מאטעמאטיק פון א' ביז אין סוף

אז מ׳האט דערמאנט דא אין אנהויב אשכול ווי מאטעמאטיקס איז די יסוד פאר פיזיקס איז אינטרעסאנט צוצוצייכענען דעם אנעקדאט וואס דער בריטישער מאטעמאטיקער דר. טאמאס וויליאם קארנער זאגט נאך בשם א רוסישער פיזיקער. ״אין פיזיקס זענען פּרוּפס אזוי ווי בריטישע יוסטיץ: עס איז אומשולדיג ביז מען ווייזט אויף איר שולד. אין מאטעמאטיקס זענען פּרוּפס אזוי ווי סטאליניסטישע יוסטיץ: עס איז שולדיג ביז מען ווייזט אויף איר אומשולד״.

ובענין יוּניווערסאלס ופּארטיקולערס/אינדיווידואלס:
📎 92585792-7F99-48E0-A369-7CF9122D6918.jpeg
במשנתו פון גאטלאבּ פרעגע׳ס מאטעמאטישע מהלך בתוך ״שפראך״.

***

ובענין סעלף-רעפערענשאל פּאראדאקסן אין מאטעמאטיקס איז דא די בּערי פּאראדאקס. דאס איז ווען איך זאג למשל, ״די קלענסטע פּאזיטיווע אינטעדזשער וואס קען נישט דעפינירט ווערן מיט ווינציגער ווי אכציג אותיות״. עס זענען דאך נאר דא כ״ב אותיות וממילא מוז זיין א פיניט צאל פון פראזעס צאמגעשטעלט פון 80 אותיות; טאקע א געוואלדיגע גרויסע צאל [עפ״י פּערמוטעישאנס] אבער פארט פיניט. משא״כ זענען דאך אבער דא אן אינפיניט צאל פון פאזיטיווע אינטעדזשערס, מיינענדיג אז עס גייען זיין אינטעדזשערס וואס מוזען טאקע האבן מער ווי אכציג אותיות זיי צו דעפינירן. ומזה קומט אויס אז עס איז זיכער דא איין אזא נומער פון די סעט וואס דארף מער, די קלענסטע אין די סעט, וואס שטומט מיט די פראזע הנ״ל: ״די קלענסטע פּאזיטיווע אינטעדזשער וואס קען נישט דעפינירט ווערן מיט ווינציגער ווי אכציג אותיות״. אבער די פראזע/סענטענס אליין האט דאך נאר 78 אותיות, וממילא האט מען דאס דאך יא דעפינירט אין ווינציגער ווי 80 אותיות, און הענס הא׳מיר א פאראדאקס.

ענליך צו דעם בנושא של שפראך איז דא די בּהאַרטרעהאַרי פּאראדאקס. דאס איז ווען מען זאגט, ״די סארט זאך איז נישט שייך צו גיבן דערצו א נאמען״. דאס אליין טוהט דאך דאס גיבן איר נאמען והגדרה.

מי אני

אביסל ענליך צו דעם איז איינע פון די פירכות צו אפלטון׳ס טעאריע פון ״צורות״ געשריבן אין זיין פּארמענידיס, וואס אריסטו רופט די דריטע מענטש ארגומענט. דאס ארבעט דורכ׳ן שאפן אן אינפיניט ריגרעס איבער דעם אז די עצם ״צורה״ גייט דארפן באלאנגען צום סעט. דהיינו (אויבנאויף און בקיצור), אפאר פון די כאראקטעריסטיקס פון אפלטון׳ס ״צורה״ איז אז עס איז איבער אלע זאכן וואס האבן דעם קאנצעפט, עס איז נישט קיין חלק פון זיך אליין [עס איז נישט איינס מיט די זאכן וואס עס איז אויף; עס איז מער און ״העכער״ פון זיי], און איז די עצם קאנצעפט. למשל, די צורה פון ״גרויסקייט״ איז איבער אלע זאכן וואס זענען גרויס, ווי אויך איז עס בעצם ״גרויס״, און איז ״העכער״ און מער פון די סתם זאכן וואס האבן די פּראפּערטי פון ״גרויסקייט״ איבער וואס זי איז איבער. שטעלט זיך די פראגע אז די עצם צורה גייט דאך אויך באלאנגען צום סעט פון ״גרויסע״ זאכן און דעמאלטס דארף דאס שוין ווייטער א צורה פאר דעם וואס איז איבער דעם אויך און ״העכער/מער״ פון דעם, וכן הלאה והלאה.

