פון די) קאָעפישענטס ביי יענעם מקום, ווענדענדיג זיך אינעם עקספּאנענט צו וועלכעס איך האב געהויבן דעם גאנצן אריגינעלן בּיינוֺימיִעל. דאס ווערט ארויסגעשריבן אזוי: 📎 IMG_8503.jpg דאס מיינט אז די העכערע נומער [n] איז די עקספּאנענט צו וועלכעס איך האב געהויבן דעם גאנצן אריגינעלן בּיינוֺימיִעל, און די אונטערשטע [k] איז די פלאץ אינעם פּאַליִנוֺימיִעל עקספּענשׁאָן דערפון. עס וועט אלס זיין די פעקטאָריעל פונעם עקספּאָנענט דיוויידעד ביי די פעקטאָריעל פונעם פלאץ-נומער נאך דעם וואס איך האב דאס מאָלטיפּלייד ביי די פעקטאָריעל פונעם חילוק צווישן די צוויי נומערן (דאס איז די קאַמבּינעישאן פון דעם). מ׳קען גראד זעהן די בּיינוֺימיִעל קאָעפישענטס דורך פּאַסקאַל׳ס טרייענגעל. יעדעס רוֺי דערין איז כנגד די נומער פון די עקספּאנענט צו וואס כ׳האב געהעכערט דעם אריגינעלן בּיינוֺימיִעל [די העכסטע שורה איז אן עקספּאנענט פון 0] און דערנאך, פון רעכטס צו לינקס, זענען די נומערן, אין א רייע, די קאָעפישענטס פון דעם פּאַליִנוֺימיִעל עקספּענשׁאָן. פון דעם קומט אויס פּאַסקאַל׳ס רוּל. דאס זאגט אז די בּיינוֺימיִעל קאָעפישענט פון א נומער וועט זיין די סומע פון די נומער וואס איז אויף דעם זעלבן פלאץ ווען די אריגינעלע בּיינוֺימיִעל האט אן עקספּאנענט וואס איז 1 ווייניגער, צוזאמען מיט די נומער וואס איז 1 פלאץ פאר איר ווען די אריגינעלע בּיינוֺימיִעל האט אַן עקספּאנענט וואס איז 1 ווייניגער.

בעוד פרט לויטעט דאס אויך אז ווען איך העכער דעם גאנצן בּיינאָמיעל צו אַן עקספּאָנענט, גייען די צוויי טערמינען דערין האבן יעדעס איינס, ביי יעדעס מאַנאָמיִעל דערין אינעם עקספּענדעד פּאַלינוֺימיִעל, אַן עקספּאָנענט וואס צוזאמען גייען זיי זיין די סומע פונעם עקספּאָנענט צו וועלכעס איך האב געהעכערט דעם גאנצן בּיינאָמיעל. לדוגמא, דא איז די גאנצע בּיינאָמיעל געהעכערט צו 4:📎 IMG_4745.jpeg מ׳זעהט אז ביי יעדעס מאַנאָמיעל טערמין אינעם עקספּענדעד פּאַלינוֺימיִעל איז די סומע פון די עקספּאָנענטס 4 (אויב איז די y נישטא, מיינט דאס אז עס האט אַן עקספּאָנענט פון 0 וואס מאכט דאס אין צו א געהעריגע 1, וממילא די איבעריגע מאַנאָמיעל טיימס 1, וואס איז דאך דאס זעלבע. ווען די y האט נישט קיין עקספּאָנענט באדייט דאס אַן עקספּאָנענט פון 1, כלומר די נומער גופא).

דאס זענען טאקע די ערשטע זיבן סעטס פון די בּיינאָמיעל קאָעפישענטס (ווי מ׳קען טאקע זעהן אין פּאַסקאַל׳ס טרייענגעל): 📎 IMG_4744.jpeg דא איז א דזשיאמעטריק רעפּרעזענטאציע פון די ערשטע פיר, וואו מ׳קען טאקע זעהן פארוואס דאס איז אזוי (דאס לעצטע איז שווערער צו וויזשועלייזן וויבאלד עס איז שוין בעצם א 4D טעסערעקט): 📎 IMG_4743.jpeg און אז מ׳דערמאנט די סארט וויזשואלע פּרוּפס, איז דאס א וויזשואלע פּרוּף פון ניכאמאכוס׳נס טעארעם: 📎 IMG_4746.jpeg עס דערמאנט אויך פון דעם לגבי אפלטון׳ס נומער.

