דאס ריעמאן זעטאַ פאָנקשען און דאס ריעמאן היפאטעזיע

איינע פון די מאטעמאטישע פראבלעמען וואס די קלעי אינסטיטוט איז גרייט צו צאלן $1,000,000 פאר דער וואס ווייזט דאס אויף (אדער ווייזט אויף אז נישט) איז דאס ריעמאן היפאטעזיע. דאס צו אביסל מסביר זיין בקוצר אמרים מאד מאד דארף מען מאכן אפאר הקדמות.

קאלקולוס, ווי באקאנט, גיבט זיך אפ מיט׳ן באהאנדלען און צאמהאנדלן צוזאמען אינפיניטי - גיבן א סארט פיניט ענטפער צו אן אינפיניט פּראגרעשאן וכו׳. דאס ארבעט בשורשו דורך דעם געדאנק פון א לימיט. דאס מיינט אז איך קוק אן ווי נענטער און נענטער/גרעסער און גרעסער וכדומה די וועליוּ ווערט צו וועלכע נומער וכדומה קומט דאס נענטער און נענטער צו, אפילו ס׳גייט מעולם נישט ממש אנקומען צו יענע וועליוּ מחמת איזה סיבה שהיא (מ׳האט אביסל געשמועסט דערפון דא).

אין קאלקולוס איז דא די פעלד פון סיריִס. דאס איז ווען איך האב אן אינפיניט סיִקווענס פון א געוויסע פּאטערן פון נומערן וואס איך טוה צאמרעכענען, און איך וויל געוואויר ווערן, דורך נוצן א לימיט בעצם, צו דאס גייט ״קאנווערדזשען״ און למעשה ווערן נענטער און נענטער צו א געוויסע סומע, אדער אז איך קען דאס נישט צאמרעכענען, עס טוהט ״דיווערדזשען״, ווייל עס וואקסט מער און מער לאין שיעור וערך.

למשל די סיריִס וואו איך האלב און נאכדעם לייג איך צו האלב דערפון אא״וו כזה: 1+1/2+1/4+1/8+1/16 אא״וו בב״ת, אדער די סיריִס פון די רעסיפּראקעלס פון פּאַליגאַנעל נומערן, 1+1/3+1/6+1/10 אא״וו בב״ת, זענען ״קאנווערדזשענט סיריִס״, ווייל זיי גייען עעווענטשועל צוקומען צו א געוויסע וועליוּ [2] וואס פון דארט (אדער אפילו צו דארט) און ווייטער גייט עס ממש וואקסן אומדערקענבאר. משא״כ די סיריִס 1+2+3+4+5 אא״וו בב״ת איז א ״דיווערדזשענט סיריִס״, ווייל ווי מ׳זעהט איז אז ווי ווייטער מ׳גייט אלס גרעסער ווערן די נומערן און די סומע וואקסט אלס מער און מער, וממילא קומט עס נישט צו צו א געוויסע נומער.

די סיריִס פון 1+1/2+1/3+1/4 אא״וו בב״ת, די רעסיפּראקעל פון די געהעריגע נומערן אין א סדר, איז דיווערדזשענט און נישט קאנווערדזשענט. דאס איז ווייל הגם אויבן-אויף זעהט עס נישט אויס אזוי ווערט עס אבער יא גרעסער און גרעסער. למשל, די נעקסטע צוויי נאך 1/2, שהם 1/3+1/4, זענען גרעסער פון 1/2. און אזוי אויך די נעקסטע 4 וואס קומען נאך דעם וכו׳ וכו׳. קומט אויס אז עס טוהט יא וואקסן מער און מער. דאס איז אחוץ אויב מ׳טוישט יעדע צווייטע סימבאל פון א + צו א - (עס איז אינטרעסאנט צו באמערקן אז ביי סיריִס וואו עס איז דא + און - קען עס מאכן א חילוק די סדר אין וואס מען טוהט דאס; עס איז ל״ד עסאָסיעטיוו/קאָמיוּטעטיוו ווי אין אלגעמיין.) דאס רופט זיך די הארמאנישע סיריס.

די מאטעמאטישע נאָטעישאן וואס איך נוץ פאר דעם איז די Σ סימבאל. ביי די זייט דערפון שרייב איך די סארט פּעטערן פון די סיריִס, אונטער דעם שרייב איך פון וועלכע וועליוּ/נומער אין די סיִקווענס איך הייב אן צאמרעכענען, און העכער דעם ביז וועלכע וועליוּ/נומער אינעם סיִקווענס איך וויל רעכענען (אפטמאל ∞).

עס איז דא א געוויסע סארט סיריִס וואס הייסט די ריעמאן זעטאַ פאָנקשין. דאס איז א סיריִס וואס זעהט אויס אזוי:
Σ1/n^s n=1 →∞
דאס הייסט איך וועל אויס עפעס א וועליוּ/נומער פאר׳ן s, דהיינו די עקספּאנענט אינעם דענאמינעיטאר, און די סיריִס זאגט מיר פון וועלכע נומער די n הייבט זיך אן, דהיינו אלעמאל פון 1, וואס פון דארט הייב איך אן צאמרעכענען אלע נומערן אינעם סיִקווענס: די נעקסטע n וועט שוין זיין די נעקסטע (נאטורליכע) נומער 2 מיט די s עקספּאנענט דערויף וואס איך האב געוועלט און אזוי ווייטער און ווייטער. דאס איז די סיבה איך רוף עס א ״פאָנקשען״ ווייל איך פיטער אריין א וועליוּ אין צו די פאָנקשען (s) און דאס (צומאל) שפייט ארויס אן אנדערע וועליוּ ווענדענדיג זיך אינעם s (ועיין כאן. די פאָנקשען ווערט געשריבן אלס ζ(s).

אויב די s וואס איך האב געוועלט איז מער ווי 1 (געדענק אז ווען עס איז 1 איז עס דאך די הארמאנישע סיריס וואס טוהט דיווערדזשען) וועט עס אלעמאל קאנווערדזשען צו עפעס א נומער, וויבאלד די פאָנקשען/סיריִס וועט דאך זיין איין קלענערע פרעקשאן נאכ׳ן אנדערן וואס האלט אין איין ווערן קלענער. משא״כ אויב איז די s פון 1 און קלענער גייט עס נישט אזוי מיט א סדר פון איינס קלענער ווי דאס פריערדיגע, וממילא גייט דאס דיווערדזשען. דאס איז בפרט אויב איז די s א נעגאטיווע נומער. דאס איז וויבאלד א נעגאטיווע עקספאנענט מיינט פשוט דעם אינווערס/רעסיפּראקעל (מ׳האט עס אביסל מסביר געווען דא), וממילא אז מ׳גיבט עס דא א נעגאטיווע עקספאנענט גייט עס דאך מיינען דעם רעסיפּראקעל, דהיינו אז די דענאמינעיטאר איז גאר די נוּמערעיטאר און איינס ווערט גאר גרעסער און גרעסער פונעם פריערדיגן נומער אינעם סיִקווענס אויף גאר א גרויסן פארנעם ווייל איך טוה דאס נאך עקספּאנענשיעיטן אויך.

מיט׳ן זיך אבער ארומשפילן מיט אלגעברא לומדות בתוך די סיריִס קען איך טרעפן א קאנווערדזשענט וועליוּ פאר די זעטאַ פאָנקשען פאר נומערן אפילו ווייניגער ווי 1, אבער נישט פאר 1 אליין. פון די עקסטענדעד דאמעין [וועליוּס וואס איך קען/מעג אריינפיטערן אינעם פאָנקשען און עס זאל מיר אויסשפייען א געהעריגע קאנווערדזשענט ענטפער] וועט אויסקומען אז יעדע נעגאטיווע איִווען נומער וועט ארויסגיבן א 0. דאס ווערן אנגערופן די ״טריוויעל [מינדערוויכטיגע]״ זעראס פון די פאָנקשען.

‏דא הא׳מיר ארומגערעדט איבער דאס געדאנק פון אן אימעדזשינערי נומער. אונז הא׳מיר געזאגט אז יעדע אזא סארט נומער ווערט צאמגעפארט מיט א געהעריגע ״עכטע״ נומער און צוזאמען ווערט דאס גערופן א קאמפּלעקס נומער ע״ש. דער גרויסער מאטעמאטיקער בּערנהארד ריעמאן האט געוואוזן אז די זעלבע זאך וועט נוגע זיין טאמער פיטער איך אריין אין דעם פאָנקשען א קאמפּלעקס נומער וואס איר ״עכטע״ חלק איז 1 אדער מער - עס וועט אלס קאנווערדזשן צו עפעס א ספּעציפישע נומער; פארשטייט זיך טאקע צו עפעס א קאמפּלעקס נומער. יעצט אז ער האט אריינגעברענגט די פאָנקשען אין צו קאמפּלעקס אנאליסיס און צו דאס משדך זיין מיט קאמפּלעקס נומערן, האט ער בפרט גענוצט א מאטעמאטישע לומדות וואס רופט זיך אין די פעלד פון קאמפּלעקס אנאליסיס א האלאמארפישע פאָנקשען אויף נאך מער צו עקסטענדן דאס אז די פאָנקשען זאל גיבן א קאנווערדזשענט ענטפער פאר וואו מ׳וועלט פאר s א קאמפּלעקס נומער ואפילו פאר וואו מ׳וועלט די עכטע חלק דערפון אונטער 1 (אבער נישט 1 אליין כנ״ל).

וואס ריעמאן האט היפאטיזירט איז אז די ״נישט-טריוויעל״ זעראס פון די פאָנקשען, דאס הייסט ווען איך פיטער אריין אינעם זעטאַ פאָנקשען א קאמפּלעקס נומער און עס וועט ארויסגיבן א קאנווערדזשענס צו 0, וועלן אלע נאר האבן 1/2 אלס די ״עכטע״ חלק.

דאס ווייסט מען שוין אז די נאן-טריוויעל זעראס פון די פאָנקשען גייען זיכער האבן אלס זייער עכטע חלק פון 0 ביז 1 (ולא עד בכלל). ולא זו בלבד נאר די חלק האימעדזשינערי נומער פונעם קאמפּלעקס נומער צוזאמען מיט׳ן עכטן נומער וואס גיבט די זערא גייען גיין אין פּאָרן. למשל, אויב 1/2+3i גיבט א זערא, וועט 1/2-3i אויך גיבן א 0. נאך מער ווייסט מען אז א שייכות צו 1/2 וועט עס לכה״פ זיכער האבן אלס אזא סארט פּאָר. דהיינו, למשל אויב גיבט:
.57+3i
א 0, וועט:
.43-3i
אויך גיבן א 0, ווייל עס איז די זעלבע ווייט לאידך גיסא פון 1/2.

מען ווייסט אויך אז עס זענען דא אן אינפיניט צאל פון 0 רעזאלטס צום פאָנקשען אויב די עכטע חלק פונעם קאמפּלעקס נומער וואס מ׳פיטערט אריין איז 1/2. מ׳ווייסט אבער נישט צו זיי זענען נאר דארט (אין די געגענט צווישן 0 און 1 אלס׳ן עכטן חלק פונעם קאמפּלעקס נומער וכנ״ל).

די פאָנקשען האט מען מקשר געווען מיט פּריים נומערן ווייל לעאנהערד אוילער האט אויפגעוואוזן אז די פאָנקשען/סיריִס איז די זעלבע ווי אויב איך מאָלטיפּליי צוזאמען די סיריִס פון די רעסיפּראקעל פון 1 מיינוס די רעסיפּראקעל פון די פּריים צו די עקספּאנענט פון די s וואס איך האב געוועלט (איך טוה דאס פאר יעדעס פּריים, און דערנאך מאָלטיפּליי איך דאס אלעס צוזאמען). דאס גייט אויסקומען די זעלבע ווי די עצם זעטאַ פאָנקשען פאר די וועליוּ פון s וואס איך האב געוועלט. אין נאָטעישאן שרייב איך דאס:
ζ(s) = Σn^-s = Π1/(1-(1/p^s)) for all primes

די סימבאל Π מיינט מאָלטיפּליי אלע צוזאמען, אנשטאט די Σ וואס מיינט עדד אלע צוזאמען.

די היפאטעזיע בכלל, אויב אמת, ווייזט אויף א שטארקע קשר צום פּריים נומער טעארעם וואס מ׳האט דערמאנט דא. דאס איז ווייל עס גייט גיבן א גבול [בּאַוּנד], סיי אויף צום ווייניגסטענס און סיי אויף צום מערסטענס (וואס ווערט גערופן די ״גרויסע O פון די פאָנקשען״), צו דאס ״בערך״ פונעם טעארעם וואס ווייזט אויף ווי סאך פּריימס זענען ביז א געוויסע נומער. (אחוץ ביים ממש ממש אנהויב - ענליך צו דעם וואס ביין ממש ממש אנהויב פון די פּריים נומערן איז דא דעם איין איינציגסטן איִווען פּריים: 2.)

ועכ״כ אז דער מאטעמאטיקער דר. דעניס העדזשהאל האט מסביר געווען די היפאטעזיע בפשטות כדלהלן. מ׳שרייבט אין א שורה יעדעס נומער אנגעהויבן פון 2. אונטער יעדעס נומער שרייבט מען אירע פּריים פאקטארן. דערנאך אונטער יעדעס נומער וואס האט אן אַדד צאל פון פּריים פאקטארן זאג איך אז דאס ״א״, און יעדעס וואס האט אן איִווען צאל זאג איך אז דאס איז ״ב״ (איך טוה אבער איגנארירן די נומערן וואס האבן א זעלבע פּריים פאקטאר אין זיך מער ווי איין מאל). קומט אויס דערפון אז עס וועלן זיין ביז עני נומער איך רעכען בערך האלב ״א׳ס״ און האלב ״ב׳ס״. אבער דער מאטעמאטיקער יעקב בערנאלי האט אויפגעוואוזן אין סטאטיסטיקס אז עס וועט נישט זיין ממש ממש האלב, נאר די עודף פון איינס איבער׳ן צווייטן וועט זיין די סקווער רוט פון די נומער ביז וואו איך האב גערעכענט. די סקווער רוט קען איך שרייבן אלס אן עקספאנענט פון 1/2. אין די פאל איז די נמשל אז די בּאַוּנדס פון די פאָנקשען ביי פּריימס און זייער דיסטריבּיוּשאן גייט נישט וואקסן מער ווי דעם [אויפ׳ן אריגינעלען אויבן-דערמאנטן/געלינקטן פאָנקשען פון די פּריימס]. (דער אמת איז אז דאס טוהט גיבן די בּאַוּנדס איבער דאס בערך צווישן דעם געלינקטן פאָנקשען און דעם לאגעריטמיק אינטעגראל פאָנקשען, וואס איז מער פונקטליך.)

די אינווערס פונעם זעטאַ פאָנקשען, דהיינו:

1/ζ(s)

קומט אויס צום מאָבּיאוס פאנקשען, וואס מ׳האט געגעבן דעם סימבאל פון μ(n). דאס גייט זיין א סיריִס וואו אנשטאט אז עס זאל פארמאגן יעדע נומער אינעם דענאמינעיטער צו די עקספאנענט פון אן s וואס איך וועל און זיי אלע עדדן, וועט עס פארמאגן אין די דענאמינעיטאר אזוי: די נומערן וואס איך באקום פון מאלטיפלייען אן איִווען צאל פון פּריימס עדדעד צוזאמען צו די עקספּאנענט פון s, און סאָבּטרעקטן די נומערן וואס איך באקום פון מאלטיפלייען אן אַדד צאל פון פּריימס (וממילא די פּריימס אליין (וואס זענען זיי אליין מאָלטיפּלייד ביי 1)) צו די עקספּאנענט פון s.

די מאטעמאטישע קאָמיוּניטי איז בערך צוטיילט איבער דעם צו די היפאטעזיע איז אמת. אסאך קאנדזשעקטשורס אין מאטעמאטיקס בויען אויף די עסאָמפּשׁען אז דאס איז אמת. דער פיזיקער דר. מיכאל בּערי זאגט בנוגע דעם די מימרא פון דר. ריטשערד פיינמאן ״מ׳ווייסט אסאך מער ווי וואס איז אויפגעוואוזן.״

***

דער בארימטער דייטשער מאטעמאטיקער דוד הילבערט האט געזאגט פאר ער איז געשטארבן אז אויב שטייט ער אויף תחיית המתים וועט ער די פרעגן די ערשטע זאך, ״האט מען שוין אויפגעוואוזן דאס ריעמאן היפאטעזיע?״

***

מ׳פארציילט אז איינמאל איז אריינגעקומען א תלמיד צו אים מיט א פאפיר וואס האט גע׳טענה׳ט אז ער האט אויפגעוואוזן די היפאטעזיע. הילבערט האט דאס דורכגעקוקט אבער געטראפן א טעות דערין. אויף צום יאר איז די תלמיד געשטארבן. אויפ׳ן פעלד ביים באגראבן האט אים הילבערט מספיד געווען און געזאגט איבער דאס שאד אז עס איז אוועק אזא חכם אזוי אינגערהייט, און הגם אז זיין פּרוּף איבער די היפאטעזיע האט געהאט א טעות איז עס אבער מעגליך אז קומענדיגע מאטעמאטיקער וועלן גיין אין ענליכע ליניעס אויף דאס צו אויפווייזן, און דערנאך האט ער פארגעזעצט און געזאגט ״לא׳מיר טאקע קאנסידערן אזא סארט פאָנקשען פון א קאמפּלעקס וועריעבּל...״

***

‏{התנצלות: דאס איז ליטערעלי א מסכת אין מאטעמאטיקס, והרבה הרבה הרבה יותר ממה שקראתי לפניכם כתוב כאן. איך האב, פאראדאקסיש, פרובירט אוועקצושטיין פון (פארפלאנטערט ווערן אין) מאטעמאטישע רעכענונגען וכדומה. איך האב נאר פרובירט צו גיבן א שטיקל בליק אין צו דאס וואס ווערט גערעכענט אלס איינע פון די סאמע וויכטיגסטע און שווערסטע פראבלעמען אין מאטעמאטיקס.}

מי אני: קודם כל א יישר כח. נאר איך ווילל דיר זאגן אז נאך דיין מאטעמאטישע דיסערטאציע האט מיר אנגעהויבן דער קאפ צו שווינדלען. און אלס סייד עפעקט האביך אויכעט אנגעהויבן צו זיין נישט זיכער אויב איך עקזיסטיר...און דו ווילסט נאך אז איך זאלל דיר זאגן אויב יאיר עקזיסטירט...!