ענליך צו דעם איז דא די בּרעדליִ׳ס ריִגרעס פראבלעם פונעם בריטישן פילאזאף דר. פרענסיס הענרי בּרעדליִ. דאס באציהט זיך צום בּינטעל/בּאָנדעל טעאריע, דהיינו (בקיצור און אווערסימפליפייד) אז א ״זאך״ איז פשוט די רילעישענשיפ פון די חלקים און באשטיינדלען וואס שטעלן דאס צאם. איז זיין פראבלעם אז לא׳מיר זאגן אז איך האב חלקים א׳ און ב׳ פון א זאך און דאס רילעישענשיפ צווישן זיי וואס פארוואנדעלט דאס אין צו די גאנצע איינע זאך ״בכלליות״. איז אבער די ״רילעישענשיפ״ אן אנטאלאגישע חלק פאר זיך פונקט אזוי ווי די חלקים א׳ און ב׳. דעמאלטס דארף מען אן אונטערליגענדע (אנטאלאגישע) זאך וואס באהעפט אט די ״רילעישענשיפ״ צו חלקים א׳ אוי ב׳. אבער דעמאלטס ברענג איך אריין נאך א(ן אנטאלאגישע) חלק וואס דארף אליין האבן דערנאך עפעס וואס באהעפט דאס צו די פריערדיגע ״רילעישענשיפ״, וכן הלאה.

ער האט דעריבער געהאלטן אז די ״רילעישענשיפ״ מעיקרא איז נישט (אנטאלאגיש) ״עכט״. דר. וויליאם וואליסעלא וויל דאס פארענטפערן אז די אָלטימעט ״רילעיטאר״ גייט זיין אזא סארט כעין ״געטליכע״ רילעיטאר וואס דארף נישט עפעס דאס אליין צו רילעיטן צום ״זאך״ און די חלקים וכו׳ דערינען; עס איז עקסטערנעל און אינדרויסן דערפון. (דאס איז אביסל ענליך צו מאלעבראך׳ס תירוץ אויפ׳ן מיינד-בּאַדי פראבלעם.)

דאס גייט אויך צוזאמען און איז אביסל ענליך מיט׳ן ענליכן חקירה אין פילאזאפיע בנוגע די סוגיא פון מעטאפיזישע גראַוּנדינג. דהיינו וואס טוהט ״גראַוּנדן״ און קומט פריער צווישן צוויי פּראפּאזישאנס. למשל, איינער איז אין בעט וויבאלד ער איז פארקילט; די צווייטע פּראפּאזישאן טוהט גראַוּנדן דאס ערשטע. אין דעם איז מען חוקר וואס פונקטליך טוהט שאפן די יכולת וכו׳ וכו׳ פון גראַוּנדינג בכלל וכו׳ וממילא די רילעישאן פון אן ״אמת-מאכער״ צו א זאך.

דאס איז אויך אביסל ענליך צו קעראל׳ס פּאראדאקס וואס רירט אן אויף די יסודות פון לאגיק. דאס זאגט אז איך האב (למשל) 2 הנחות וואס דאדורך קום איך אטאמאטיש צו צו א מסקנא:

א). אויב עס זענען דא צוויי זאכן וואס יעדעס איינס איז די זעלבע צו עפעס א דריטע זאך זענען די צוויי זאכן דאס זעלבע איינע צום צווייטן (דערמאנט אביסל דא).

ב). צוויי זייטן פון א געוויסן טרייענגעל זענען יעדעס איינס די זעלבע אין לענג צו א דריטע ליין.
דעריבער/דעמאלטס:
ג). די צוויי זייטן פונעם טרייענגעל זענען די זעלבע איינע ווי די אנדערע.

יעצט, עס קען זיין איינער וואס נעמט טאקע אן די ערשטע צוויי הנחות אבער נעמט [נאך] נישט אן דעם ״דעריבער/דעמאלטס״ צווישן די ערשטע צוויי הנחות און דעם דריטן וואס טוהט זיי באהעפטן. מוז מען דעמאלטס אריינלייגן א פערטע הנחה, בעפאר דעם ״דעריבער/דעמאלטס״ און טאקע כלפי דעם ״דעריבער/דעמאלטס״ גופא, וואס זאגט אז:
אויב א׳ און ב׳ זענען גערעכט דעמאלטס מוז זיין אז ג׳ גערעכט.