די זעטאַ פאָנקשען קען מען באטראכטן ווי עס איז א ספּעציעלע קעיס פון א ברייטערע פאמיליע פון פאָנקשענס וואס רופן זיך די דיריכלעט L-פאָנקשענס. דאס אליין זענען א חלק בתוך דיריכלעט סיריִס, וואס דאס אליין איז ווייטער א חלק בתוך דזשענעראל דיריכלעט סיריִס.

א דזשענעראל דיריכלעט סיריִס איז וואו איך האב א סיריִס וואס הייבט זיך אָן ביי 1 ועד אינפיניטי. וואס איך עדד צאם ביי יעדעס מקום וואו איך האלט א סיִקווענס פון קאמפּלעקס נומערן וואס איך האב, און איך נוץ די קאמפּלעקס נומער אינעם סיִקווענס ביי וועלכע מעמבּער וואו איך האלט יעצט אינעם דזשענעראל דיריכלעט סיריִס, טיימס אוילער׳ס נומער [e] וואס די e איז אליינס געהעכערט צו אַן עקספּאָנענט פון א סיִקווענס פון געהעריגע גאנצע נומערן וואס גייט עד אינפיניטי פונעם נומער וואו איך האלט יעצט אינעם סיריִס, וואס יעדעס איינס איז טיימס א קאמפּלעקס נומער איך האב געוועהלט. 📎 IMG_4772.jpeg א ״געהעריגע״ דיריכלעט סיריִס וואו איך האב א סיריִס וואס הייבט זיך אָן ביי 1 ועד אינפיניטי. וואס איך עדד צאם ביי יעדעס מקום וואו איך האלט א סיִקווענס פון קאמפּלעקס נומערן וואס איך האב, און איך נוץ די קאמפּלעקס נומער אינעם סיִקווענס ביי וועלכע מעמבּער וואו איך האלט יעצט אינעם דיריכלעט סיריִס, דיוויידעד ביי די נומער וואו איך האלט יעצט אינעם סיריִס געהעכערט צו אַן עקספּאָנענט פון א געוויסע קאמפּלעקס נומער איך האב געוועהלט פאר די סיריִס. 📎 IMG_4773.jpeg די דיריכלעט L-פאָנקשען איז וואו איך האב א סיריִס וואס הייבט זיך אָן ביי 1 ועד אינפיניטי. און וואו איך האלט אין די סיריִס דיווייד איך די נומער וואו איך האלט ביי ביי די נומער געהעכערט צו א קאמפּלעקס נומער איך האב געוועהלט פאר די סיריִס (וואס די ״עכטע״ חלק מוז זיין מער ווי 1). דערנאך ביי יעדעס נומער גיי איך דאס ״וועגן״ ביי א געוויסע ϰ וואס איך האב געוועהלט (די דיריכלעט כאראקטער). דאס איז א פאקטאר וואס מוז אבער זיין מאָלטיפּליקעטיוו, והיינו אז אויב עדד איך די נומער איך וועהל פאר ϰ צום נומער וואו איך האלט יעצט אינעם סיריִס, גייט דאס מיר געבן די זעלבע וועליוּ. עס קומט אויס אז עס מאכט א סארט סייקל ביי די וועליוּס עס געבט מיר. כמובן, ווי העכער די נומער פאר ϰ איז, אלס מער קאמפּליצירט ווערט עס. אויב איז די ϰ אַן 1, דאן איז דאס די געהעריגע זעטאַ פאָנקשען. 📎 IMG_4769.jpeg ביי די דיריכלעט L-פאָנקשען, וואס איז דאך די זעטאַ פאָנקשען בנוסף צום ϰ, איז דא די דזשענעראלייזד ריעמאן היפאטעזיע. דאס לויטעט דאס זעלבע אז נאר וואו די ״עכטע״ חלק פונעם קאמפּלעקס נומער וואס איך נוץ וועט זיין 1/2, נאר דעמאלטס וועט שייך זיין אז די דיריכלעט L-פאָנקשען זאל מיר געבן א (נאַן-טריוויעל) 0.