אבער איין זאך איז זיכער. אז קאווע שטיבל עקזיסטירט ב"ה. און איז חי וקיים אויף ביידע באקן...!

זאגסט ווייל מ׳רעדט דאך דא פון ״אימעדזשינערי״ נומערן... 😉

אגב, למעשה זענען ״אימעדזשינערי״ נומערן נישט ממש ״אימעדזשינערי״, דהיינו פאלש. זיי עקזיסטירן בעצם. למשל, אין מאדעלן געוויסע עלעקטרישע דינאמיקס וועט זיך עס ווענדן צו די סאלושאנס פון די עקוועישאנס דערפון זענען קאמפּלעקס צו נישט; אויב איז עס ״עכט״ גייט זיך עס אויפפירן וכו׳ איין וועג און אויב נישט א צווייטע. נו, עקזיסטירט עס/מען שוין יא... 😃

ומענין לענין באותו ענין פון סיריִס איז דא די וואן דער ווארדען טעארעם. דאס לויטעט אז אויב גיב איך א געוויסע צאל קאלירן צו קאלירן א סיריִס [גערופן r], גייט אלס זיין א געוויסע צאל נומערן וואס גייען מאכן אן אריטמעטיק פּראגרעשאן/פּעטערן פון קאלירן [גערופן k; מיינענדיג אז למשל דריי נומערן פון די סיריִס וועלן זיין די זעלבע מאס ווייטקייט אינצווישן זיי און זיי וועלן אלע האבן די זעלבע קאליר], איינמאל די סיריִס איז גענוג גרויס און קומט אן צו א געוויסע נומער [גערופן N]. די נומער N וואס ס׳דארף אנקומען צו/זיין גענוג גרויס פאר א געוויסע צאל קאלירן און צאל נומערן וואס מאכן א פּעטערן (r,k) ווערט גערופן די וואן דער ווארדען נומער.

למשל, ווען איך וועל 2 קאלירן און אז 3 נומערן אינעם סיריִס זאלן מאכן א פּעטערן איז די וואן דער ווארדען נומער 9. ווייל איינמאל עס קומט אן צו 9 וועל איך זיכער האבן א פּעטערן דארט וואו דריי נומערן אין א פּעטערן זענען די זעלבע קאליר, נישט קיין חילוק ווי שווער איך זאל ארבייטן דאס צו פארמיידן.
📎 0B0DFAF4-5BA3-45BA-A27E-47FE657018DE.jpeg
דא זעהט מען אז מיט 2 קאלירן [בלוי און רויט] ביז 9 האב איך מיך געקענט ארויסדרייען און קאלירן די נומערן אזוי אז עס זאל נישט אויסקומען אז איך קען מאכן א פּעטערן ווי 3 נומערן זאלן אלע זיין די זעלבע ווייט איינע פונעם אנדערן און אלע האבן די זעלבע קאליר. אבער ביים ניינטן אויב מאך איך דאס בלוי וועלן די 3 נומערן פון 1, 5, און 9 זיין א פּעטערן, וואו אלע האבן 4 נומערן צווישן זיך און אלע זענען בלוי. און אויב קאליר איך דאס רויט וועלן די 3 נומערן פון 3, 6, און 9 זיין אין א פּעטערן וואו אלע האבן 2 נומערן צווישן זיך און זענען אלע רויט.

ולמשל, ווען איך האב 3 קאלירן און איך וויל אז 3 נומערן דערין זאלן זיין א פּראגרעשאן/פּעטערן פון די זעלבע ווייטקייט וכו׳ איז די וואן דער ווארדען נומער וואס טוהט דאס פארזיכערן 27.

דער מאטעמאטיקער דר. ראנאלד גרעהעם זאגט צו $1,000 פאר דער וואס ווייזט אויף אז די וואן דער ווארדען נומער פאר ווען איך האב 2 קאלירן און איך וועל א געוויסע צאל פון נומערן אין די סיריִס וואס איך וויל זאלן זיין אין א פּעטערן פון קאלירן, אז עס איז ווייניגער ווי 2 צו די עקספאנענט פון די צאל וואס איך האב געוועלט וואס די צאל אליינס איז צו אן עקספאנענט פון 2.

‏מ׳האט דזשענערעלייזט דעם טעארעם אויף ווייטער אויך, ווי למשל זשעמערעדי׳ס טעארעם און דעם העילס-דזשוּוועט טעארעם.

לעאנהערד אוילער האט אויפגעוואוזן אז ווען די זעטאַ פאָנקשען איז 2, ζ(2), דהיינו אז יעדע עקספאנענט דערין איז 2, וועט דאס קאנווערדזשען צו π²/6. ער האט ווייטער אויפגעוואוזן אז יעדע איִווען נומער פאר די זעטאַ פאָנקשען וועט זיין א דעריוועטיוו דערפון, וממילא אזוי ווי π וועט עס זיין טראנסאדענטעל (וממילא אירעשאנעל) נומער. פאר אַדד נומערן/אינפּוּטס אין צו די זעטאַ פאָנקשען ווייסט מען אז אפאר פון זיי גייען גיבן אירעשאנעל ענטפערס אבער מ׳האט נישט קיינע געהעריגע כללים.

דער פראנצויזישער מאטעמאטיקער דר. ראדזשער עפּערי האט אויפגעוואוזן אז ווען עס איז דריי, ζ(3), דעמאלטס גיבט עס אן אירעשאנעל נומער פון 1.20205... עס ווערט גערופן עפּערי׳ס קאנסטענט. עס קומט ארויף אין קוואנטום פיזיקס וואו עס איז די גייראמאגנעטישע רעישיאו פונעם עלעקטראן. דהיינו, די רעישיאו פון איר מאגנעטישע מאמענט [כח] צו איר ענגולער [דרייעדיגע] מאמענטום. ווי אויך קומט עס ארויף אין אנדערע ערטער.

***

ובנוגע סיִקווענסעס, נישט דוקא סיריִס וואו איך עדד אלע וועליוּס, איז דא די קאלאטץ קאנדזשעקטשור. דאס איז אויף א סיִקווענס ווי פאלגענד: איך הייב אן מיט א פּאזיטיווע אינטעדזשער. דערנאך אויב איז די נומער איִווען איז די נעקסטע נומער האלב דערפון, און אויב איז די נומער אַדד איז די נעקסטע נומער 3 מאל דאס און נאכדעם לייג איך צו 1. ועפ״י די געזעצן גיי איך אזוי ווייטער און ווייטער, לייגענדיג צו נומערן ווענדענדיג זיך אין ווי אזוי די נומער פאר דעם איז צו ס׳איז איִווען אדער אַדד. די קאנדזשעקטשור לויטעט אז נישט קיין חילוק מיט וועלכע נומער איך גיי אנהייבן גייט די סיִקווענס אלס אנקומען צום נומער 1.

דער מאטעמאטיקער דר. פּאָל ערדאס האט געזאגט אז ״מאטעמאטיקס איז נאכנישט גרייט פאר אזא פראבלעם״. ער האט צוגעזאגט $500 פאר ווער עס קען עס אויפווייזן.

***

אין דעם געדאנק פון סיִקווענסעס וואס גייען האבן אן אריטמעטיק פּראגרעשאן/פּעטערן פון א געוויסע סומע צווישן איין נומער אינעם צווייטן, איז דא די ערדאס-טוראן קאנדזשעקטשור אויף אריטמעטיק פּראגרעשאנס. דאס לויטעט אז אויב וועט די סיריִס פון די רעסיפּראקעלס פון די סיִקווענס [ווען איך עדד זיי אלע צאם] דיווערדזשען, דעמאלטס איז זיכער דא אין די סיִקווענס אריטמעטיק פּראגרעשאנס/פּעטערנס נישט קיין חילוק ווי גרויס די נומער פון די פּעטערן וואס דו כאפסט אן איז [ס׳איז ארבּיטרערילי גרויס]. מ׳אפפערט $5,000 פאר דער וואס קען דאס אויפווייזן.

למשל, פאר די סעט פון פּריימס ווייסט מען אז דאס איז אמת. אין דעם איז דא די גרין-טאַוּ טעארעם. דאס האט אויפגעוואוזן אז אין די סיִקווענס פון אלע פּריים נומערן וועט מען אלעמאל קענען טרעפן אן אריטמעטיק פּראגרעשאן/פּעטערן פון עני נומער מ׳וויל צווישן א קאַנסעקיוּטיוו צאל פון געוויסע פּריימס (אין די סדר וכו׳). די רעסיפּראקעלס פון די פּריימס ווען מ׳עדד זיי צאם טוהן זיי דיווערדזשען.

עס איז אויך אינטרעסאנט צו באמערקן אין דעם געביט בּרוּן׳ס טעארעם. דאס לויטעט אז אויב מאך איך א סיריִס פון די רעסיפּראקעלס פון אלע צווילינג פּריימס [צוויי פּריימס וואס זענען אפגערוקט איינע פונעם צווייטן מיט נאר איין (איִווען) נישט-פּריים נומער אינדערמיט] גייט דאס קאנווערדזשען צו א ספעציפישע נומער; בּרוּן׳ס קאנסטענט. אויב איז די צווילינג פּריים קאנדזשעקטשור אמת, אז עס זענען דא אן אינפיניט צאל פון די סארט פּריימס, דעמאלטס וועט די קאנסטענט/נומער זיין אירעשאנעל.

***

בנוגע סיריִס איז דא די ערדאס דיסקרעפּענסי פּראבלעם. דאס לויטעט אזוי: אויב האב איך א סיריִס פון +1׳ס און -1׳ס ביז א געוויסע צאל וואס איך שטעל אויס און א געוויסע סדר, דערנאך שטעל איך אויס אין דעם אן אריטמעטיק פּראגרעשאן, והיינו אז איך ״שפרינג איבער״ יעדעס מאל א געוויסע צאל פון וועליוּס דערין, וועט עס עווענטועל אלס אויסקומען, נישט קיין חילוק אינעם סדר און אין די שפרינגען, צו סיגניפיקענטלי ווייטער פון 0; פאזיטיוו אדער נעגאטיוו [א הויכע דיסקרעפּענסי]. דער מאטעמאטיקער דר. טערענס טאַוּ האט דאס אויפגעוואוזן.

דער מאטעמאטיקער לעאנארד אוילער האט קלאסיפיצירט א סוג פון נומערן אלס איידאניעל נומערן. איינע פון די וועגן וויאזוי דאס צו פארשטיין איז אז דאס זענען נומערן וואס קענען נישט צושטאנד קומען דורך אזא סארט פראצעדור: איך נעם דריי אנדערע געהעריגע גאנצע נומערן [פאזיטיווע אינטעדזשערס] און איך מאָלטיפליי די ערשטע מיט די צווייטע, די צווייטע מיט די דריטע, און די ערשטע מיט די דריטע. דערנאך עדד איך זיי אלע צוזאמען. אויב איז נישט מעגליך דורך אזא סארט פראצעדור צוצוקומען צו א געוויסע נומער, נישט קיין חילוק וועלעכע דריי נומערן איך גיי וועלן, איז יענע נומער אן איידאניעל נומער.

מיט אזא סארט איידאניעל נומער אויב איז דא א נומער וואס עס איז נאר דא איין וועג פון צוקומען דערצו דורכ׳ן נעמען א נומער און עס סקווערן און דערנאך מאָלטיפּלייען עס ביי אן איידאניעל נומער, און דערנאך נעמען אן אנדערע נומער און עס סקווערן און דערנאך זיי צאמעדדן צוזאמען, וועט די נומער אדער זיין א סומע פון א פּריים וואס מ׳האט געסקווערד אדער צוויי מאל א פּריים וואס מ׳האט געסקווערד. דאס איז אבער אין אזא פאל וואו די צוויי נומערן וואס מ׳האט צאמגעעעד [די נומער וואס מ׳האט געסקווערד, און די אנדערע נומער וואס מ׳האט געסקווערד און מאָלטיפּלייט ביי די איידאניעל נומער] האבן נישט קיינע אייניגע פּריים פאקטארן ביי וואס מ׳קען זיי דיוויידן.

אוילער און פרידריך גאַוּס האבן צאמגעשטעלט א ליסטע פון 65 אזעלכע נומערן. מ׳ווייסט נישט אויב עס איז דא א זעקס-און-זעכציגסטע. אזוי פיל האט דר. פּיִטער וויינבערגער אויפגעוואוזן אז מער ווי 66 איז זיכער נישט דא. אויב איז די ריעמאן היפאטעזיע אמת וועט אויסקומען אז עס איז טאקע נישט דא מער ווי 65 אזעלכע נומערן.

@מי אני דו גייסט כאפן פראסקעס פאר דעם.

א מין פאסיוון שטייגער פון מאכן יענעם שפירן פּלאַטשיק. זייער אפענסיוו דיינע שטאף.

ייש"כ. איך נעם דאס אן אלס א "מתוך גנותו בא לידי שבחו"... 🙂

א חלק פון מיין מטרה אין עפענען די אשכול איז געווען ווייל איך האב געהאלטן (און האלט נאך אלס) אז עס פאסט פאר די אינטעלעקטואלע האָבּ פון חרדי'שע אידענטום צו האבן אן ארטיקל/אשכול/דיסקוסיע איבער דעם באקאנטן אפענעם מאטעמאטישע פראבלעם. מיינענדיג, לדעתי דארף עס צו זיין א כבוד פאר די חבירים דא אז עס איז דא אן אשכול אויף די נושא. און פארשטייט זיך אז מיין מטרה, אפילו אינדירעקט, איז בוודאי נישט צו מאכן מענטשן שפירן שלעכט. אויב איז דא איינער וואס פיהלט טאקע אזוי (ערענסט גערעדט... 😉 ) בעהט איך אנטשולדיגונג.

איך האב דאס פרובירט דאס בעסטע מסביר צו זיין (וכאמור, בקוצר אמרים) ווי ווייט מעגליך. וכמובן, בין איך אליין ווייט ווייט נישט קיין מומחה דערין בכלל.

מ׳קען דאס מסביר זיין אויף א וויזשוּאלן אופן. אין מאטעמאטיקס [אלגעברא] איז באקאנט דאס געדאנק פון קארטיִזשיִען קאָאָרדינעטס; א גרעף. דאס איז אז איך שטעל אויס א האריזאנטעל ליין מיט אלע נומערן, נעגאטיוו צו לינקס און פאזיטיוו צו רעכטס. דערנאך שטעל איך אויס אויף דעם א ווערטיקעל ליין מיט אלע נומערן, נעגאטיוו צו אראפ און פאזיטיוו צו ארויף. כזה:
📎 38698FCD-9FEC-4B21-9241-0BDA52268DB0.jpeg
און ווען מען וויל ווייזן א פונקט אויף דעם 2D פּלעין באקומט יעדעס פונקט צוויי נומערן; איינס פאר רעכטס/לינקס [גערופן די x וועריעבּל] און איינס פאר אויבן/אראפ [גערופן די y וועריעבּל]. ולמשל, אויב האב איך די פונקט וואס האט [2, 4-] מיינט דאס אז די ערשטע נומער וואס איז 4- צייל איך צו לינקס 4 פלעצער אויף דעם גריד/גרעף, און די צווייטע נומער וואס איז 2 מיינט אז איך צייל יעצט ארויף 2 פלעצער אויפ׳ן גריד/גרעף און דארט איז מיין פונקט. (דאס קען פארברייטערט ווערן צו 3D וואו יעדעס פונקט האט אויך א דריטע נומער [וועריעבּל z] וואס ווייזט אויפ׳ן טיפקייט פונעם פונקט.)

ווען מען האנדעלט מיט קאמפּלעקס נומערן נוצט מען אן ענליכן געדאנק. דהיינו, אלע ״עכטע״ נומערן ליגן דאך אויף א 1D נומער ליין, וואס איך זאג אז עס איז האריזאנטעל. דערנאך זאג איך אז די אימעדזשינערי נומערן, וואס געפינען זיך נישט דערויף, געפינען זיך אויך זייער אייגענע ווערטיקעל ליין. איז צו דעמאנסטרירן א קאמפּלעקס נומער, וואס איז צאמגעשטעלט פון סיי אן עכטע חלק און סיי אן אימעדזשינערי חלק, איז גייט דאס ווערן דעמאנסטרירט אלס א 2D פונקט: די עכטע חלק צו ״רעכטס/לינקס״ און די אימעדזשינערי חלק צו ״אויבן/אראפ״. (דערנאך קען מען דאס צאמשטעלן מיט אן אלגעמיינעם 2D גרעף, וואס יעדעס פונקט אליין פארמאגט צוויי נומערן וואס זענען אליין קאמפּלעקס נומערן, דורך עפעס וואס רופט זיך א ריעמאן מעניפאלד.)