אבער דערנאך קען דאך זיין אזא איינער וואס זאל אננעמען די ערשטע דריי הנחות אבער נישט דעם פארשפעטערטן ״דעריבער/דעמאלטס״ אויף כדי אנצונעמען דעם פערטען [מעיקרא דריטען] מסקנא - מ׳וועט דארפן א נייעם הנחה פון:
אויב א׳ ב׳ און [דעם נייעם] ג׳ זענען אמת דעמאלטס איז ד׳ אטאמאטיש אמת.
וכן הלאה; אן אינפיניט ריגרעס.

***

אביסל ענליך צום בּערי פאראדאקס איז די ״אינטרעסאנטע״ נומער פאראדאקס. דאס איז אז אויב וויל איך קלאסיפיצירן נומערן אין צו צוויי סעטס, ״אינטרעסאנט״ און ״נישט אינטרעסאנט״, וועט אויסקומען אז יעדעס נומער איז ״אינטרעסאנט״. דאס איז ווייל לא׳מיר שוין זאגן אז עס איז שייך אזא דיסטיִנקשאן און דאס׳ן זיין מעגליך צו צוטיילן נומערן אזוי אין צוויי סעטס/גרופעס, וועט דאך די קלענסטע נומער אינעם ״נישט אינטרעסאנטן״ סעט יא זיין ״אינטרעסאנט״ און מערקווידיג אלס׳ן דאס זיין די קלענסטע נומער פונעם ״נישט אינטרעסאנטן״ סעט. פארשטייט זיך אז דאס ווענדט זיך ווי אזוי מ׳דעפינירט אן ״אינטרעסאנטע״ נומער און אין וועלכע קאנטעקסט.

***

ובנוגע בּערטראנד'ס פאראדאקס איז דאס אינטרעסאנט פון די וויקיפידיע בלאט:
📎 List of Lists of Lists.png
😃

עס איז דא די וועבער-פעכנער געזעץ וואס לויטעט אז ווי מער עס איז שוין דא פון א סטימיולוס [א קול, מראה, ריח וכו׳] אלס שווערער איז דאס צו דערקענען אין דעם חילוקים אין כמות. והיינו (מער ווי סתם פשטות׳דיגע כעין ״ביטול ברוב״), אז דאס גייט אראפ מיט א בערכ׳דיגע לאגאריטמישע מהלך וואו צו דערקענען צווישן 10 און 20 איז שווערער ווי צו דערקענען צווישן 100 און 200 אא״וו; עס איז נישט פּראפּארציאנאל.

בנוגע קוואנטיטעטיוו טראכטן האט די שטודיע דאס אויסגעברייטערט אויף צו ווייזן אז בעצם זענען מענטשן מער אויסגעשטעלט מכח בּעיסיק נאטור [אנע זיין ארומגענומען מיט די מושגים אינעם געזעלשאפט וכו׳] עוואלושאן וכו׳ צו טראכטן אין די גדרים פון ״קוואנטיטי״, וואס איז מער רודימענטערי און פּרימיטיוו, ווי איידער אין די מושגים פון ״נומעריסי״. כעין זה [עס ווייזט די געדאנק פונעם חילוק צווישן א פשוט׳ע ליניער סקעיל און א לאגאריטמישן]: 📎 D7E6598B-AB6E-44A8-97C7-F91DEB72E51A.jpeg

מי אני

אז מ׳האט דערמאנט דא אין אנהויב אשכול ווי מאטעמאטיקס איז די יסוד פאר פיזיקס איז אינטרעסאנט צוצוצייכענען דעם אנעקדאט וואס דער בריטישער מאטעמאטיקער דר. טאמאס וויליאם קארנער זאגט נאך בשם א רוסישער פיזיקער. ״אין פיזיקס זענען פּרוּפס אזוי ווי בריטישע יוסטיץ: עס איז אומשולדיג ביז מען ווייזט אויף איר שולד. אין מאטעמאטיקס זענען פּרוּפס אזוי ווי סטאליניסטישע יוסטיץ: עס איז שולדיג ביז מען ווייזט אויף איר אומשולד״.