אויב איז דא א 0 דערביי וואס די ״עכטע״ חלק איז נישט 0, ווערט דאס גערופן א סיגעל זעראָ. עס וועט זיכער נישט קענען זיין ווייניגער ווי 1/2 און עס וועט זיין מער נעבן 1. עפ״י די היִט-ברוין טעארעם קומט אויס אז טאמער עקזיסטירן סיגעל זעראָס איז די צווילינג פּריים קאָנדזשעקטשור, אז עס זענען דא אַן אינפיניט צאל פון פּריימס וואס זענען נאר אפגערוקט מיט איין (איִווען) נומער אינצווישן זיי, בהכרח אמת. דאס איז ווייל כאטש איינע פון די צוויי איז אמת: אדער אז עס זענען דא אינפיניט צווילינג פּריימס אדער אז עס זענען נישטא קיינע סיִגעל זעראָס (עס קען זיין אז ביידע זענען אמת).

***
📎 IMG_4771.jpeg 😃

לגבי די געדאנק פון יוּקליד׳ס פעלד, איז דא די עלענדער לויפער קאנדזשעקטשור. דאס לויטעט אז אויב איז דא א רינדיכיגע טרעק און אויף דעם זענען א צאל לויפערס וואס לויפן כסדר מיט׳ן זעלבן שנעלקייט און יעדער איינער מיט אַן אנדערע שנעלקייט ווי דער צווייטער, דאן וועט בהכרח זיין א צייט פאר יעדעס לויפער ווען ער וועט זיין ווייט פון די אנדערע לויפערס כאטש די פרעקשאן פון וויפיל לויפערס עס זענען דא לפי די טרעק. מיינענדיג, אויב עס זענען דא זעקס לויפערס, וועט ער זיין כאטש א זעקסטל די ווייטקייט פונעם טרעק, ווייט פונעם נענטסטן לויפער. 📎 IMG_4781.jpeg דאס האט א מאטעמאטישע קשר צו די קאנדזשעקטשור אז אויב האב איך סקווערס אין א דיימענשאן, און איך שטעל זיי אויס אין א גרעף ביי יעדעס מקום פון א האלבע נומער, דאן כדי עס זאל זיין שייך אז אויב איך מאך א שיפע ליין זאל עס זיך נישט אריינקלאפּן אין קיין שום איינע פון די סקווערס, דאן קען די אורך ורוחב פון די סקווערס (ביחס/אין טערמינען פונעם גרעף) נישט זיין מער ווי די דיימענשאן נומער מיינוס 1, דיוויידעד ביי די דיימענשאן נומער מיינוס פּלאָס 1. ביי א פשוט׳ע משל פון 2D מיינט דאס אז עס קען נישט זיין מער ווי א דריטל (1/3) די לענג פון איין יוּניט אינעם גרעף. 📎 IMG_4775.jpeg

אביסל ענליך צו דעם קאָלאַץ קאָנדזשעקטשור איז דא דעם דוּטשי סיִקווענס. דאס איז אז איך האב א סיִקווענס פון א צאל נומערן (אַן n-טאָפּל). דערנאך מאך איך א נייעם סיִקווענס פון די זעלבע צאל נומערן, דורך נעמען די חילוק פון יעדעס פון די צוויי נומערן וואס זענען נעבן איינע דאס צווייטן אינעם ערשטן סיִקווענס; איך סאָבּטרעקט די קלענערע פון די גרעסערע. לדוגמא דאס איז א דוּטשי סיִקווענס פון א לענג פון 4 נומערן: 📎 IMG_4810.jpeg די ערשטע נומער אינעם צווייטן סיִקווענס איז 77, וויבאלד דאס איז די חילוק צווישן די צוויי נומערן 99 און 22 וואס זענען נעבן איינע דאס אנדערע אינעם ערשטן סיִקווענס. די צווייטע נומער אינעם צווייטן סיִקווענס איז 96, וויבאלד דאס איז די חילוק צווישן 99 און 3 וואס זענען נעבן איינע דאס אנדערע אינעם ערשטן סיִקווענס. אא״וו.

עס קומט אויס אז אויב איז די לענג/צאל נומערן פונעם דוּטשי סיִקווענס א פּאַוּער פון 2, והיינו אז איך קען אָנקומען צו דעם נומער דורך מאָלטיפּלייען 2 ביי 2 א געוויסע צאל פעמים/העכערן צו אַן עקספּאָנענט, דאן ווען איך טוה איבער און איבער די פראצעדור פון באקומען א נייע דוּטשי סיִקווענס, וועט זיך דאס אלס ענדיגן וואו אלע נומערן דערין זענען 0. אויב איז די צאל נומערן פונעם דוּטשי סיִקווענס אַן אנדערע נומער, וועט זיך דאס אדער ענדיגן וואו אלע נומערן זענען 0, אדער מיט א סייקל וואו עס גייט איבער וואו אפאר נומערן דערין זענען 0 און די אנדערע נומערן דערין זענען איין/זעלבע אנדערע נומער.