איז לפי״ז קען מען צייגן וואס די ריעמאן היפאטעזיע זאגט, אז אלע [נאן-טריוויעל] זעראס פונעם זעטא פאָנקשען (וואס האבן אן אימעדזשינערי חלק וואס איז נישט 0) וועלן דאך מוזן האבן 1/2 אלס זייער עכטע חלק, וממילא וועלן זיי אלע ליגן, ווען איך צייג דאס אלס א גרעף כנ״ל, אין די הייעך נאר אין א גראדע ליניע וואו די האריזאנטעל ״עכטע״ ליניע איז 1/2. דאס ווערט גערופן די קריטיקעל ליניע. דאס איז א בילד דערפון:
📎 A3AF1D4A-9428-40D6-B46B-8CE2F7EF55FF.png

אינעם געדאנק פון סיריִס און דאס צו זיי קאנווערדזשען אדער דייווערדזשען איז אינטרעסאנט צוצוצייכענען צו נאך א טעארעם פון בערנהארד ריעמאן. צום ערשט דארף מען וויסן אז עס איז דא א חילוק צווישן אבסאלוט קאנווערדזשענס און קאנדישאנאל קאנווערדזשענס. דאס מיינט אז ווען איך האב א סיריִס, וואס האט טערמינען וואס זענען סיי פאזיטיוו און סיי נעגאטיוו, וואס טוהט טאקע קאנווערדזשען, אבער טאמער גיי איך נישט קוקען אויף דעם און איך גיי (צאמ)רעכענען אלע טערמינען דערין כאילו זיי זענען אלע פאזיטיוו [איך גיי נאר רעכענען זייערע אבסאלוט וועליוּ] גייט דאס דעמאלטס דייווערדזשען, דעמאלטס איז די סיריִס קאנדישאנאלי קאנווערדזשענט. אויב אבער גייט דאס אפילו דעמאלטס נאך אלס קאנווערדזשען איז דאס אבסאלוטלי קאנווערדזשענט.

די טעארעם, גערופן די ריעמאן סיריִס [ריערעינדזשמענט] טעארעם, לויטעט אז טאמער איז די סיריִס קאנדישאנאלי קאנווערדזשענט, מיינט דאס אז די סדר פון די טערמינען דערין מאכן יא א חילוק אין צו וואס דאס גייט קאנווערדזשען אנדערש פון די אלגעמיינע באקאנטע קאמיוּטעטיוו געזעץ פון עדישאן אקסיאם וואס לויטעט אז ביים עדדן טערמינען צוזאמען מאכט נישט קיין חילוק די סדר פון די טערמינען צום ענדגילדיגן ענטפער/סומע, און איך גיי קענען ריערעינדזשען/אויסשטעלן די סדר פון די טערמינען צו באקומען א קאנווערדזשענס דערפון פון עני נומער איך בין בוחר אדער גאר א דייווערדזשענס.

אין מאטעמאטיקס איז דא א מסכת פון א מאטעמאטישע ענטיטי וואס ווערט גערופן א מעיטריקס. דאס איז א סעט פון נומערן אויסגעשטעלט אין רוֺיס [אין די ברייט] און אין קאלומנס [אין די הייעך/ארויף-אראפ]. למשל א 3x3 מעיטריקס איז כזה:
|3 2 1|
|6 5 4|
|9 8 7|

אויב איז דאס א סקווער מעיטריקס, וואו די סומע פון די נומערן אין די רוֺיס [ברייט] איז די זעלבע ווי די אין די קאלומנס [הייעך], דעמאלטס האט דאס א דעטערמינענט, וואס איז איין נומער וואס צייגט צו א סארט ״כאראקטעריסטיק״ פון די מעיטריקס. (ווען די ברייט/הייעך פונעם מעיטריקס איז נאר 2 איז דאס די פראדוקט פון ווען איך מאלטיפליי די צוויי נומערן אין די דייעגאנאל/אלכסון שורה דערין וואס לויפן פון לינקס אויבן ביז רעכטס אונטן [גערופן די מעין דייעגאנאל], און איך מיינוס דערפון די פראדוקט פון די צוויי נומערן אינעם אנדערן אלכסון. ביי גרעסערע סקווער מעיטריסיִס ווערט עס מער קאמפליצירט, אבער עס בויט זיך בעצם אויפ׳ן געדאנק פון ווי אזוי איך טרעף צוויי-ביי-צוויי דעטערמינענטס בתוך דעם גרעסערן מעיטריקס וואס ווערן גערופן אירע מיינארס.) דאס איז מקושר צו דאס וואס ווערט גערופן די טרעיס פונעם מעיטריקס וואס איז די סומע ווען איך עדד צאם די נומערן אין די דייעגאנאל/אלכסון שורה דערין וואס לויפן פון לינקס אויבן ביז רעכטס אונטן.

א סקווער מעיטריקס וועט אויך האבן א כאראקטעריסטיק פּאלינאמיעל. צום ערשט דארף מען מסביר זיין דאס געדאנק פון אן איידענטיטי מעיטריקס. דאס איז א סקווער מעיטריקס וואו די מעין דייאגאנאל זענען אלע נומער 1 און אלע איבעריגע עלעמענטס דערינען זענען 0. דא וועט די מעין דייאגאנאל אנשטאט 1 זיין x. יעצט מיינוס איך יעדעס עלעמענט אין אונזער סקווער מעיטריקס פונעם איידענטיטי מעיטריקס (מיט די x׳ס אנשטאט די 1׳ס) וואס איז די זעלבע גרויס. דהיינו, די עלעמענט וואס איז אין א געוויסע פלאץ אין אונזער סקווער מעיטריקס מיינוס איך פון די נומער אין די זעלבע מקום אינעם איידענטיטי מעיטריקס. דערנאך נעם איך די דעטערמינענט פונעם נייעם מעיטריקס וואס איך האב דאדורך באקומען און דאס (וויבאלד עס האט x אנשטאט 1 אין עס) וועט אויסקומען צו א פּאלינאמיעל; דאס איז די כאראקטעריסטיק פּאלינאמיעל פון די מעיטריקס. עס וועט אויסקומען אז ווי גרויס אין ברייט/הויך די מעיטריקס איז, אזוי הויך וועט זיין די דעגרי/העכסטע עקספּאנענט פון די כאראקטעריסטיק פּאלינאמיעל. ווי אויך וועלן די טרעיס און די דעטערמינענט פונעם אריגינעלן מעיטריקס זיין קאָעפישענטס, באהאפטן צו די x׳ס דערינען אינעם כאראקטעריסטיק פּאלינאמיעל.

ווען איך סאַלוו די פּאלינאמיעל (עיין בהלינק הנ״ל קצת בזה, ועיין ג״כ כאן) צו באקומען די רוטס דערפון גייען די נומערן זיין די אייגענוועליוּס פון די אריגינעלע מעיטריקס. ווען איך עדד צאם די אייגענוועליוּס וועט די סומע זיין די טרעיס פונעם מעיטריקס.

עס איז דא א סארט סקווער מעיטריקס וואס ווערט גערופן א הערמיטיען מעיטריקס. דאס איז אזא סארט מעיטריקס וואס האט אין זיך קאמפּלעקס נומערן אלס עלעמענטס, און אויב, לא׳מיר זאגן, וועט די עלעמענט וואס איז אין רוֺי 2 קאלומן 3 זיין אן עכטע נומער פּלאָס אן אימעדזשינערי נומער, וועט די נומער אין רוֺי 3 קאלומן 2 זיין יענע עכטע נומער מיינוס יענע אימעדזשינערי נומער; אין אנדערע ווערטער, איר קאנדזשוגעט וועט ליגן אויפ׳ן אַרט וואו איך טויש אויף די קאלומן פלאץ פאר׳ן רוֺי פלאץ און די רוֺי פלאץ פאר׳ן קאלומן פלאץ. עס וועט אויסקומען אז די קאנדזשוגעטס וועלן זיין סימעטריש און ״איבערגעפליפּט״ צום מעין דייאגאנאל. די מעין דייאגאנאל אליין וועט נאר זיין דערינען עכטע נומערן ווייל אזוי איז עס איר אייגענע קאנדזשוגעט; איר אימעדזשינערי חלק איז 0 [וואס 0 איז נישט פאזיטיוו און נישט נעגאטיוו, וממילא איז עס איר אייגענע קאנדזשוגעט]. דא איז א משל פון א 4x4 הערמיטיען מעיטריקס:
📎 0775A233-D8FA-496D-AF2D-E0E43D58E0E0.jpeg
ביי א הערמיטיען מעיטריקס וועלן אירע אייגענוועליוּס אלעמאל זיין ״עכטע״ נומערן.

דאס קומט זיך צאם מיט די ריעמאן היפאטעזיע דורך די הילבערט-פּאָליאַ קאנדזשעקטשור. דאס זאגט אז די נאן-טריוויעל זעראס פון די ריעמאן זעטא פאָנקשען (אננעמענדיג אז די ריעמאן היפאטעזיע איז אמת), וואס גייען דאך אלעמאל זיין 1/2 מיט עפעס אן אימעדזשינערי נומער, גייט די עכטע/געהעריגע נומער פון די אימעדזשינערי נומער [אן די i] זיין אן אייגענוועליוּ פון עפעס א הערמיטיען מעיטריקס. דר. דזשארדזש פּאָליאַ האט דאדורך מקשר געווען די היפאטעזיע מיט קוואנטום פיזיקס, ווייל ער האט געוואוזן אז דאס וועט לויטן אז די העמילטאָניען, א מין נומער/פאָנקשען איבער די ענערגיעס פון א קוואנטום סיסטעם, זענען הערמיטיען ומקושר צום היפאטעזיע כנ״ל.

עס איז אינטרעסאנט אנצומערקן אז אינערהאלב קאמפּלעקס נומערן זענען דא סוגים. איין סוג ווערט אנגערופן גאַוּסיען אינטעדזשערס. דאס זענען קאמפּלעקס נומערן וואס סיי די ״עכטע״ חלק און סיי די אימעדזשינערי חלק זענען גאנצע אינטעדזשערס [גאנצע פאזיטיווע אדער נעגאטיווע נומערן]. עס גייט אויסקומען אז ווען מ׳פּלאַט זיי אויף א קאמפּלעקס גרעף כנ״ל וועלן זייערע פּינטעלעך שאפן סקווערס איינס ביחס צום צווייטן.

דערנאך זענען דא אייזענשטיין אינטעדזשערס. דאס זענען קאמפּלעקס נומערן וואו די ״עכטע״ חלק איז א גאנצע אינטעדזשער אבער די אימעדזשינערי חלק איז אן אינטעדזשער טיימס e [עיין כאן בסוף התגובה] צו אן עקספאנענט פון א דריטל פון 2 מאל πi [ואגב, עיין כאן]. ווען מ׳פּלאַט די סארט קאמפּלעקס נומערן אויף א קאמפּלעקס גרעף וועלן זייערע פּינטעלעך שאפן טרייענגעלס איינס ביחס צום צווייטן.

די קשיא פון דיין ניק ווערט נאר שטערקער און שטערקער

א וויץ אין דעם געדאנק פון סיריִס:
📎 800E9A5B-7C25-46BC-9EC0-394D92D4774F.jpeg
דאס איז ווייל די סיריִס, נאטירט אזוי:
📎 0612BC02-936E-44D1-A212-8F3D1224A098.jpeg
[די n הייבט זיך אן ביי 1 (ווי איידער 0, וואס דעמאלטס וואלט די ערשטע נומער געווען 1 [גאנצע]. והיינו 1/2 געשריבן 1 מאל, צוזאמען מיט 1/2 מאל 1/2 [געשריבן אין מאלטיפליקעישאן 2 מאל], צוזאמען מיט 1/2 מאל 1/2 מאל 1/2, וכן הלאה.] גייט קאנווערדזשען צו 1. דאס איז די זעלבע ווי די ערשטע סיריִס וואס אונז הא׳מיר דערמאנט אינעם אשכול

מי אני

למשל די סיריִס וואו איך האלב און נאכדעם לייג איך צו האלב דערפון אא״וו כזה: 1+1/2+1/4+1/8+1/16 אא״וו בב״ת, אדער די סיריִס פון די רעסיפּראקעלס פון ‫פּאַליגאַנעל נומערן‬, 1+1/3+1/6+1/10 אא״וו בב״ת, זענען ״קאנווערדזשענט סיריִס״, ווייל זיי גייען עעווענטשועל צוקומען צו א געוויסע וועליוּ [2] וואס פון דארט (אדער אפילו צו דארט) און ווייטער גייט עס ממש וואקסן אומדערקענבאר.

וואס דארט קאנווערדזשט עס צו 2, און אונז נעמען אוועק די ערשטע 1 גאנצע.
📎 DC812691-E217-4E89-9A07-3065F9641E20.png
דאס איז א וויזוּאלע רעפרעזענטאציע פון די סיריִס ווי עס פילט אן א [1] סקווער, אויב עס האט אינפיניט שטיקלעך אזוי.

‏ועיין כאן.

רעדענדיג פון סיריִס און סיִקווענסעס איז אינטרעסאנט צו דערמאנען אז עס איז אויך דא דערין דעם געדאנק פון א ריִקורסיוו סיִקווענס. דאס באדייט אז די נומערן אין די סיִקווענס ארבעטן און ווערן דעפינירט ווענדענדיג זיך אין לויט דאס וואס עס קומט פאר זיי בתוך די סיִקווענס גופא. למשל, די פיִבּאָנאטשי סיִקווענס איז אזא סארט סיִקווענס ווייל יעדעס וועליוּ ווענדט זיך אין די סומע פון די צוויי פאר איר. דאס וועט ווערן ארויסגעשריבן:
f(1)=1
f(2)=1
f(n)=(f(n-1))+(f(n-2))

דהיינו, אז צום ערשט ״סיִד״ איך און איך ״זיי אן״ [צוויי] וועליוּס מיט וואס אנצוהויבן דעם סיִקווענס. דערנאך זאג איך אז ביי וועלכע נומער אינעם סיִקווענס דו האלטס ביי נעם די נומער פון איינס פאר דעם און די נומער פון צוויי פאר דעם און לייג זיי צאם און וועסט באקומען דעם נומער וואו דו האלטס יעצט.

עפעס וואס רירט אויך אן אין דעם געביט איז וואס ווערט גערופן די סעינט פּעטערסבורג פּאראדאקס. דאס איז אז עס איז דא א שפיל וואו א קאסינא זאגט דיר אז ס׳לייגט אריין $2 און דו ווארפסט א מטבע. אויב עס פאלט אויף העדס דעמאלטס געוואונסטו 2 מאל דאס, $4, און די שפיל גייט ווייטער, און אז נישט נעמסטו די $2 און געענדיגט. אויב עס פאלט נאכאמאל אויף העדס געוואונסטו 2 מאל די $4 וואס איז שוין יעצט דא, $8, און מ׳גייט ווייטער. אויב עס פאלט ביין דריטן מאל אויף העדס געוואונסטו 2 מאל דאס, $16, און מ׳גייט ווייטער. וכן הלאה והלאה. ביי יעדעס מאל אויב עס פאלט אויף טעילס נעמסטו וואס דו האסט פארדינט ביז יעצט און די שפיל ענדיגט זיך. די שאלה איז וויפיל זאלסטו זיין גרייט צו צאלן צום קאסינא צו קענען שפילן דעם שפיל? סתם אזוי וואלטן מענטשן געזאגט אז עס איז זיי נישט ווערט צו צאלן $25 דערפאר. אבער אויב מען מאכט א מאטעמאטישע חשבון דערויף איז דאס א סיריִס וואס דייווערדזשט צו אינפיניטי. כזה: 📎 F973B2D8-A796-4BA3-B9D9-E44C0584AAF8.jpeg
דאס איז ווייל די פראבעביליטי פאר׳ן ערשטן מאל צו פאלן אויף א העדס איז 1/2, ולעומת איר ווערט וואס איז שוין דארט [$2] איז דאס 1 [2 מאל 1/2]. די פראבעביליטי מעיקרא אז עס זאל צוויי מאל נאכאנאנד פאלן אויף העדס [אז דאס שפיל זאל ווייטער גיין] איז 1/4 [ווייל 1/2 מאל 1/2] ולעומת איר ווערט וואס איז שוין דארט [$4] איז עס ווייטער 1 [4 מאל 1/4]. וכן הלאה והלאה, וממילא איז עס א סיריִס פון 1+1+1+1... וואס לויפט ביז ∞ וממילא איז דאס בעצם די עקספּעקטעד וועליוּ פון דאס געוועט, וממילא קומט אויס אז עפ״י מאטעמאטישע ראציאנאל זאל מען זיין גרייט צו גיבן עני פיניט צאל צו שפילן די שפיל.