ומענין לענין באותו ענין: 📎 3FC81794-CF1B-474C-B0B7-2EA0C0F4D3D4.jpeg

דר. לודוויג פרעק אין זיין אנטי-פּאזיטיוויסט מהלך האט געהאלטן בנוגע סייענס אז עס ארבעט דורך דענק/טראכטן-קאלעקטיוו. דאס הייסט אז מדע און איר געפינס און אויסטרעף קען מען נישט אפטיילן פונעם עפאכע און דעמאלטסדיגע סאציאלע קאנטעקסט פון די חוקרים וואס האבן דאס ערפינדן. דאס הייסט אז אינעם דאס דעפינירן די פּאראמעטערן פון מדע טוהט די תקופה אין וואס זי ווערט ערפונדן לייגן גבולים עפ״י די (אגרעגעיט פון די) אנגענומענע נארמעס, מנהגים וכו׳ וכו׳ פון די קאלעקטיוו פון מענטשן אויף די קאנצעפטן וואס זענען אין דעם תחום. ועכ״כ אז אפילו דאס ווי א סייענטיפישע פאקט מוז האבן די קאנטעקסט פון די ״טראכטן-קאלעקטיוו״ פון יענע תקופה עס צו געבן עני סארט פון קאנטעקסט, ווייל אן דאס איז עס ווי דאס זאגן ״איינער באמערקט עפעס״ אן א שום אנדערן רעפערענץ פונקט און קאנטעקסט. דאס גייט אין איינקלאנג מיט די עפיסטעמאלאגישע געדאנק אז אן אויסטרעף און מדע האט דריי חלקים: דאס וואס מ׳טרעפט אויס, דער וואס טרעפט דאס אויס, און די עוועילעבּל אנגעזאמעלטע מדע פון פריערדיגע אויסטרעפן וכו׳; די דריטע חלק איז מקושר צו אט דעם טראכטן-קאלעקטיוו.

אז מ'האט דערמאנט גאדעל'ס פּרוף און ראססעל'ס פאראדאקס: 📎 Godel.jpg
😃

‫עס איז אינטרעסאנט צו באצייכענען אז אבן סינא׳ס [אביסענאַ] הוכחה אויף מציאות הא-ל האט גענוצט אלס א חלק דערין עפעס וואס איז ענליך צו דעם פאראדאקס פון די סעטס. והיינו, ווי ערווענט דא האט ער געמאכט א חילוק בין עססענס לעקזיסטענץ. אין דעם וועט זיין תלוי די דריי חילוקים צווישן אומעגליך, מעגליך [קאנטינדזשענט], און בהכרח [נעסעסערי]. והיינו:‬

‫״אומעגליך״ - באדייט וואו די עססענס דערפון טוהט מיניה וביה אויסשליסן דאס׳ן עקזיסטענץ דערפון. ווי למשל א רינדיכיגע פיר-עק, וואס דאס איז דאס עססענס דערפון טוהט אט דאס אויסשליסן איר עקזיסטענץ.‬

‫״מעגליך״ - באדייט וואו די עססענס דערפון איז נישט מכריע לא לכאן ולא לכאן, וממילא וועט דאס דארפן א סיבה/פעולה מחוצה לה דאס צו ברענגן צו עקזיסטענץ.‬

‫״בהכרח״ - באדייט וואו די עססענס איז מכריע בהחלט אז עס מוז עקזיסטירן; עקזיסטענץ איז בתוך איר עססענס ומיניה וביה און דארף נישט קיין סיבה מחוצה לה פאר איר עקזיסטענץ.‬

‫זיין הוכחה איז אזא סארט געמיש פונעם באקאנטן קאסמאלאגישן הוכחה אז יעדעס נפעל מוז האבן א פועל און אנסעלם׳ס אנטאלאגישע הוכחה איבער די דעפיניציע בתוך ״ג-ט״. ער זאגט אז בעצם זענען אלע עקזיסטירענדע זאכן אין די וועלט אינעם סוג פון ״מעגליך״; יעדעס איינציגסטע זאך האט מעגליך געקענט זיין און מעגליך נישט; עס איז נישט דא גארנישט אין זייער עססענס וואס איז דאס מכריח. וממילא זענען זיי צושטאנד געקומען דורך אנדערע פריערדיגע פעולות, וואס די פעולות אליין זענען מסוג ״מעגליך״, וכן הלאה למעלה עד אינפיניטי (אבן סינא האט בעצם אנגענומען קדמות העולם (וואס דאס איז געווען איינע פון די סיבות אל-גאזאלי איז ארויס אין א פולמוס קעגן אים) און די אינפיניט ריגרעס האט אים נישט געבאדערט). יעצט, אז מ׳נעמט די גאנצע עקזיסטירענדע בריאה מעולם, אלעס וואס עקזיסטירט און האט עקזיסטירט און וועט עקזיסטירן, אלס אן עגרעגעיט און א סעט איז, האט ער גע׳טענה׳ט, וויבאלד אלע באשטיינדלען און פרטיים דערינען זענען מסוג ״מעגליך״ איז די גאנצע כלל אלס א סעט אויך מסוג ה״מעגליך״ און מוז האבן א פעולה/פועל/סיבה מחוצה לה וואס איז מכריע/גורם איר עקזיסטענץ. איז וואס האט דאס אריינגעברענגט אין/מכריע/פועל געווען צו עקזיסטענץ? עס קען נישט זיין עפעס וואס איז ווייטער מסוג ה״מעגליך״, ווייל דעמאלטס וואלט דאך דאס אליין שוין געווען אינעם פריערדיגן סעט הכולל פון ״מעגליך״. וממילא מוז דאס וואס האט פועל געווען צו ברענגען די ״מעגליכע״ סעט אין עקזיסטענץ זיין א ״הכרח״׳דיגע עקזיסטענט, וואס זיין עצם עססענס איז מכריח זיי עקזיסטענץ. דאס איז ג-ט.‬