מי אני

אז מ׳האט דערמאנט גראַנדי׳ס סיריִס בנוגע רעליגיע האב איך געקלערט ענליך אז דא [פון 1:50] איז מען מסביר, עפ״י דר. אנטאני פלוּ, אז ס׳איז יתכן לומר אז דער אטעאיסט און דער טעאיסט זאגן בעצם די זעלבע זאך אויף למעשה (עכ״פ לגבי די אביעקטיווע וועלט ממש). דאס איז נאך מער עפ״י א שטארקע מהלך פון טעאיסטישע נעגאטיווע טעאלאגיע. און ווי אונז האבן דא אראפגעברענגט:

מי אני

דאס דערמאנט פון דעם פראנצויזישן טעאלאג מישעל דע סערטעא'ס מימרא: The weight of [God's] transcendence makes any proposition relative, even to the point that the statement "God exists" has to be followed by a denial

והיינו, אז עס קומט אויס אז לגבי דאס פּראפּאזישאן אן פון דאס ״עקזיסטענץ״ פון ג-ט איז עס כעין 1 - 1 [איינס מיינוס איינס; פּאזיטיוו 1 און דערנאך צוגעלייגט צו דעם נעגאטיוו 1], און דער אטעאיסט זאגט דאך מעיקרא אויף דעם א גאנצע 0. איז די שאלה דא צי ביי די פאל איז 1-1 ≠ 0 אדער יא 1-1 = 0 ווי ביי געהעריגע מאטעמאטיקס? מיינענדיג, איז עס טאקע די זעלבע ווי דער אטעאיסט (עכ״פ בעלמא הדין) צי נישט?

כ׳האב געקלערט, אפשר בדרך צחות, אז קצת כעין זה טרעפט מען ביי קידושין באבה״ע סימן לא סעיף ז, עפ״י הגמרא בקידושין ז:, אז אמר לה התקדשי לי שני חצייך בפרוטה הרי זו ספק מקודשת ע״ש (ועיין בתוס׳ שם בקידושין ד״ה חצייך ובב״ש ס״ק טו). קומט אויס אז ביי קידושין איז 1/1 ≠ 2/2. והיינו, אז וואו ער איז מקדש די 1 גאנצע מיט א פרוטה איז גוט ווייל ער האט איר מקדש געווען אינגאנצן, משא״כ וואו ער צוטיילט די קידושין אין 2, ואפילו וואו ער נעמט די 2 בבת אחת ממש (2/2) איז נישט גוט. ואפשר לומר אז די געדאנק איז לרמז אז ביי ג-ט וואו כי ״קדוש״ אני (ועיין לעיל בדף ב: אודות לישנא דרבנן של ״קידושין״ באירוסין כי הקדש), קען נישט זיין קיין סתירה צו אחדות ואפילו וואו עס זענען אלע חלקים אויף אמאל.

נישט ממש, גאט ב"ה איז 'קדוש' אבער נישט 'מקודש' - ווי די לשון קידושין באדייט. אויב עפעס קען מען עס אפשר מדמה זיין צו כנ"י וואס איז 'מקודש' להקב"ה (קדושים תהיו) אז אפי' מ'עקסעפט יעדע איד עקסטער בבת אחת איז עס נאך אלס נישט גוט ווילאנג מ'עקסעפט נישט יעדער ווי איינער. עפעס אזוי...
די אשה כלפי בעלה אידאך ווי כנ"י לגבי הקב"ה.

ווי געזאגט איז עס בדרך צחות. איך האב מיך פארלאזט אויפ'ן ספרא בריש פ' קדושים:

כי קדוש אני ה' אלקיכם, לומר אם מקדישים (ס"א מקדשים) אתם עצמכם מעלה אני עליכם כאילו קדשתם אותי. ואם אין אתם מקדישים (ס"א מקדשים) עצמכם מעלה אני עליכם כאילו לא קדשתם אותי.

איך פארשטיי אז, כמובן, איז עס נישט דאס זעלבע. עס איז א טייטש אזא.