מ׳האט באמערקט אז די סיריִס איז נישט אזוי פשוט. דאס איז ווייל הגם אז (קהלת ה ט) אוהב כסף לא ישבע כסף איז אבער די יוּטיליטי און וועליוּ פאר׳ן געוואונער פונעם געלט איינמאל ער האט שוין גאר אסאך נישט די זעלבע ווי ווען ער האט אסאך ווייניגער; עס איז נישט די זעלבע ״1״. ואגב, דא האט מען געטראפן אז איינמאל מ׳קומט אן צו פארדינען א געוויסע סכום [די סקווער רוּט פון וויפיל נפשות זענען אינעם הויזגעזונט טיימס $115,000 א יאר] וואקסט נישט די צופרידענהייט פונעם מענטש אלס א פאָנקשען פון געלט. דער מאטעמאטיקער גבריאל קרעימער האט טאקע גע׳טענה׳ט אז מ׳זאל אויסשטעלן די סיריִס אז אנשטאט פון מאָלטיפּלייען יעדע שאנס ביי איר ווערט כנ״ל, זאל מען מאלטיפלייען יעדע שאנס ביי די סקווער רוט פון איר ווערט. אין אזא פאל קאנווערדזשט עס צו בערך 3 און א האלב. מ׳קען דאס אבער טעארעטיש עקסטענדן צו עני סארט יוטיליטי וואס גייט נישט אראפ: למשל אריינלייגן אין א מאשין וואס גיבט תענוג אויף א לעוועל פון 2 צו די עקספּאנענט צו וויפיל מאל איך בין אנגעקומען מיט העדס אין א רייע.

נאך אן אינטרעסאנטע זאך דערין קומט אויס אז אויב זאג איך אז די שפיל איז אז מ׳באקומט $1 בנוסף צו די געדאפּלעכץ ביי יעדעס מאל [די פּעטראגראד שפיל], אדער אז די מטבע האט מער א פראבעביליטי צו פאלן אויף העדס [די מאסקווע שפיל] גייט די יוטיליטי נאך אלס זיין בעצם די זעלבע - אינפיניט.

ובסוגיא זו איז דא די פּאסאדענא פּאראדאקס. דאס איז ווען איך נעם דעם סעינט פּעטערסבורג שפיל אבער די קאסינא לייגט צו אזא תנאי: אויב ווען מ׳קומט אן צום ערשטן טעילס זענען די צאל פון אלע העדס עד האידנא אַדד דעמאלטס געוואונט ער טאקע די געדאפּלעכץ עד כאן. אבער אויב איז די צאל פון העדס עד האידנא איִווען דעמאלטס דארף ער צאלן צום קאסינא די צאל פון די געדאפלעכץ וואס ליגט אין שיסל פון זיין טאש. די סיריִס פון דעם זעהט אויס אזוי: 📎 5FDF8394-5056-4323-84CB-59476782F968.jpeg
וואו ביי אן אַדד ווארף וואו ער פארדינט אויב עס ענדיגט זיך, איז דאס א פאזיטיוו און ביי אן איִווען ווארף וואו ער פארלירט אויב עס ענדיגט זיך איז עס א נעגאטיוו. דאס קאנווערדזשט צו 0.69 והיינו איר יוטיליטי. אבער דאס איז אן אָלטערנעיטינג הארמאניק סיריִס וואס איז א קאנדישענעלי קאנווערדזשינג סיריִס. און ווי ערווענט אויבן איז קען דאס קאנווערדזשן צו עני נומער איך וויל לויט ווי אזוי איך שטעל אויס די [אינפיניט] טערמינען דערין. און מאטעמאטיקער טענה׳ן אז עס זעהט אויס ארבּיטרערי דאס אויסצושטעלן דייקא לויט׳ן סדר פון ווארפן.

מ׳פארציילט אז דער בארימטער מאטעמאטיקער דזשאן וואן-ניומאן איז געווען ערגעץ צוגאסט. האט אים זיין גאסטגעבערין געפרעגט אזא חידה:

צוויי ביציקלעך זענען 100 מייל ווייט איינע פונעם צווייטן. זיי הייבן ביידע אן צו גיין איינע צום/קעגן צווייטן מיט א שנעלקייט פון 10 מפ״ש [מייל פּער שעה] כסדר א גאנצע צייט. אינעם זעלבן רגע הייבט א פליג אן צו פליען פונעם ערשטן ביציקל צום צווייטן מיט א שנעלקייט פון 20 מפ״ש, און ווען עס קומט אן צום צווייטן פלינט עס צוריק צום ערשטן מיט די זעלבע שנעלקייט, און נאכדעם צוריק וכן הלאה. ווען די צוויי ביציקלעך וועלן זיך באגעגענען ווי ווייט איז די פליג געפלויגן אלעס צוזאמען?

עס זענען דא צוויי וועגן ווי אזוי דאס צו קאמפיוטן. די גרינגע וועג איז צו כאפען און רעכענען די ״צייט״ ווי לאנג די צוויי ביציקלעך וועלן פארן ביז זיי באגעגענען זיך, וואס דאס איז 5 שעה; ווייל עס איז כאילו נאר איין ביציקל פארט צום צווייטן [וואס שטייט] 20 מפ״ש, וממילא פאר 100 מייל איז דאס 5 שעה. יעצט, דורכאויס די גאנצע צייט גייט די פליג מיט א קאנסטענט שנעלקייט פון 20 מפ״ש, וממילא פאר 5 שעה גייט דאס א שטרעקע פון 100 מייל.

די שווערערע וועג איז דורך סאָמ׳ן/רעכענען אן אינפיניט סיריִס. דאס ערשטע מאל די פליג פליהט צום קעגנקומענדיגן ביציקל איז דאס כאילו עס פליהט צו אים מיט א שנעלקייט פון 30 מפ״ש: איר אייגענע 20 און די 10 פונעם ביציקל וואס קומט איר אנטקעגן. וממילא אז זיי הייבן אן 100 מייל אפגערוקט און זי פליהט צו אים ביי 30 מפ״ש מאכט זי דאס אין 3 אהאלב שעה און זי פליהט א שטרעקע פון 66 און צוויי דריטל מייל. דערנאך פליהט עס צוריק א שטרעקע פון 33 און א דריטל מייל וואס די ביציקלעך זענען יעצט נאר ווייט איינע פונעם צווייטן, וממילא וועט די פלי רייזי נאר נעמען א דריטל אזוי לאנג ווי פריער. און אזוי גייט דאס ווייטער און ווייטער ווי יעדעס נייע פלי רייזע פונעם פליג וואו עס דרייט זיך אויס צוריק צו פליען וועט נאר נעמען א דריטל אזוי לאנג ווי די רייזע פאר דעם, והיינו די דריטע א א דריטל פון די צווייטע וואס דאס איז א ניינטל פונעם ערשטן, וכן הלאה והלאה. און עס קומט אויס אז דאס איז אזא סיריִס:
66 און צוויי דריטל [די ערשטע רייזע] מאל
(1+1/3+1/9+1/27...)
די סיריִס אין די פּאַרענטעסיס קאנווערדזשט צו 1 און אהאלב, און 66 און צוויי דריטל מאל דאס איז 100.

נאך דעם וואס זי האט דאס אים געפרעגט האט זיך וואן ניומאן פארטראכט א מאמענט און איר געענטפערט 100. האט זי אים געזאגט, ״אָהה. האסט געכאפט די טריק״. האט ער זיך פארוואונדערטערהייט געפרעגט, ״וועלכע טריק?״ האט זי אים געזאגט אז זי מיינט די ערשטע וועג ווי איידער דארפן צוקומען צו א סיריִס. האט ער אי געזאגט, ״דאס איז ווי אזוי איך האב דאס געסאלווט״.

עס איז דא א סארט סיִקווענס וואס רופט זיך די פערי סיִקווענס. דאס איז ווען איך וועל אויס א נומער אלס א דענאמינעיטאר פון א פרעקשאן און איך לייג דערנאך אויס [בדרך כלל פון 0 ביז 1] די פרעקשאנס ביז אהין, מיט די [גאנצע] נומערן ביז די וואס איך האב אויסגעוועלט ועד בכלל אלס דענאמינעיטארס מיט אלע [גאנצע] נומערן [וואס קענען פארשטייט זיך נישט זיין מער ווי די דענאמינעיטאר וואס זיי האבן] אלס׳ן נומערעיטאר, פונעם קלענסטן ביזן גרעסטן אין א סדר. אלע פרעקשאנס ווערן אויסגעשריבן אין זייער מערסטע סימפּליפייד פארעם [למשל 1/2 אנשטאט 4/2]. דא איז א משל פון די סיִקווענסעס פאר ווען איך וועל אלס א נומער 1, 2, 3, 4, און 5: 📎 EFBE6F25-B665-4224-961A-8E36569A2F1C.jpeg

עס קומט אויס אן אינטרעסאנטע זאך. אז מ׳איז בוחר אין עני דריי נומערן פון די סיִקווענס אין א רייע וועט מען זעהן אז די נומערעיטאר פון די מיטעלסטע איז די סומע פון די צוויי נומערעיטערס וואס זענען ארום איר אויף ביידע זייטן, און איר דענאמינעיטאר איז די סומע פון די צוויי דענאמינעיטארס וואס זענען ארום איר אויף ביידע זייטן. טאמער איז עס נישט אזוי איז עס ווייל מ׳קען סימפּליפייען די פרעקשאן וואס קומט אויס ווען איך נעם די סומע פון די נומערעיטארס פון ביידע זייטן און איך לייג דאס אויף די סומע פן די דענאמינעיטארס פון ביידע זייטן.

די מאטעמאטיקער דזשערוים פרענעל און עדמונד לאנדוי האבן אויפגעוואוזן אז דאס האט א קשר צום ריעמאן היפאטעזיע. דאס איז ווייל אז איך האב א פערי סיִקווענס ביז א געוויסע נומער פאר די דענאמינעיטאר כנ״ל וואס גייט האבן א געוויסע צאל פון פרעקשאנס אין די סיִקווענס, און איך נעם א געוויסע פרעקשאן אין די סיִקווענס און איך נעם אוועק דערפון די צאל פון די פלאץ וואו עס געפינט זיך אינעם סיִקווענס וואס איז דיוויידעד ביי די נומער פונעם סיִקווענס ביז וואו די דענאמינעיטארס ווערן גענוצט [לא׳מיר זאגן די צווייטע פון א פערי סיִקווענס ביז נומער 5, וואס די סיִקווענס האט 11 מעמבערס אין די סיִקווענס, און די עצם פרעקשאן איז 1/5, גייט עס מיינען 1/5 מיינוס 2/11], און איך טוה אזוי פון 1 ביז די לעצטע נומער אינעם סיִקווענס ביז וואו די דענאמינעיטארס גייען און איך עדד דערנאך די אלע וועליוּס צאם [איך נעם די אבסאלוט וועליוּ און אויב האט עס א נעגאטיווע וועליוּ איגנאריר איך עס], איז וואו גרעסער די סיִקווענס, וממילא די סיריִס, איז, אלס מער עפּראקסימעיט עס דאס וואס די ריעמאן היפאטעזיע און די פּריים קאַוּנטינג פאָנקשען טוהן.

נאך אן אינטרעסאנטע זאך אין די פערי סיִקווענס זענען די פאָרד סירקעלס. דאס זענען סירקעלס וואס איך שטעל אויס אויף א נומער ליין אזוי אז עס איז טענדזשענט פון אונטן און רירט פונקטליך און נאר אן אויף א פרעקשאן [פון 1 ביז 0]. די סירקעל וועט האבן א דיאמעטער פון די פרעקשאן וואו די דענאמינעיטאר איז סקווערד און די נומערעיטאר ווערט אלס געטוישט צו 1. עס גייט אויסקומען אז אויב שטעל איך אויס אלע פרעקשאנס ביז א געוויסע נומער דענאמינעיטאר אין א רייע, א פערי סיִקווענס, און אויף די נומער ליין פון די פרעקשאנס מאך איך די סירקעלס, וועט יעדעס אזא סירקעל זיין אדער טענדזשענט און פונקט אנרירן [זיין טענדזשענט צו] אנדערע אזא סארט סירקעלס אדער אינגאנצן אוועק שטיין [דיסדזשוינט]; קיין איינס וועט קיינמאל נישט אריינגיין בתחומה של חברתה. למשל, וואו די פערי סיִקווענס איז ביז 10 זעהט עס אויס כזה [מ׳קען דאס אויך עקסטענדען ווייטער צו די נעגאטיווע זייט טאמער איך נעם די אבסאלוט וועליוּ און איגנאריר די נעגאטיווע סיין]: 📎 9CF7671B-A7A4-402E-85C5-1010A1B9220D.png

‏ועיין כאן.

‏דא הא׳מיר מסביר געווען דאס געדאנק פון א פּרימאריעל אז דאס איז וואו איך מאָלטיפּליי צאם אלע פּריים נומערן ביז/אונטער א געוויסע נומער. מען קען דורך דעם עקספּרעסן די זעטאַ פאָנקשען, ווען איך לייג אריין אינעם פאָנקשען [גאנצע] נומערן [אינטעדזשערס] וואס זענען מער ווי 1, ווען איך שטעל צאם די פּרימאריעל מיט דזשאָרדען׳ס טאָשׁענט פאָנקשען.

‏דזשאָרדען׳ס טאָשׁענט פאָנקשען נעמט אוילער׳ס טאָשׁענט פאָנקשען, באשריבן דא, נאך ווייטער. דארט האב איך נאר געוואלט וויסן די 1 סעט פון אלע נומערן וואס זענען קאָפּריים צום נומער וואס איך שאץ וואס זענען אונטער דעם נומער. דא וויל איך וויסן ווען איך נעם/וועל א געוויסע צאל, וויפיל סעטס [גערופן א טאָפּל] פון דעם צאל/גרויס פון נומערן וואס זענען אונטער דעם נומער וואס איך שאץ וואס זענען קאָפּריים צו דעם נומער וואס איך שאץ.

איך קען געוואוּר ווערן וויפיל אזעלכע גרויס סעטס איך קען שאפן פאר יענעם נומער אזוי:
איך דיווייד 1 ביי א פּריים וואס איז א דיווייזאר פון די נומער וואס איך שאץ נאכ׳ן האבן געהעכערט דעם פּריים צום עקספּאנענט וואס איז די גרויס/צאל וואס איך וויל די סעטס זאלן זיין, און איך סאָבּטרעקט די נומער וואס איך באקום פון 1. איך טוה אזוי צו/מיט אלע פּריים דיווייזארס פון דעם נומער וואס איך שאץ, און איך מאָלטיפּליי אלע ענטפערס וואס איך האב באקומען צוזאמען. דערנאך מאָלטיפּליי איך דאס ביי די נומער וואס איך שאץ געהעכערט צום עקספּאנענט פון די צאל/גרויס וואס איך וויל די סעטס.
אין מאטעמאטישע נאָטעישאן איז דאס: 📎 879BC876-DE13-40A3-8DB5-2E16E56D727C.jpeg

יעצט, אנגעהויבן פון גאנצע אינטעדזשערס פון 2 און ווייטער, גייט די זעטאַ פאָנקשען פאר יענעם נומער זיין די זעלבע ווי ווען איך נעם די סיריִס קאנווערדזשענס פון נומערן (אויך) אנגעהויבן פון 2 עד ∞ פון די פרימאריעל פון א נומער [אנגעהויבן פון 2 ביז ∞] טיימס די אַוּטפּוּט פונעם דזשאָרדען׳ס טאָשׁענט פאָנקשען פאר יענעם נומער וואס איך האב געוועלט פאר׳ן זעטאַ פאָנקשען, און די פראדוקט וואס איך באקום גיי איך ביי דעם דיוויידען די פּרימאריעל פון די נומער פון איינס ווייניגער פונעם פריערדיגן פּרימאריעל נומער [נישט די ענדגילטיגע פראדוקט פונעם פרימאריעל, נאר איינס ווייניגער פון פאר איך הייב אן צו קאָמפּיוּטן די פּרימאריעל. ווען מען זאגט "פּרימאריעל" דא מיינט מען דעם ערשטן סארט] וואס איך האב דערנאך געהעכערט צום עקספּאנענט פונעם נומער וואס איך האב געוועלט פאר׳ן זעטאַ פאָנקשען. נאך איך האב דעם קאנווערדזשענס גיי איך צולייגן דערצו דאס וואס איך באקום נאך איך העכער 2 צו דעם עקספּאנענט פונעם נומער וואס איך האב געוועלט פאר׳ן זעטאַ פאָנקשען וואס איך האב דערנאך דיוויידעד ביי 1 ווייניגער ווי דעם. דאס גייט זיין די גענויע זעלבע צו ווען איך לייג אריין דעם נומער אינעם זעטאַ פאָנקשען גופא. אין מאטעמאטישע נאָטעישאן: 📎 1060F05B-2E5F-409D-95E1-F0A616E3E560.jpeg

***

די צווייטע מעשה דא איז א זיסע מעשה בנוגע איינעם׳ס ״פּרוּף״ אויפ׳ן ריעמאן היפאטעזיע.

פון די סארט אלגעבּרעאישער ״לומדות״ [אנאליטיק קאָנטיניוּעישאן] פון זיך ארומשפילן מיט׳ן זעטאַ פאָנקשען און עס זאל ארויסגעבן א קאנווערדזשענט סומע אפילו ווען s איז נעגאטיוו, קומט אויס אז ווען איך געב אריין אינעם זעטאַ פאָנקשען 1-, ווערט דאס פארוואנדעלט אין צו 1+2+3+4... בב״ת וואס באדארף צו זיין און איז באמת דייווערדזשענט. אבער מיט די ״לומדות״ קען מען עקסטענדען די דאָמעין דערפון און עס ״קאנווערדזשט״ צו 1/12-. עס איז אבער נישט פשוט צו מאכן דערויף בסתם דעם ״=״ סיין, ווייל למעשה איז דאס באמת דייווערדזשענט צו אינפיניטי.