‫ער האט גע׳טענה׳ט אז אז אפילו מ׳זאל צוריק טענה׳ן אז די גאנצע סעט פון סוג ה״מעגליך איז נישט אליין ״מעגליך״ נאר יא שוין מסוג ה״הכרח״ וואס דארף שוין נישט קיין סיבה מחוצה לה פאר איר עקזיסטענץ, ווייזט דאס אבער עכ״פ אויף אז עס איז למעשה באמת דא די סוג ה״הכרח״. (פּאנטעאיזם?)‬

‫פון דעם ״הכרחי״ קאנסעפּשאן פון ג-ט האט אבן סינא ארויסגענומען די תוארים וכו׳ וואס אנבאלאנגט אים [כל יכול וכו׳]. און פון דעם קומט טאקע אויס אז וויבאלד עס איז נישטא קיין ״מעגליך״ בתוך ג-ט שהוא כביכול מסוג ה״הכרח״ האט די וועלט, אלס די ״מעגליכע״ עגרעגעיט וסעט וואס איר סיבה איז די ״הכרח״׳דיגע עקזיסטענט, טאקע געמוזט עקזיסטירן. (דאס איז נאך עפעס וואס אל-גאזאלי איז ארויס אין א פולמוס קעגן אים.)‬

‫ער האט דאס גערופן די ״הוכחה פאר די אמת׳דיגע״ - לפי דר. שׁאַמס אינאטי איז מיט די ״אמת׳דיגע״ האט ער געמיינט די פילאזאפן לעומת די טעאלאגן.‬

‫והרבה קולמוסין וכו׳.‬

העיקרים במאמר ב פ"י:

והיותר אמתי בשם האחד הוא האחד המספרי, שאינו בעל מצב ולא ישתתף לו בזה זולתו מן הנמצאים, אלא שאין מציאותו מציאות אמתי בפעל אלא במחשבה, ולזה כבר תשיג המחשבה קבוץ רב מאלה האחדים המספריים שזהו גדר המספר שהוא קבוץ האחדים, ולזה הוא מבואר שאף זה איננו אחדות גמורה, אחר שאינו נותן יחוד והבדלה לנמצא מה בפעל מזולתו מן הנמצאים, ואפשר שיושכלו אחדים רבים ממנו.

מי אני

ובענין סעלף-רעפערענשאל פּאראדאקסן אין מאטעמאטיקס איז דא די בּערי פּאראדאקס. דאס איז ווען איך זאג למשל, ״די קלענסטע פּאזיטיווע אינטעדזשער וואס קען נישט דעפינירט ווערן מיט ווינציגער ווי אכציג אותיות״. עס זענען דאך נאר דא כ״ב אותיות וממילא מוז זיין א פיניט צאל פון פראזעס צאמגעשטעלט פון 80 אותיות; טאקע א געוואלדיגע גרויסע צאל [עפ״י פּערמוטעישאנס] אבער פארט פיניט. משא״כ זענען דאך אבער דא אן אינפיניט צאל פון פאזיטיווע אינטעדזשערס, מיינענדיג אז עס גייען זיין אינטעדזשערס וואס מוזען טאקע האבן מער ווי אכציג אותיות זיי צו דעפינירן. ומזה קומט אויס אז עס איז זיכער דא איין אזא נומער פון די סעט וואס דארף מער, די קלענסטע אין די סעט, וואס שטומט מיט די פראזע הנ״ל: ״די קלענסטע פּאזיטיווע אינטעדזשער וואס קען נישט דעפינירט ווערן מיט ווינציגער ווי אכציג אותיות״. אבער די פראזע/סענטענס אליין האט דאך נאר 78 אותיות, וממילא האט מען דאס דאך יא דעפינירט אין ווינציגער ווי 80 אותיות, און הענס הא׳מיר א פאראדאקס.