דער מאטעמאטיקער ראַמאַנודזשאַן האט אים דאס בסתם געהאט געשריבן, מיט א פשוט׳ן ״=״ סיין, צו דזשעאפרי העראלד הארדי ווען ער האט זיך געוואלט באקענען מיט אים. הארדי האט גראד אבער געכאפט אז דא רעדט מען פון א מאטעמאטישן עילוי. אן אנדערע מהלך ווי אזוי צו עקסטענדען די סארט דייווערדזשענט סיריִס צו א (סארט) ״קאנווערדזשענט״ סומע ווערט גערופן על שמו ראַמאַנודזשאן סאָמעישאן.

***

אין א וויץ בענין ריקוּרסיוויטי אין אקאדעמיע גופא: 📎 19D6A380-672D-424B-B557-B03D36F3345C.jpeg

אין דעם געביט איז דא די געדאנק פון בּערנוֺיליִ נומערן. מאטעמאטיקער האבן אלס געזוכט ווי אזוי צו האבן א גענעראלע פארמולע אויף צו לעזן (פיניט) סיריִס וואס האבן סאָקסעסיוו קאנסעקיוטיוו נומערן איינס נאכ׳ן אנדערן און אלע געהעכערט צום זעלבן עקספּאנענט. דער מאטעמאטיקער יעקב בּערנאָלי (ווי אויך דער יאפאנעזער מאטעמאטיקער סעקיִ טאַקאַקאַזוּ אין די זעלבע תקופה) איז אויפגעקומען מיט א סוג פון נומערן, וואס העלפן דאס לעזן, וואס ווערן גערופן בּערנאָלי נומערן. די נומערן קען מען באקומען דורך די זעטאַ פאָנקשען. והיינו, אז איך וויל באקומען א [פאזיטיווע] בּערנאָלי נומער פון א געוויסע פלאץ [כדוגמא די ״דריטע״ בּערנאָלי נומער], דעמאלטס נעם איך 1 און איך נעם אוועק די פלאץ נומער דערפון (וואס וועט דאל בדרך כלל זיין נעגאטיוו) און איך לייג דרס אריין אינעם זעטאַ פאָנקשען, און וואס עס געבט מיר ארויס מאָלטיפּליי איך ביי נעגאטיוו פון דעם פלאץ נומער. די נומער וואס איך באקום איז די בּערנאָלי נומער פון יענעם פלאץ.

אן אנדערן וועג פון באקומען/דזשענערעיטן בּערנאָלי נומערן איז דורך דעם געדאנק פון א בּיינוֺימיִעל קאָעפישׁענט. דא הא׳מיר אביסל מסביר געווען דעם געדאנק פון א פּאַליִנוֺימיִעל עקוועישאן. א בּיינוֺימיִעל עקוועישאן איז פשוט א פּאַליִנוֺימיִעל וואס איז נאר צאמגעשטעלט פון צוויי טערמינען [צוויי מאַנוֺימיִעלס]; יעדעס איינס מיט א געהעריגע נומער [די קאָעפישענט ביי וועלכעס עס איז מאָלטיפּלייד; וואס קען זיין 1, וממילא שרייבט מען נאר ארויס די וועריעבּל], א וועריעבּל [וואס קען זיין געהויבן צו אן עקספּאנענט פון 0, וממילא שרייבט מען עס נישט ארויס], און אן אנדערע (בדרך כלל נאר פאזיטיווע) עקספּאנענט פאר יעדעס איינס [וואס איינע פון זיי קען זיין 1, וממילא שרייבט מען עס נישט ארויס].

אויב האב איך א בּיינוֺימיִעל וואס די גאנצע בּיינוֺימיִעל צוזאם ווערט געהעכערט צו אן עקספּאנענט, והיינו אז איך בין כופל די גאנצע בּיינוֺימיִעל אויף זיך אליין אזויפיל מאל ווי די עקספּאנענט זאגט מיר, גייט דאס ווערן עקספּענדעד אין צו א פּאַליִנוֺימיִעל עקוועישאן [מיט אנדערע עקספּאָנענטס פאר יעדעס איינס]. עס קומט אויס אז פאר יעדעס סארט בּיינוֺימיִעל וואס איך עקספּענד אויף אזא וועג, אויב שטעל איך דאס אויס די רעזאָלטינג פּאַליִנוֺימיִעל וואס קומט ארויס פונעם וועריעבּל וואס האט דעם גרעסטן עקספּאנענט [די דעגריִ] ביז דעם קלענסטן, גייט עס אלס האבן די זעלבע קאָעפישענטס ביי יענעם מקום, ווענדענדיג זיך אינעם עקספּאנענט צו וועלכעס איך האב געהויבן דעם גאנצן אריגינעלן בּיינוֺימיִעל. דאס ווערט ארויסגעשריבן אזוי: 📎 IMG_8503.jpg

דאס מיינט אז די העכערע נומער [n] איז די עקספּאנענט צו וועלכעס איך האב געהויבן דעם גאנצן אריגינעלן בּיינוֺימיִעל, און די אונטערשטע [k] איז די פלאץ אינעם פּאַליִנוֺימיִעל עקספּענשׁאָן דערפון. עס וועט אלס זיין די פעקטאָריעל פונעם עקספּאָנענט דיוויידעד ביי די פעקטאָריעל פונעם פלאץ-נומער נאך דעם וואס איך האב דאס מאָלטיפּלייד ביי די פעקטאָריעל פונעם חילוק צווישן די צוויי נומערן (דאס איז די קאַמבּינעישאן פון דעם). מ׳קען גראד זעהן די בּיינוֺימיִעל קאָעפישענטס פון פּאַסקאַל׳ס טרייענגעל. יעדעס רוֺי דערין איז כנגד די נומער פון די עקספּאנענט צו וואס כ׳האב געהעכערט דעם אריגינעלן בּיינוֺימיִעל [די העכסטע שורה איז אן עקספּאנענט פון 0] און דערנאך, פון רעכטס צו לינקס, זענען די נומערן, אין א רייע, די קאָעפישענטס פון דעם פּאַליִנוֺימיִעל עקספּענשׁאָן. פון דעם קומט אויס פּאַסקאַל׳ס רוּל. דאס זאגט אז די בּיינוֺימיִעל קאָעפישענט פון א נומער וועט זיין די סומע פון די נומער וואס איז אויף דעם זעלבן פלאץ ווען די אריגינעלע בּיינוֺימיִעל האט אן עקספּאנענט וואס איז 1 ווייניגער, צוזאמען מיט די נומער וואס איז 1 פלאץ פאר איר ווען די אריגינעלע בּיינוֺימיִעל האט אן עקספּאנענט וואס איז 1 ווייניגער.

מ׳קען באקומען דאדורך די בּערנוֺיליִ נומערן וואס מען זוכט, והיינו א געוויסע בּערנוֺיליִ נומער פלאץ, דורך אזא מהלך:

מ׳הייבט אָן פון 0 ביז די מספר בּערנוֺיליִ נומער וואס מ׳זוכט, און פון 0 דיווייד מען 1 ביי איינס מער ווי די נומער וואו מ׳האלט.

ווען איך האלט ביי א געוויסע נומער דערין אין דעם פראצעס (וואו איך האב אנגעהויבן פון 0) הייב איך אָן אין דעם גופא פון 0 ביז דעם נומער וואו איך האלט, און ביי יעדעס נומער וואו איך האלט יעצט וועל איך דאס לייגן אלס אַן עקספּאנענט צו 1-, און דאס מאָלטיפּלייען ביי די בּיינוֺימיִעל קאָעפישענט פלאץ וואו איך האלט יעצט צו דעם עקספּאנענט פונעם בּיינוֺימיִעל פונעם נומער וואס איך האב געהאלטן מעיקרא. דאס אלעס גיי איך דערנאך מאָלטיפּלייען ביי די נומער וואו איך האלט יעצט געהעכערט צום עקספּאנענט פונעם בּערנוֺיליִ נומער פלאץ וואס איך זוך. אזוי גיי איך טוהן צו יעדעס נומער ביז איך קום אָן צום נומער וואס איך האב געהאלטן ביי מעיקרא, און דערנאך דאס אלעס צאמעדדן.

דערנאך, אזוי ווי פריער וואו איך האב אנגעהויבן פון 0 ביז׳ן בּערנוֺיליִ נומער פלאץ וואס איך זוך און דיוויידעד 1 ביי איינס מער ווי די נומער וואו מ׳האלט כנ״ל, גיי איך נעמען די סומע וואס איך האב פריער באקומען פון צאמעדדן די גאנצע פריערדיגע פראצעדור, און דאס מאָלטיפּלייען, די זעלבע נומער נאכאמאל און נאכאמאל, ביי די אנגעהויבעכץ פון 0 ביז׳ן בּערנוֺיליִ נומער פלאץ וואס איך זוך און דיוויידעד 1 ביי איינס מער ווי די נומער וואו מ׳האלט און אזוי ארויפגייענדיג, און די אלע ענטפערס וואס איך באקום צאמעדדן צוזאמען. דאס וועט מיר געבן די געזוכטע בּערנוֺיליִ נומער.

דאס איז די פארמולע דערפאר (עס ווערט גערופן א דאפלטע סאָמעישׁאָן): 📎 IMG_8505.jpg

אן אינטרעסאנטע זאך מיט די בּערנוֺיליִ נומערן איז אז חוץ דעם ערשטן [פלאץ] וואס איז 1/2 [קען זיין פאזיטיוו אדער נעגאטיוו], איז יעדעס בּערנוֺיליִ נומער וואס איז אין אַן אַדד פלאץ אינעם סיִקווענס 0. די וואס זענען אין אַן איִווען פלאץ [חוץ די מקום פון 0 וואס דעמאלטס איז די נומער 1] זענען אלע [רעשׁאָנעל] פרעקשאנס. אנגעהויבן פון פלאץ 2 וועלכעס איז פאזיטיוו 1/6, איז די נעקסטע פרעקשאן נעגאטיוו, די נעקסטע פרעקשאן פאזיטיוו, די נעקסטע פרעקשאן נעגאטיוו, אא״וו.

יעצט, אז איך וויל וויסן די סומע פון עני אזא סארט סיריִס כנ״ל, לייג איך אריין די נומער אין פאַוּלהאַבּער׳ס פארמולע. והיינו, אויב וויל איך וויסן די צאל פון א סיריִס אנגעהויבן פון א נומער ביז אן אנדערן געוויסן נומער וואו אלע נומערן אינצווישן ווערן עדדעד צוזאמען, און זיי אלע האבן דעם זעלבן עקספּאנענט, דעמאלטס ארבעט עס כזה:

איך נעם די נומער ביי וואס עס ענדיגט זיך און איך העכער דאס צום עקספּאנענט וואס איך בין דן אין, און איך דיווייד דאס ביי 1 מער ווי אט דעם עקספּאנענט. דערנאך לייג איך צו צו דעם האלב פון דעם נומער ביי וועלכעס עס ענדיגט זיך נאכ׳ן ווערן געהעכערט צו דעם עקספּאנענט. פון דעם אלעם באקום איך א נומער.

דערנאך, אנגעהויבן פון 2 און געענדיגט ביים נומער פונעם עקספּאנענט פונעם דיון, און ביי יעדעס נומער נעם איך די בּערנאָלי נומער פון יענעם פלאץ-נומער און איך דיווייד דאס ביי די פעקטאָריעל פון יענעם [פלאץ-]נומער. דערנאך נעם איך די פעקטאריעל פון די עקספּאנענט און איך דיווייד דאס ביי דע פעקטאריעל פון 1 מער ווי די חילוק צווישן די עקספּאנענט און די נומער וואו איך האלט יעצט. דערנאך מאָלטיפּליי איך דאס ביי די נומער וואו איך גיי אריגינעל ענדיגן געהעכערט צו אן עקספּאנענט וואס איז איינס מער ווי די חילוק צווישן דעם עקספּאנענט פונעם עיקר דיון און די נומער וואו איך האלט יעצט. אזוי טוה איך ביי יעדן נומער, אנגעהויבן פון 2, ביז איך קום אָן צום נומער וואס איז די עקספּאנענט פונעם דיון, און איך עדד דאס אלעס צאם. דערנאך שטעל איך צאם די נומער וואס איך באקום מיט׳ן נומער וואס איך האב באקומען פונעם פריערדיגן פּארגראף, און דאס גיבט מיר דעם ענטפער וואס איך האב געזוכט.

די פארמולע זעהט אויס אזוי: 📎 IMG_8504.jpg

די בּערנאָלי נומערן קומען אויף אין אסאך מקומות במאטעמאטיקס.

‏דא האב איך געשריבן:

מי אני

דר. פרעד סאממערס פארציילט אז אלס תלמיד פון הגאון הרב דר. סאלאווייטשיק האט ער אים געזאגט, ״איך האב ספיקות איבער דאס מציאות פון ג-ט״. האט ער ארומגעלייגט זיין האנט ארום אים און געזאגט, ״פרעד, אינטעלעקטועלי איז עס 50/50. מ׳דארף גלייבן״.

כ׳האב געקלערט אז מ׳קען צו דעם צושטעלן די געדאנק פון גראנדיִ׳ס סיריִס. דאס איז א סיריִס וואו איך רעכען צאם 1+1-1+1-1+1... אא״וו וואו מ׳נעמט אראפ איינס און דערנאך לייגט מען גראד צו איינס, אראפ, ארויף, בב״ת. (דאס איז אביסל ענליך צום געדאנק פון טאמסאן׳ס לאמפ וואס @יידל האט דערמאנט דא.) עס איז בעצם א דייווערדזשענט סיריִס (נישט צו אינפיניטי) וויבאלד עס האט נישט קיין דעפיינד סומע צו וועלכעס עס קאנווערדזשענד, אבער (במושכל ראשון), ווענדענדיג זיך אין וועלכע מאטעמאטישע סטראטעגיע מ׳נוצט דערצו, קען מען בעצם אויף דעם באקומען א קאנווערדזשענס פון 1 אדער א קאנווערדזשענס פון 0. אבער נוצענדיג א מעטאדע וואס רופט זיך א סעזאראָ סאָמעישׁאָן באקומט מען א (כעין) קאנווערדזשענס/סומע פון 1/2 (אזא סארט השוואה צווישן 1 און 0). והרבה קולמוסין וכו׳.

ולענינינו, מ׳קען (אולי) באטראכטן די געדאנק פון הוכחות אויף מציאות ה׳ (והמסתעף) אלס אזא סארט סיריִס: אויף יעדע הוכחה איז דא א פירכא, וואס אויף דעם איז דא א תשובה, וואס אויף דעם איז שוין ווייטער דא א פירכא, וואס אויף דעם איז שוין ווייטער דא א תשובה, וכן הלאה עד אינפיניטום. אויב באטראכט מען יעדע הוכחה, פירכא ותשובה ווי האבענדיג די זעלבע אבסאלוט וועליוּ, והיינו 1, איז דאך דאס דומה צו גראנדיִ׳ס סיריִס, וואס איר סעזאראָ סומע איז 1/2 והיינו 50/50.

‏דאס גיבט אפשר א טיפערע קנייטש צו דאס וואס אונז הא׳מיר אראפגעברענגט דא פון ניקולאס מאלעבראנך.

נאך מער קען מען אפשר צולייגן צו די געדאנק מיט דעם וואס די מאטעמאטיקערטע דר. ענע סיערפּינסקא האט געזעהן ביי אירע סטודענטן ביי די גראנדיִ׳ס סיריִס. זי האט געקלערט אז זיי וועלן זיין איבעראשט אז מ׳קען אויף דעם זאגן א סומע פון 1/2 אבער למעשה האבן זיי דאס אנגענומען אָן קיינע איבעריגע שוועריקייטן. ואולי איז אין אונזער קאנטעקסט דאס אפשר אביסל דומה צו דעם וואס מ׳האט אויסגעשמועסט אז אמונה איז אריינגעבויט אינעם מענטש (וממילא אנשטאט אן אָנדעפיינד האט ער כאטש 50/50, וואס פון דארט קען אמונה שוין מכריע זיין צו א צד).

מי אני

‏מ׳קען (אולי) באטראכטן די געדאנק פון הוכחות אויף מציאות ה׳ (והמסתעף) אלס אזא סארט סיריִס: אויף יעדע הוכחה איז דא א פירכא, וואס אויף דעם איז דא א תשובה, וואס אויף דעם איז שוין ווייטער דא א פירכא, וואס אויף דעם איז שוין ווייטער דא א תשובה, וכן הלאה עד אינפיניטום. אויב באטראכט מען יעדע הוכחה, פירכא ותשובה ווי האבענדיג די זעלבע אבסאלוט וועליוּ, והיינו 1, איז דאך דאס דומה צו גראנדיִ׳ס סיריִס, וואס איר סעזאראָ סומע איז 1/2 והיינו 50/50.

דאס הייסט אז מ׳בלייבט מיט א 50 פראצענט אויף נישט ה׳. און אויב מ׳וועט אויך באטראכטן די געדאנק אויף הוכחות צו אי מציאת ה׳ די זעלבע וועט מען בלייבן מיט נאך א 50 פראצענט אויף יא ה׳ און פופציג פראצענט אי השם, יעצט לייג צו די 50 פראצענט אויף נישט ה׳ פון פריער בלייבסטו מיט 100% נישט ה׳... 😈

ווי אזוי איך פארשטיי ווילסטו זאגן אז איך טייל אפ: איין אזא סארט סיריִס פאר הוכחות למציאותו והפירכות ותשובות עליהן, וואס בלייבט 50/50 כנ״ל, און איין אזא סארט סיריִס פאר הוכחות להיפך ופירכותיהן ותשובות עליהן, וואס איך בלייב מיט די זעלבע 50/50. אויב אזוי מה ראית צוצולייגן די 50 אויף נישט פונעם צווייטן סיריִס צום 50 אויף נישט פונעם ערשטן סיריִס, ושביק די 50 אויף יא פונעם ערשטן סיריִס און 50 אויף יא פונעם צווייטן? נאכ׳ן ארייננעמען אין חשבון ביידע, בלייב איך איבער נאך דעם מעטא-אנאליסיס ווייטער מיט 50/50 (אין די קאנטעקסט וועט עס גראדע זיין 0 [100 קעגן 100-], וואס וועט ביי אונזער צווייטע-אָרדער אנאליסיס מיינען אט דאס: נישט פאר און נישט דערקעגן).

קודם כל האב איך עס נאר געמיינט סארקאסטיש.

צווייטנס, דארף מען מאכן די זעלבע סארט סיריס פאר יעדע פון די 8,000 געטער פון אלע רעליגיעס און קולטורן איבער די וועלט, בלייבט איבער פאר יעדע גאט די זעלבע איינס פון 8,000 ווי פריער, ומה הועילו חכמים בסיריסם?

איה״נ. א וועריעישאן פון די באקאנטע ארגומענט פון אינקאנסיסטענט רעוועלעישאנס ‏(און ווער ווייסט? אפשר איז די טענה גופא אויך נכלל אין (איינע פון) די נעגאטיווע טערמינען פונעם עצם סיריִס פאר א גיווען רעליגיע...). אבער איה״נ, זיי זיענען אלע טאקע אייניג אין דעם אז פון אן אינטעלעקטשואלען מבט זענען זיי 50/50 (ואפילו לאחר המעטא-אנאליסיס כנ״ל; און נעמענדיג אָן אז זיי אלע האבן טאקע הוכחות ותשובות וכו׳ וכו׳ כנ״ל). פון דארט און ווייטער קען שוין אמונה גרידא מכריח זיין א מענטש צו איין צד (ובאנו לפידעאיזם). מ׳קען טאקע פרעגן וואס איז מכריח דער מענטש בוחר צו זיין אין גלייבן אין דעם 50/50 ווי איידער אין אן אנדערע 50/50? אבער אונז האבן יעצט געזאגט אז עס איז טאקע (בכלל) נישט מכח אינטעלעקטשועליזם והוכחה. ‏(@אנאנים האט ארומגערעדט איבער דעם אין זיינע אשכולות אויף דעם טעמע.)

***

און אז מ׳רעדט שוין, דא זעה׳מיר בריאת יש מאין אין מאטעמאטיקס... 😃

‫איך האב געקלערט בדרך צחות אז לגבי ווי אזוי איך האב צוגעשטעלט דעם געדאנק פון אמונה צו גראַנדי׳ס סיריִס אז מ׳קען אין דעם אריינטייטשן דעם אויבן-דערמאנטן טאמסאן׳ס לאמפ חקירה. דאס שטעלט צאם גראַנדי׳ס סיריִס מיט די סיריִס פון 1+1/2+1/4+1/8 אא״וו וועלכעס קאנווערדזשד צו 2, אזוי ווי מ׳האט דערמאנט אנהויב אשכול. והיינו, די חקירה פרעגט אז אויב איך האב א לאמפ וואס איך צינד דאס אן נאכ׳ן דורכגיין 1 מינוט [לגבי די גראַנדי סיריִס וועט דאס האבן א וועליוּ פון 1] און איך לעש עס דערנאך אויס נאכ׳ן דורכגיין 1/2 מינוט [לגבי די גראַנדי סיריִס וועט דאס האבן א וועליוּ פון (1-)], דערנאך צינד איך עס צוריק אָן נאכ׳ן דורכגיין 1/4 מינוט, דערנאך לעש איך עס אויס נאכ׳ן דורכגיין 1/8 מינוט, איך צינד עס נאכאמאל אָן נאכ׳ן דורכגיין 1/16 מינוט, וכן הלאה והלאה. ווי דערמאנט גייען די אלע אינטערוואלס, הגם זיי זענען אינפיניט, קאנווערדזשען צו 2 [מינוט]. שטעלט זיך די שאלה, ביי 2 מינוט איז די לאמפ אנגעצונדען אדער אויסגעלאשן? דאז ווענדט זיך אינעם גראַנדי סיריִס וויבאלד בתוך די 2 מינוט איז דאך דא אן אינפיניט צאל פון געהאלבטע אינטערוואלס, וואס ביי יעדע פון זיי טוישט זיך עס אלטערנאטיוולי פון (1-) [אויסגעלאשן] צו 1 [אנגעצינדען], און די סיריִס קאנווערדזשד דאך נישט געהעריג כנ״ל. און אן ענטפער פון 1/2 ביי דעם אין די קאנטעקסט האט אויך נישט קיין זין.‬

‫ולענינינו, איז דאס אולי א שטיקל רמז אז בעת בריאת העולם, וואס מעשה בראשית איז וואו מען קלערט אויף מציאות הא-ל, טרעפן מיר אז ס׳דא דעם ״אור״ הגנוז מחמת הרשעים...‬
‫והיינו, אז צווישן אן אינפיניט סוּפערטעסק פון א בּיינערי אור וחושך ביז מען קומט אָן צום מושג פון ״2״ קעגנזייטיגע הוכחות, איז דאס א זאך וואס איז שווער משיג ומכריע צו זיין וכו׳ ונגנז הוא מבני אדם. 😃‬

‫ענליך צו דעם איז דא די ראָס-ליטעלוואָד פּאראדאקס. דאס שטעלט זיך פאָר אז מ׳האט אן אינפיניטלי גרויסע ליידיגע טאפ און אן אינפיניט צאל פון מאַרבּלס. א מינוט פאר מיטאג לייג איך אריין דערין 10 מאַרבּלס און איך נעם ארויס דעם ערשטן. א האלבע מינוט פאר מיטאג לייג אריין נאך 10 מאַרבּלס און איך נעם ארויס דעם צווייטן. א פערטל מינוט פאר מיטאג לייג איך אריין נאך 10 מאַרבּלס און איך נעם ארויס דעם דריטן. אן אכטל מינוט פאר מיטאג לייג איך אריין נאך 10 מאַרבּלס און איך נעם ארויס דעם פערטן. א זעכצנסטל מינוט פאר מיטאג לייג איך אריין נאך 10 מאַרבּלס און איך נעם ארויס דעם פיפטען. וכן הלאה והלאה. ווען ס׳קומט אָן מיטאג וויפיל מאַרבּלס זענען אין דעם טאפ?‬

‫במושכל ראשון קומט אויס אז עס איז דא אן אינפיניט צאל, אבער די פאראדאקס איז אז עס דארף צו זיין ליידיג! דאס איז ווייל ביים ערשטן מאל האב איך ארויסגענומען דעם ערשטן, ביים צווייטן די צווייטע, ביים דריטע די דריטע, וכן הלאה והלאה פאר עני נומער דו וועסט אנכאפן עד הסוף. אבער מאידך גיסא טאמער באטראכט איך אז ביים ערשטן מאל נעם איך ארויס דעם לעצטן/צענטן, ביים צווייטן מאל דעם צוואנציגסטן, וכן הלאה קומט טאקע יא אויס אז עס איז דא דערין אן אינפיניט צאל פון מאַרבּלס.‬

‫דאס אלעס ווייזט אויף די קאנסעפּשועל שוועריקייט פון סוּפּערטעסקס: די געדאנק פון מאכן אן אינפיניט צאל פון טעסקס אין א פיניט צייט אפשניט.‬

אז מ׳האט גערעדט פון גרעפס בנוגע קאַמפּלעקס נומערן, וואו די ״עכטע״ חלק באדייט די האריזאנטעל חלק און די אימעדזשינערי חלק באדייט די הייך, איז דא דערין די קאָטערניאן נומערן. דאס איז ווייל מאטעמאטיקעלי טאמער וויל איך דרייען [ראָטעיטן] די פונקט אויף דעם גרעף מיט א געוויסע דעגרי, דאן מאָלטיפּליי איך דאס ביי אן אנדערע קאַמפּלעקס נומער (ווענדענדיג זיך אין די דעגרי וואס איך וויל דאס דרייען עפי״ז). דאס איז ווייל, עפ״י די פּיטאגאריען טעארעם, קומט אויס אז ווען מען מאָלטיפּלייט צוויי אזעלכע טערמינען צוזאמען, וואס יעדעס איינס האט דאך א ספעציפישען מקום, דאן טוהט מען צאמעדדן זייערע ענגעלס ביחס וואו זיי זענען איינע צום צווייטן. דאס אבער צו דרייען [ראָטעיטן] אין דריי דיימענשאנס פעהלט שוין אויס צו עקסטענדן און צו צולייגן נאך צוויי טערמינען צום קאַמפּלעקס נומער כזה:
a+bi+cj+dk
וואו סיי i, סיי j, און סיי k זענען אימעדזשינערי חלקים; די בּעיסיק קאָטערניאנס.

עס קומט אויס אז אזוי ווי ביי מעיטריסיִס, וואס דארט גילט נישט די באקאנטע קאמיוּטעטיוו אקסיאם אין מאטעמאטיקס ביי מאָלטיפּליקעישאן וואס זאגט אז עס איז נישט קיין חילוק וועלכעס טערמין עס איז ערשט אדער צווייט, נאר עס מאכט יא א נפק״מ (וואס די אלגעמיינע אקסיאם איז אויך דא ביי עדישאן), וועט ביי קאָטערניאנס אויך יא מאכן א חילוק אין די סדר פון ווי אזוי מ׳מאָלטיפּלייט זיי צוזאמען.

מ׳קען ווייטער עקסטענדן די קאַמפּלעקס נומערן צו אַקטאָניאנס מיט אכט טערמינען. דאן אבער פארלירט דאס ביי מאָלטיפּליקעישאן די עסאָסעעטיוו אקסיאם. דאס איז אז אין אלגעמיין איז נישט קיין חילוק צווישן (א*ב)*ג אדער א*(ב*ג) וואס דאס האלט אָן אפילו ביי קאָטערניאנס ווייל מען טוישט למעשה נישט די סדר פון א טערמין יחידי; ביי דעם אבער גייט דאס נישט אינגאנצן אָן.

אז מ׳האט דערמאנט גראַנדי׳ס סיריִס בנוגע רעליגיע האב איך געקלערט ענליך אז דא [פון 1:50] איז מען מסביר, עפ״י דר. אנטאני פלוּ, אז ס׳איז יתכן לומר אז דער אטעאיסט און דער טעאיסט זאגן בעצם די זעלבע זאך אויף למעשה (עכ״פ לגבי די אביעקטיווע וועלט ממש). דאס איז נאך מער עפ״י א שטארקע מהלך פון טעאיסטישע נעגאטיווע טעאלאגיע. און ווי אונז האבן דא אראפגעברענגט:

מי אני

דאס דערמאנט פון דעם פראנצויזישן טעאלאג מישעל דע סערטעא'ס מימרא:

The weight of [God's] transcendence makes any proposition relative, even to the point that the statement "God exists" has to be followed by a denial

והיינו, אז עס קומט אויס אז לגבי דאס פּראפּאזישאן אן פון דאס ״עקזיסטענץ״ פון ג-ט איז עס כעין 1 - 1 [איינס מיינוס איינס; פּאזיטיוו 1 און דערנאך צוגעלייגט צו דעם נעגאטיוו 1], און דער אטעאיסט זאגט דאך מעיקרא אויף דעם א גאנצע 0. איז די שאלה דא צי ביי די פאל איז 1-1 ≠ 0 אדער יא 1-1 = 0 ווי ביי געהעריגע מאטעמאטיקס? מיינענדיג, איז עס טאקע די זעלבע ווי דער אטעאיסט (עכ״פ בעלמא הדין) צי נישט?

‏(דאס קען שוין אויך אָנרירן אויף די געדאנק.)

דאס געבט אפשר א נייעם באדייט/קנייטש צו יוּקליד׳ס מימרא:

ווי אויך צו דר. מעקס טעגמארק׳ס היפאטעזיע… 😃

און אין דעם געביט פון גראַנדי׳ס סיריִס, וואס איז א סארט סיין סיִקווענס וואו די סיינס [נעגאטיוו/פאזיטיוו] פון 1 טוישן זיך כסדר, איז דא די ערדאס דיסקרעפּענסי פראבלעם. דאס קען מען מסביר זיין מיט אזא סארט משל:

עס איז דא א שמאלע וועג ווי צוויי טריט צו רעכטס און צוויי טריט צו לינקס פאלט מען אראפ פונעם וועג. מען וויל אויסשטעלן א סדר פון טריט [אָן בלייבן גראד, 0, א גאנצע צייט] פון טריט צו לינקס און טריט צו רעכטס און מען זאל א גאנצע צייט בלייבן אויפ׳ן וועג אָן אראפּפאלן דערפון; מיינענדיג א סיריִס פון ±1 וואו עס טוישט זיך א גאנצע צייט זיך צו באלאנסירן [אויב נעמט מען א טריט צו רעכטס גייט מען דערנאך נעמען א טריט צו לינקס וההיפך בהיפך]. מען וויל עס אבער אויסשטעלן אויף אזא סארט וועג אז אפילו מען זאל אנהויבן פון עני טערמין אינעם סדר וואס מ׳האט אויסגעשטעלט, אדער א סארט פּעטערן וואס מ׳נעמט יעצט אינעם סדר וואס מ׳האט אויסגעשטעלט, זאל מען דאך בהכרח פארבלייבן אויפ׳ן וועג. דאס האט מען אויפגעוואוזן איז אומעגליך טאמער האט מען מער ווי 11 ״טריט״ אינעם סיִקווענס.

דר. פּאָל ערדאס האט קאנדזשעקטשורד אז אפילו עס איז מער ווי 1 טריט אוועק פון ביידע זייטן, איז אומעגליך אויסצושטעלן אזא סארט סיִקווענס על זה הדרך הנ״ל וואו מען זאל זיין פארזיכערט נישט אראפצופאלן פונעם וועג לעולם; פאר אן אינפיניט צאל פון ״טריט״. צב״ש, וואו ס׳איז נאר דריי טריט אוועק, א סיִקווענס/סיריִס פון ±2, קען מען אויסשטעלן א סדר על זה הדרך הנ״ל צו זיין פארזיכערט נאר ביז 1,160 ״טריט״/עלעמענטס אינעם סיריִס.

דר. טערענס טאַוּ האט דאס אויפגעוואוזן פאר אלע צאלן ״טריט״. (זיין פּרוּף האט א שייכות מיט די געדאנק פון ענטראָפּי אין מאטעמאטישע מושגים וואס קען נישט גיין אונטער 0.)

דאס איז די פארמאלע אויסשטעל דערפון:
📎 A69CDEB2-312A-44F1-A213-59AB3C8DDD38.jpeg
והיינו, אז אויב ווען איך הייב אָן פונעם עלעמענט אדער גיי אין דעם עפ״י א פעקטאר פון עפעס א געוויסע נומער, גייט זיין א נומער ביז וואו איך רעכען דעם סיריִס צאם וואס גייט זיין [אין איר פאזיטיווע/אבסאלוט וועליוּ] מער ווי די נומער וואס איך וועהל דערפאר שהיא C [די ״טריט״].

אין דעם איז דא די לוּוויל לעמבּדא פאָנקשען כזה:
📎 F6089646-BB54-4A01-BE92-8FCD154751FA.jpeg
וואו Ω [די פּריים אָמעגא פאָנקשען] באדייט די צאל פּריים פאקטארן פונעם נומער. עס קומט אויס אז אויב איז די צאל פּריים פאקטארן פונעם נומער אַן איִווען צאל דאן איז די לוּוויל לעמבּדא פאָנקשען פאזיטיוו 1, ווייל עס האט דאך אן איִווען עקספּאָנענט וואס פארוואנדעלט די 1- אין צו א פאזיטיוו, און אויב איז די צאל פּריים פאקטארן פונעם נומער אַדד דאן איז די לוּוויל לעמבּדא פאָנקשען נעגאטיוו 1, ווייל עס האט דאך אן אַדד עקספּאָנענט וואס געבט ארויס מיט א נעגאטיוו בּעיס אויך א נעגאטיווע נומער.

דאס איז מקושר צום ריעמאן זעטאַ פאָנקשען כזה:
📎 E1CFD382-D5DE-41E4-9616-197E4DB1C5A8.jpeg
והיינו, אז פאר יעדע נומער איך וועהל פאר׳ן עקספּאָנענט, דהיינו s אין דעם סיריִס/פאָנקשען כנ״ל, גיי איך דאס דאָפּלען און נעמען דעם צאל וואס עס קומט אויס און דיוויידן ביי די אריגינעלע פאָנקשען׳ס צאל וואס די s וואס איך האב געוועלט געבט ארויס, דאן גייט דאס אויסקומען דאס זעלבע ווי ווען איך הייב אָן מיט די לוּוויל לעמבּדא פאָנקשען פון 1 און איך דיווייד דאס ביי יענע נומער 1 צו די עקספּאָנענט פון דעם s און איך עדד די סומע/קאנווערדזשענס וואס עס קומט אויס פון זיי אלע צוזאמען נוצענדיג נאכדעם 2,3,4 ביז אינפיניטי [איר דיריכלעט סיריִס].

די (אפגעווענדטע) פּאָליאַ קאנדזשעקטשור אראפגעברענגט דא איז אויך געווען בעצם אין טערמינען פון דעם לוּוויל לעמבּדא פאָנקשען כזה:
📎 2545A4D2-E8F2-471F-98D7-06CF58B55AF7.jpeg
והיינו, אז אויב הייב איך אָן פון די לוּוויל לעמבּדא פאָנקשען ביי 1 און איך נעם די קאנווערדזשענס/סומע פון דאס וואס די פאָנקשען געבט ארויס ביז עני נומער [וואס איך שטעל אריין אינעם פאָנקשען] וואס איז מער ווי 1 גייט דאס זיין אדער 0 אדער נעגאטיוו. מיינענדיג, אז רוב נומערן אונטער דעם נומער האבן טאקע אן אַדד צאל פון פּריים פאקטארן וואס באדייט א מערהייט פון נעגאטיווע סומעס פונעם ‏לוּוויל לעמבּדא פאָנקשען.

‏

מי אני

גיבן א גבול [בּאַוּנד], סיי אויף צום ווייניגסטענס און סיי אויף צום מערסטענס (וואס ווערט גערופן די ״גרויסע O פון די פאָנקשען״)

מענינא דיומא האלט דר. דאַנעלד קנוּט אז דאס איז נישט בעצם אן ״O״ נאר די גריכישע בוכשטאב אַמיקראַן. ווען עס געבט א לוֺיער בּאַוּנד, אז די פאָנקשען וועט נישט וואקסן ״ווייניגער ווי״, לעומת די ״מער ווי״ ווי ביי בּיג O, דאן נוצט מען די [קעפּיטעל] אָמעגאַ, Ω, בוכשטאב. ווען מען געבט א בּאַוּנד צווישן צוויי פאָנקשענס דאן נוצט מען די טעטאַ, θ, בוכשטאב.

אז מ׳האט דערמאנט גראַנדי׳ס סיריִס בנוגע רעליגיע און בריאת יש מאין איז דאס וואס דר. דזשאָרדען עלענבּערג שרייבט: 📎 32DC174D-0700-4E2F-9583-F5C6E49860B7.jpeg
אויף די סארט דייווערדזשענט סיריִס האט אבער דער מאטעמאטיקער ניִלס הענריק עבּעל געזאגט, ״אז דאס איז די אויפקום פונעם טייוול״.

אין די לעקציע [1:24:42-1:25:07] זאגט דער מאטעמאטיקער דר. קיִט דעוולין אז מ׳האט אויסגערעכענט אז די מילעניִאוּם פראבלעמען, פון וועלכעס דאס ריעמאן היפאטעזיע איז איינע פון זיי, זענען אזוי שווער אז אויב איינער אנטשיידט איינע פון זיי, און מ׳צוטיילט די $1,000,000 וואס ער באקומט דערפאר אין צו די אלע צייט וואס ער האט אוועקגעגעבן דערפאר, איז דאס ממש פרוטות.

עס ווערט גערעכענט ביי מאנכע ווי ״דאס שווערסטע וועג פון מאכן $1,000,000.״

און ווי דער מאטעמאטיקער דר. אלין עמית ענטפערט פאר איינער וואס פרעגט ״וואס איז טאמער איינער האלט אינמיטן ארבעטן דערויף און א צווייטער ענדיגט דאס צו פאר אים?״:

If you care, even a tiny bit, about “how is the million bucks split”, you are deeply confused about what it means to explore and solve the Riemann Hypothesis

To fully understand the current state of affairs around the Riemann Hypothesis you need to be a seasoned researcher in Analytic Number Theory

If you were a seasoned researcher in Analytic Number Theory you would know better than to care about such matters. You would understand the historical significance of solving RH and what it means to you and your life’s work and the history of mathematics and, dare I say, mankind

You would know what it takes to solve a major open problem in mathematics, and you would understand that there’s no such thing as “99%”

And even if there had been, strangely, somehow, in your case, you would primarily care about the achievement itself and the recognition and impact you’d earn by making such tremendous progress on such a profound problem

And even if you did care about the prize, you’d know that it is quite simply awarded to the person who delivered the complete proof, regardless of how many shoulders of how many giants they needed to stand on, and even if the committee or whomever felt they want to split the prize with another researcher, well, whatever. This is like a million light years away from the things you need to worry about now. It doesn’t matter. And anyway, there’s no rule or formula for how to “split the prize”

It’s nice to have prizes. It’s good and fitting for mathematicians to have some publicly recognizable reward for their remarkable yet impenetrable achievements. Kudos to the Clay Institute, and the Norwegian Government, and Yuri Milner et al, for helping translate those achievements to something of a celebrity status. That’s wonderful

But if you begin your journey of exploring RH by worrying about how much you’ll be awarded if you make some sort of incomplete progress, you’re doing it utterly, frightfully, insanely wrong

‏(ועיין כאן.)

מי אני

אז מ׳האט דערמאנט גראַנדי׳ס סיריִס בנוגע רעליגיע האב איך געקלערט ענליך אז דא [פון 1:50] איז מען מסביר, עפ״י דר. אנטאני פלוּ, אז ס׳איז יתכן לומר אז דער אטעאיסט און דער טעאיסט זאגן בעצם די זעלבע זאך אויף למעשה (עכ״פ לגבי די אביעקטיווע וועלט ממש). דאס איז נאך מער עפ״י א שטארקע מהלך פון טעאיסטישע נעגאטיווע טעאלאגיע. און ווי אונז האבן דא אראפגעברענגט:

מי אני

דאס דערמאנט פון דעם פראנצויזישן טעאלאג מישעל דע סערטעא'ס מימרא:

The weight of [God's] transcendence makes any proposition relative, even to the point that the statement "God exists" has to be followed by a denial

והיינו, אז עס קומט אויס אז לגבי דאס פּראפּאזישאן אן פון דאס ״עקזיסטענץ״ פון ג-ט איז עס כעין 1 - 1 [איינס מיינוס איינס; פּאזיטיוו 1 און דערנאך צוגעלייגט צו דעם נעגאטיוו 1], און דער אטעאיסט זאגט דאך מעיקרא אויף דעם א גאנצע 0. איז די שאלה דא צי ביי די פאל איז 1-1 ≠ 0 אדער יא 1-1 = 0 ווי ביי געהעריגע מאטעמאטיקס? מיינענדיג, איז עס טאקע די זעלבע ווי דער אטעאיסט (עכ״פ בעלמא הדין) צי נישט?

‏(דאס קען שוין אויך אָנרירן אויף די געדאנק.)

דאס געבט אפשר א נייעם באדייט/קנייטש צו יוּקליד׳ס מימרא:

The laws of nature are but the mathematical thoughts of G-d

📎 2C11ECB4-75C0-4B07-B047-B390553B5589.jpeg
פונעם וויקיפידיע ענטרי אויף Maimonides. איז לגבי דעם רמב״ם טרעפט מען אז די געדאנק איז טאקע אז אין די פאל, וואו ע = עקזיסטענץ, איז:

‏~(~ע) ≠ ע

אנדערש ווי געווענליך וואו א מיעוט אחר מיעוט, א דאפלטע נעגאטיוו, איז מרבה.

אונזער געדאנק דא איז אביסל אנדערש. והיינו, אז די עסאָסיעטיוו/מאָלטיפּליקיטעטיוו דיסטריבּיוּטיוו פּראַפּערטי ביי לאגיק גייט נישט אָן ביי דעם. מיינענדיג, דער טעאיסט זאגט ~(ע), ער פאזיטירט די עקזיסטענץ פון ג-ט אבער נעגעיט די עצם סטעיטמענט/פּראפּאזישאן כנ״ל לפי דע סערטעא, ווידעראום דער אטעאיסט זאגט גראד ~ע. איז דא די געדאנק:

‏~(ע) ≠ ~ע

עס איז מן הראוי לציין אז אין אלגעמיין גייט נישט אָן אין לאגיק ביי נעגעישאן א דיסטריבּיוּטיוו פּראפּערטי - נאר ביי ״און״ [& צי ⋀] און ״אדער״ [v]. למשל, די פראזע:
א׳ & (ב׳ v ג׳)
איז דאס זעלבע ווי:
(א׳ & ב׳) v (א׳ & ג׳)

ווי אויך:
א׳ v (ב׳ & ג׳)
איז דאס זעלבע ווי:
(א׳ v ב׳) & (א׳ v ג׳)

אין אונזער פאל וויבאלד עס איז נאר איין טערמין איז דאס יא בעצם דיסטריבּיוּטיוו, ופשוט. עס איז ממש עקוויוועלענט.

וואו יא, איז ביי דע מאָרגענ׳ס געזעצן ווען עס איז דא אַן ״און״ אדער ״אדער״ פּראַפּאַזישאן און איך נעגעיט די גאנצע, דאן אז איך דיסטריבּיוּט אריין די נעגעישאן צו יעדעס איינס טויש איך די ״און״ צו אַן ״אדער״ און פארקערט. לדוגמא:
‏~(א & ב)
איז דאס זעלבע ווי:
‏~א v ~ ב
וכן להיפך אויב דאס וואלט מעיקרא געווען א v וואלט איך דאס געטוישט צו א &.

ולגבי די הילבערט-פּאָליאַ קאנדזשעקטשור און דאס קשר דערצו צו קוואנטום פיזיקס איז זעהט מען נאך אן אינטרעסאנטער קשר. דער מאטעמאטיקער דר. הוּ מאנטגאמערי איז אויפגעקומען מיט א קאנדזשעקטשור, אָננעמענדיג אז די ריעמאן היפאטעזיע איז אמת, וואס רופט זיך (זיין) מאנטגאמערי׳ס פּאָר/פּעיר קאָרעלעישאן קאנדזשעקטשור. דאס לויטעט אז, צב״ש, אין אסטראנאמיע איז דא א צוויי-פונקט קאָרעלעישאן פאָנקשען וואס איז א פאָנקשען וואס ווען איך פיטער אריין דערין א וועליוּ אין ווייטקייט געבט דאס מיר די פּראַבּעבּיליטי אז עס א גאלאקסי אפגערוקט פון אַן אנדערע מיט די ווייטקייט. ביי דעם קאנדזשעקטשורד מאנטגאמערי גייט די ווייטקייט פון צוויי זעראָס אויף די קריטיקעל ליניע זיין 1 פון וואס איך נעם אוועק די סקווער פון די סיין פון דעם ווייטקייט טיימס π וואס איך דיווייד ביי די סקווער (סתם) פון דעם ווייטקייט טיימס π.
📎 CA28324F-CA24-47E7-B008-6249FBCF77B4.jpeg
דער פיזיקער פרימאן דייסאן האט אים געוויזן אז דאס איז גאר ענליך צו די פּאָר/פּעיר קאָרעלעישאן ביי הערמיטיען מעיטריסיִס. דאס גייט שוין צוזאמען מיט די פּאָר/פּעיר קאָרעלעישאן פון ענערגיע לעוועלס אין די נוּקליאוס פון גרויסע אטאמען.

***

און אז מ׳האט דערמאנט דעם קשר פון רעאליטעט צו מאטעמאטיקס איז אינטרעסאנט צוצוברענגען וואס דער מאטעמאטיקער ניקאליי לאָבּאַטשעווסקי האט געזאגט:
There is no branch of mathematics, however abstract, which may not someday be applied to the phenomena of the real world

בנוגע דעם קאָלאַץ קאָנדזשעקטשור וועט דאס נישט זיין ביי נעגאטיווע נומערן; עס וועט ביי געוויסע נומערן גיין אין א לוּפּ און נישט צוקומען צו 1-. הגם טאמער ביי אַן אַדד נומער מאָלטיפּלייט מען דאס ביי 3 און מען סאָבּטרעקט 1, וואס מיינט מען ״לייגט צו״ נאך א נעגאטיווע נומער [ווי למשל פון 15- צו 16-] דאן גייט דאס זיין ענליך צום אלגעמיינעם קאָלאַץ קאָנדזשעקטשור וואו עס קומו אָן צו 1-.

אין דעם איז אויך אינטרעסאנט אז די קאָנדזשעקטשור פאלגט נאך דעם באקאנטן בּענפאָרד׳ס געזעץ. דאס לויטעט אז אין א געוואלד סארט סעטס פון נומערן (צב״ש ביי קאַנסטענטס פון פיזיקס און מאטעמאטיקס) וועט בערך 30% פון די ערשטע דידזשיט פון די נומערן דערין זיין אַן 1 און ווי מער מ׳גייט ארויף אין די נומערן ביז 9, אלס ווייניגער איז די פראצענט אז עס וועט זיין די ערשטע דידזשיט פון א נומער - ביז ווען מען קומט אָן צו 9 איז די פראצענט אז די ערשטע דידזשיט פון די נומער זאל זיין א 9 נאר בערך 5%. (דאס האלט עכ״פ אין אונזער בּעיס-10 נומערן סיסטעם.)

דאס איז א בּאַר גרעף וואס צייגט די פראצענטן עפ״י דעם געזעץ פון דאס אז די ערשטע דידזשיט פון א נומער אין א סעט זאל זיין יענע נומער:
📎 9B70F555-0484-4C24-90FD-869C1BD19536.png
מ׳נוצט דעם געזעץ צו כאפן שווינדלערייען וואו מ׳מאכט אויף נומערן און מ׳פרובירט אז עס זאל זיין רענדאם. עפ״י די געזעץ האט דאס א סדר וויפיל פון די נומערן בערך דארפן זיך אָנצוהויבן מיט וועלכע דידזשיט.

די נומערן וואס קומען אפיר פון טוהן די קאָלאַץ קאָנדזשעקטשור פראצעדור אויף נומער נאך נומער גייט אויך נאך די געזעץ; ווי מער מ׳טוהט דאס אלס מער קומט דאס ארויס.

אביסל ענליך צו דעם איז דא (ובעיקר אין לינגוויסטיקס) זיפּף׳ס געזעץ. דאס לויטעט אז אין א געוואלד סעטס (בפרט ביי ווערטער כנ״ל) וועט דאס וואס פאסירט דאס מערסטע אינעם סעט זיין (בערך) דאפעלט פון דאס וואס פאסירט דאס צווייטע צו די מערסטע און טריפעלט פון דאס וואס פאסירט דאס דריטע צו די מערסטע, וכן הלאה. עס איז טאקע אביסל מנוגד צו בּענפאָרד׳ס געזעץ.

ובנוגע דעם דערמאנטן ערדאָס דיסקרעפּענסי פראבלעם, איז דאס נכלל אונטער דעם געדאנק פון א ״רענדאם וואָק/שפאציר אין מאטעמאטיקס. דאס פרעגט אויב איך הייב אָן ביי א פונקט און מיט יעדעס טריט פאראויס וואס איך ריק זיך טרעט איך רענדאמלי 1 טריט אדער רעכטס אדער לינקס (קיינמאל נישט גראד), ווי ווייט וועל איך זיין ביי עוורידזש [אין טערמינען פון רעכטס/לינקס] פונעם אָנהויב פונקט?
📎 A273E2EF-D4DF-4B4E-B350-6D3D1031F1D4.jpeg
עס קומט אויס אז אויב יעדעס טריט איז מיט 1 טריט רעכטס אדער לינקס, דאן איז די עוורידזש ווייטקייט די סקווער רוּט פון וויפיל טריט איך האב גענומען. אויב איז מיט יעדע טריט גיי איך, למשל, 2 טריט רעכטס אדער לינקס, דאַן מאָלטיפּליי איך די סקווער רוּט ביי 2 (אויב 3 טריט רעכטס אדער לינקס דאן ביי 3 וכו׳).

מי אני

📎 2C11ECB4-75C0-4B07-B047-B390553B5589.jpeg פונעם וויקיפידיע ענטרי אויף Maimonides. איז לגבי דעם רמב״ם טרעפט מען אז די געדאנק איז טאקע אז אין די פאל, וואו ע = עקזיסטענץ, איז:

‏~(~ע) ≠ ע

אנדערש ווי געווענליך וואו א מיעוט אחר מיעוט, א דאפלטע נעגאטיוו, איז מרבה.

דר. אָלגאַ קאָשעלעווא און דר. וולאדיק קריינאוויטש זענען מסביר אט די געדאנק פונעם רמב״ם׳ס (און אויך, להבדיל, פונעם פערסישן איסלאמישן חכם ופילוסוף אַבּוּ יאַקוּבּ אַל-סידזשיסטאַני) ״דאָבּל נעגעישאן טעאלאגיע״, וואו מ׳קען זאגן א דאָבּל נעגעישאן לגבי ג-ט אבער דאס מיינט נישט די עצם זאך אליין כמו בכל הלכות לאגיק, עפ״י די חילוק צווישן קלאסישע לאגיק און קאַנסטראָקטיוו/אינטוּאישיניסט לאגיק. והיינו, איינע פון די דריי יסודות׳דיגע געזעצן אין לאגיק איז דאס געזעץ פון עקסקלוּדעד מיטן. דאס מיינט אז א זאך/זאץ קען נאר זיין איינס פון צוויי: אדער ״יא/אמת״ אדער ״ניין/פאלש״ - עס קען נישט זיין עפעס ״אינדערמיט״. (די אנדערע צוויי זענען דאס געזעץ פון נאַן קאַנטרעדיקשאן, אז עפעס קען נישט זיין דבר והיפוכו/אינגאנצן ״יא״ און אינגאנצן ״ניין״ ביינאזאם ממש, און דאס געזעץ פון אידענטיטעט, וואס זאגט אז א זאך איז דאס זעלבע ווי זיך אליינס [א׳ בלייבט די זעלבע א׳ דורכאויס דאס גאנצע פּראַפּאַזישאן וכו׳].)

אבער, עפ״י גאָדעל׳ס טעארעם איז אין יעדעס סיסטעם שייך אז מען קען טאקע וויסן אז עפעס עקזיסטירט במאטעמאטיקס אבער עס וועט פארט זיין אומעגליך צו ״קאַנסטראָקטן״ א וועג/אלגאריטם דאס צו טרעפן און אָנקומען דערצו בפועל וכו׳. מיינענדיג, אז וואו איך וויל וויסן אַן אלגאריטם צו טרעפן א׳ v ~א׳ וועט די אויבנדערמאנטע געזעץ פון עקסקלוּדעד מיטן נישט האלטן - איך קען דאך דאס נישט טרעפן און עס איז נישט איינע פון די צוויי אין די קאנטעקסט. ועפי״ז האט דר. אנדרעי קאלמאגאראוו מחדש געווען קאַנסטראָקטיוו/אינטוּאישיניסט לאגיק פאר די סארט אלגאריטמס וואו די געזעץ האלט טאקע נישט אָן. אבער ער האט אויפגעוואוזן אז ~~(א׳ v ~א׳), די דאָבּל נעגעישאן פון אט די געזעץ, האלט אבער יא אָן; עס איז נישט די זעלבע דא.

די חילוק פון די צוויי סארטן לאגיקס איז אבער נאר פון אונזער מבט וואו אונז קענען נאר מברר זיין א פיניט צאל פון פּראַפּאַזישאנס וכו׳ בתוך א פיניט צאל פון צייט. משא״כ בנוגע ג-ט וואס ער קען כביכול מברר זיין אַן אינפיניט צאל פּראַפּאַזישאנס וכו׳ בתוך א פיניט צאל פון צייט, דאן קאלעפּסט און ווערט קאַנסטראָקטיוו/אינטוּאישיניסט לאגיק אין צו אט דאס זעלבע ווי קלאסישע לאגיק וואו די געזעץ פון עקסקלוּדעד מיטן האלט יא אָן. וממילא פון אונזער מבט וואו אונז דארפן צוקומען צו קאַנסטראָקטיוו/אינטוּאישיניסט לאגיק איז האלט נאר אָן די דאָבּל נעגעישאן פון אט דעם געזעץ פון עקסקלוּדעד מיטן הגם די עצם געזעץ אליין נישט; עס איז נישט דאס זעלבע. משא״כ מכביכול מבטו של הקב״ה וואו עס איז יא איינס. 📎 E33C3D14-31F2-436C-B200-23A7957EE76F.jpeg און דאס איז וואס דער טעאלאג דר. דעניס טורנער שרייבט:

within our speech about God there are elements of grammatical affirmation and negation, often conjoint — as when we say affirmatively that God is “wise” and in the same breath also negatively that God is “infinitely” so — so also is there a second-order failure, a negation of speech as such. And this second level of negation supervenes upon the first so as to indicate the failure of the conjunction of grammatical affirmation and negation

ובכלל: 📎 487F88E2-8757-474E-8EC5-6EA6FEB8E715.jpeg ***
📎 75374352-06FD-4A5A-90E0-4003AAC4FA2A.jpeg ובענין זה האב איך דאס געהאט געזעהן בנוגע סטאטיסטיקס אינעם תלמוד. האט מיר איינער געזאגט אז אויב שטעלט מען דאך צאם צוויי איסורים/נעגאטיווס צוזאמען אין פּאָרען פון צוויי צוויי זענען זיי דאך יעדעס פּאָר, עפ״י כלל הנ״ל של דאָבּל נעגעישאן, א פאזיטיוו והיתר. זענען דאך דא מער היתירים ווי איסורים…

און עס איז באקאנט די מעשה מיט דר. סידני מארגענבעסער וואס איז געזעצן ביי א שיעור פון פראפעסאר דזשאן לענגשׁאָ אָסטין, וואו פראפעסאר אָסטין האט געזאגט אז הגם א דאָבּל נעגאטיוו איז א פאזיטיוו, איז אבער נישט דא קיין שום שפראך וואו (פארקערט) א דאָבּל פּאזיטיוו איז א נעגאטיוו. האט זיך דר. מארגענבעסער אָנגערופן (סארקאסטיש) ״יא יא״. (הגם דא איז די געדאנק מער אלס די סארקאסטישע טאָן, אינטאָנעישאן, און פּראסאדי.)

‏און אז מ׳האט דערמאנט דעם געזעץ פון נאַן-קאַנטרעדיקשאן, וואו ״יא״ און ״ניין״ קענען נישט זיין אמת ביינאזאם, האט מען אמאל געפרעגט פון דר. מארגענבעסער צי ער איז מסכים צו דעם וואס מאַאָ דזידאנג פון כינע האלט אז א זאץ קען זיין אינגאנצן אמת און אינגאנצן שקר ביינאזאם. האט ער גע׳ענטפערט ״איך בין [אינגאנצן מסכים] און איך בין נישט [אינגאנצן מסכים]״.

ולגבי די קשר בין מאטעמאטיקס לטעאלאגיע: 📎 7B17C7DC-F7DC-4842-94F0-E07AC3999288.jpeg ממשנתו של הרמ״ד אין זיין מארגענשטונדן.

ועיין כאן וכאן.

ובענין אמונה ונעגאטיווע טעאלאגיע און די קשר לזה צו [אינפיניט] סיריִס און גראַנדיִ׳ס סיריִס, קען מען מיט דעם אולי איוועליוּעיטן דאס וואס דר. דוד ביאלע ברענגט ארויס אז, צב״ש, שפינאזע האט גענומען דעם געדאנק פון דאס נעגאטיווע טעאלאגיע פונעם רמב״ם עד הסוף צום אָלטימעט נעגעישאן פון אטעאיזם. והיינו, ווייל ווי דער רמב״ם זאגט במו״נ ח״א פנ״ט איז ווי מער חכם מ׳איז אלס מער איז מען משיג שלילות לגביו ית׳ כביכול ע״ש באריכות. והיינו, אז ווי מער חכם אלס מער נעמט מען אראפ - מ׳לייגט צו נאך א נעגאטיוו.

דאס קען מען אולי באטראכטן גראַנדיִ׳ס סיריִס: מ׳האט א פאזיטיווע 1 [תואר] און מ׳נעגעיט דאס, מ׳האט נאך א פאזיטיווע 1 [תואר] און מ׳נעגעיט דאס, וכן הלאה והלאה עד אינפיניטי. אין אזא פאל איז דאך דא א מקום צו זאגן אז עס בלייבט ביי, און קאָנווערדזשד צו, 0 לגמרי כנ״ל.

אבער מ׳קען דאס באטראכטן ווי א פשוט׳ע אינפיניט סיריִס וואו איך האלט אין איין צולייגן נאך א נעגאטיווע 1. אין אזא פאל דייווערדזשד עס און עס קאָנווערדזשד נישט צו 0.

עס איז אינטרעסאנט צו באמערקן אז עפ״י לומדות מיט׳ן ריעמאן זעטאַ פאָנקשען קען מען מאכן די אינפיניט דייווערדזשענט סיריִס פון 1+1+1… אא״וו עד אינפיניטי אויסקומען צו קאָנווערדזשען צו 1/2-. והיינו, וואו מ׳לייגט יא צו פאזיטיווע תוארים מאכט מען דעם אינטעלעקטואלן 50:50 למציאותו א נעגאטיוו…

ולגבי גראַנדיִ׳ס סיריִס, וואו ס׳איז בעצם שייך צו זאגן דערויף אז עס קאָנווערדזשד צו 1 ווי אויך אז עס קאָנווערדזשד צו 0 [ווענדענדיג ווי אזוי מ׳טוהט דרס גרוּפּן], איז אינטרעסאנט צוצוצייכענען אז דאס ברענגט צו צום איילענבערג-מאַזוּר שווינדל וואס ״ווייזט אויף״ אז 0 = 1. דאס איז דורך נעמען דעם גראַנדיִ׳ס סיריִס און דאס גרוּפּן און דערנאך עפּלייען דעם עסאָסיעטיוו פּראַפּערטי כזה: 📎 5B6C4595-0210-4767-A8D0-3531F2D6FCB8.jpeg ‏מ׳קען צו דעם אפשר ווייטער צושטעלן דעם געדאנק דערפון בתוך טעאלאגיע אז ישות איז בעצם אַיִן וכן להיפך.

דאס גייט אביסל אין איינקלאנג מיט די געדאנק פון א טעלעסקאָפּינג סיריִס, וואו א (לעצטע) חלק פון איין טערמין קענסעלט אויס די ערשטע חלק פון די נעקסטע. ואשר על כן בלייבט נאר איבער דאס ערשטע חלק פונעם ערשטן און לעצטן חלק (ביי קאָנווערדזשענס) פונעם ״לעצטן״.

און אז מ׳האט דערמאנט די געדאנק פון גאָדעל׳ס טעארעם, וואס צייגט טאקע אויף די געדאנק פון אומעגליכקייט אלעס צו דערגיין בתוך א סיסטעם, שרייבט דער מאטעמאטיקער דר. דזשעימס סטיין אז עס איז יתכן אז עס איז דא א פּרוּף וואס צייגט אויף דאס אומעגליכקייט צו אויפווייזן אדער אפפרעגן מציאת הא-ל (איינמאל מ׳האט דעפינירט די פּראַפּערטיס פונעם מושג ״ג-ט״):

Both sides [theism and atheism] have been so busy trying to construct proofs supporting their case that it seems to me they have overlooked the obvious. Once the attributes of a deity are precisely defined, there may be a proof that it is impossible to prove the existence or nonexistence of such a deity. Alternatively, the deity hypothesis may possibly be shown to be independent of a set of philosophical axioms, adjoining either the deity hypothesis or its negation to those axioms leads to a consistent axiom set

בנוגע דאס געדאנק פון ״עקזיסטענץ״ לגבי ג-ט שרייבט דר. דוד ביאלע במשנתו של שלמה מיימון:

Using a classically Maimonidean argument, Maimon claimed that the statement "God exists" is no more meaningful than the statement "God does not exist." In this world, we mean by existence something that could or will go out of existence. Such a meaning cannot be applied to God; it is a category mistake, like saying "the wall does not see" (an example from Maimonides). The existence of God is beyond rational proof since the very concept of existence cannot be predicated of God. Since both belief and disbelief in God's existence are self-contradictory, the philosopher cannot be an atheist. But, by the same token, he or she cannot be a believer, at least not in the traditional sense of the word

ולגבי לימיטס (די געדאנק אין סיריִס) אין טעאלאגיע במשנתו:

Maimon’s God is the idea of perfection, the sum of all perfections, which, as Socher has shown, was the medieval idea of “the perfection of the soul” (shelemut ha-nefesh). Put differently — and in Maimonides’ language — God represents the unity of the intellect and the object of thought. Our understanding can never be identical to that of God, but we can grasp what it means to unite our intellect with the object of thought through mathematics. When we think of three straight lines whose ends are connected to each other such that the sum of their angles is 180 degrees, our thought and the triangle we have constructed through our thought are one and the same. Thus, when thought is constructive in this sense, it resembles in a limited way the thought of God

In doing so, we approach asymptotically, but do not ever reach, the infinite mind of God, a mind that does not exist in any worldly sense but instead exists as a regulative principle or a limiting concept. This language, drawn from the infinitesimal calculus of Leibniz and Newton, was one of Maimon’s innovations, since he wished to apply the most recent mathematics to philosophical reasoning. When, at the end of the nineteenth century, the neo-Kantian Jewish philosopher Hermann Cohen used calculus as the model for his own highly abstract idea of God as a “principle of origin,” he was reviving Maimon’s philosophy, whether he knew it or not

ועיין כאן כעין ענין זה ג״כ בענין לימיטס אודות מושג ה״משיח״ לפי דר. סטיווען שווארצטשיילד עפ״י הרמב״ם.

ועוד בנוגע דאס געדאנק פון קשר מאטעמאטיקס וטעאלאגיע האט חיים נחמן ביאליק געהאט געשריבן אין זיין גילוי וכיסוי בלשון:

הדבר הגיע לידי כך, שלשון האדם נעשתה כשתי לשונות, שנבנות זו מחרבן זו: לשון פנימית, לשון היחוד והנפש, שהעיקר בה, כמו במוסיקה, ה“איך”, לחוד - במדור השירה. ולשון חיצונית, לשון ההפשטה וההכללה, שהעיקר בה, כמו במתימטיקה, ה“מה”, לחוד – במחיצת ההגיון.

און דר. ביאלע איז דאס מסביר:

Distanced from its divine origins, we inherit language in its profane state in which only the husks remain, emptied of their original content. This is the conventional language of social interaction. It is also the language of mathematics, the domain of logic. Here, one cannot help thinking of Spinoza’s very different use of mathematical language. Where, for Spinoza, geometric proofs were the only language adequate to describe God, for Bialik, this language is by definition empty of all meaning beyond the conventional. Against a whole philosophical tradition that included Spinoza and Maimon, Bialik undercuts the claim of mathematics to convey necessary truth

און שפראך אליין, זאגט ביאליק, איז דאס מחיצה והפסק וואס איז דאס מכסה, און ער איז דאס מדמה אז עס איז מכסה פונעם תוהו פון ״כי לא יראני האדם וחי״. האט דאס ווייטער א קשר איינע צום צווייטן אז מ׳קען נישט ארויסברענגען דורך שפראך דעם געדאנק פון ״ג-ט״. ודומו סלה (וכידוע מהמו״נ, לדוגמא בח״א פ״נ).

די באקאנטע מאנדעלבּראָט סעט אין פרעקטעלס ווערט אויך אויסגעשטעלט דורך דעם מהלך פון קאנווערדזשענס לעומת דייווערדזשענס. עס ווערט צאמגעשטעלט (בקיצור נמרץ מאד מאד) אז איך האב א פאָנקשען פון:
x²+c
איך הייב אָן מיט x אלס 0 און פאר c וועהל איך א (קאַמפּלעקס) נומער. די נומער וואס איך באקום ארויס דערפון שטעל איך דערנאך אלס׳ן x און איך הייב אָן דעם שפיל נאכאמאל מיט׳ן דאס עדדן צו מיין c. די נומער וואס איך באקום יעצט שטעל איך דערנאך אלס x און עדד צו מיין c. אא״וו אא״וו. אויב דייווערדזשד עס און עס ווערט כסדר העכער און העכער, איז די c נישט קיין חלק פונעם מאנדעלבּראָט סעט. ווידער אויב קומט עס צו צו א ספּעציפישע נומער, דאן איז די c יא א חלק פונעם מאנדעלבּראָט סעט.

ווען מען גרעפט דאס אויפ׳ן קאַמפּלעקס פּלעין (אויך פון וואס ריעמאן האט גע׳ארבעט אויף לגבי מעניפאלדס) זעהט עס אויס אזוי מיט סעלף-ריפּיִטיִנג פרעקטעלס: 📎 CC7F292E-C53F-4BF1-B1AF-FA6DD7C23D18.jpeg ***

דאס איז וויאזוי דר. פּאָל וואָקער איז מסביר דעם דאָבּל נעגעישען געדאנק אין טעאלאגיע פונעם פרסי'שען פילאזאף בזמן הגאונים אבוּ יאקוב אַל-סידזשיסטאַני:

To express his doctrine al-Sijistānī advocated the use of a double negation, a kind of via negativa duplex. One must say that God is not a thing, not limited, not describable, not in a place, not in time, and so on; but then add to these negations a second set. Thus one also states that God is not not a thing, not not limited, not not describable, not not in a place, not not in time. He aims to remove God from intelligibility altogether. Simple negation is an understandable act that yields an intellectual result; double negation is not

און ווי דר. פּיִטער עדעמסאן זאגט אויף דעם/אים:

Al-Sijistani goes the negative theology of the Arabic Plotinus one better, insisting that when speaking of God we must negate even negation

***

דר. סטיין נוצט זיין אויבן-דערמאנטן געדאנק פון גאָדעל׳ס טעארעם אז עס איז אויך יתכן עפי״ז אז עס איז אומעגליך צו טרעפן א טעאריע פון אלעס אין פיזיקס וואס גייט פאראייניגן עמפירישע געפינסן ומדע אא״וו אונטער איין טעאריע. ענליך זאגט דער ביאלאגיקער דר. יוּדזשיִן קוּנין לגבי אַן אלגעמיינע ברייטע טעאריע פון עוואלושאן בתוך ביאלאגיע:

The computational biologist Eugene Koonin thinks people should get used to theories not fitting together. Unification is a mirage. “In my view there is no – can be no – single theory of evolution,” he told me. “There cannot be a single theory of everything. Even physicists do not have a theory of everything.”

‏ובענין רעליגיע מיינט דאס אבער נאך ווייט נישט א ״גאַדידיט״ תירוץ (וואס איז נאך ווייניגער פארשטענדליך ואפילו ממבט הטעאיסט עצמו, המאמין בעיקר הג׳ של הרמב״ם; ״בורא ומנהיג״ איז אזא סארט לשון מושאל); מ׳דארף פשוט דאס משפר זיין בתוך דעם סייענטיפישן פרעימווארק - אזוי ווי די פּראגרעס אין סייענס איז אלס צוגעגאנגען און וועט (האפענטליך) אלס צוגיין.