דאס איז א סעט-טעארעטישע פארמולאציע פון דעם פּאראדאקס פון דר. דזשוּליאוס/גיוּלאַ קאָניג:
📎 7B6DA9A8-58CA-4B28-B320-F105FD3D94E1.jpeg
ועיין כאן פארוואס די סעט פון אלע ריעל נומערן, והיינו אריינגערעכענט די אירעשאנעל נומערן, איז ״אָנקאַוּנטעבּל״, ועיין כאן איבער אָרדינעל נומערן; א וועל-אָרדערד סעט באדייט אז עס האט אן עלעמענט וואס איז די ״ווייניגסטע״ אין די אָרדערד סעט [די ״פּרינציפּ״ דערין].

ענליך צו דעם איז דא ריטשערד׳ס פּאראדאקס. דאס זאגט אז איך שטעל צאם א סעט פון אלע (אינפיניט) נומערן וואס מען קען דעפינירן ווי אזוי דאס אויסצושטעלן מיט ענגלישע זאצן. און איך שטעל דאס אויס אין א אָרדער לפי די לענג פון די זאצן און אויב די זאצן זענען די זעלבע לענג, דאן אזוי ווי די דיקשינערי וואלט זיי אויסגעשטעלט אין א סדר לפי א״ב [לעקסיגרעפיקלי]; אזוי אז זיי זענען אלע ״יוּניִק״ [קענאָניקעל]. דערנאך דעפיניר איך א נומער אין די סעט ווי פאלגענד:

עס האט 0 אלס איר ״גאנצע״/אינטעדזשער חלק. לגבי אירע דעצימל נומערן, איך גיי לייגן אן 1 ביים דעצימל פלאץ פון דעם נומער אויב די זעלבע דעצימל פלאץ פונעם נומער אין די סדר פון די סעט מיט די נומער אין סדר איז נישט 1. און אויב יענע נומער אינעם סדר האט יא אן 1 דארט אין יענעם דעצימל פלאץ דאן איז די נומער אין דעם יעצטיגן נומער׳ס זעלבע דעצימל פלאץ 2.

עס קומט אויס אז די נומער, זייענדיג דעפינירט אין ענגלישע זאצן, באדארף צו באלאנגען אין דעם סעט. אבער זייענדיג אז איר דעפיניציע פארלאזט זיך און איז אפהענגיג אין דעם עצם סעט אליין און אין איר סדר, איז עס דאך אנדערש פון יעדעס נומער דערין און איך קען נישט און האב עס נישט וואו דארט אריינצושטעלן.

ובאָרדינעל נומערן, ובזה דאס אז א סעט קען נישט זיין א מעמבּער/עלעמענט פון זיך אליין, איז דא די בּוּראַלי-פאָרטי פּאראדאקס וואס ווייזט אז עס קען נישט זיין א סעט פון אלע אָרדינעל נומערן. דאס איז (אין קורצן און אָווערסימפּליפייד) ווייל אויב האב איך אזא סעט דאן איז דאס בהכרח אליינס אן אָרדינעל נומער זייענדיג אז די עלעמענטס בתוכה זענען טרענסיטיוו (כעין בזה) און די סעט אליינס איז וועל-אָרדערד. (עס קומט אויס בעצם אז די סעט איז סיי זיך אליינס און סיי קלענער פון זיך אליינס.)

דער רוסישער מאטעמאטיקער דימיטרי מירימאַנאָף האט געמאכט אן ענליכן פּאראדאקס דערין פון דאס געדאנק פון א וועל-פאַוּנדעד סעט. א וועל-פאַוּנדעד סעט באדייט אז הגם עס האט (מעגליך) אינפיניט עלעמענטס האבן אבער די עלעמענטס אליין דערין אינעם סעט א פיניט צאל פון עלעמענט צי טשעינס פון סעטס אליינס. יעצט, אויב האט מען א סעט פון אלע וועל-פאַוּנדעד סעטס דאן איז דאך בהכרח די סעט אליינס וועל-פאַוּנדעד, ווייל אז נישט באדייט דאס אז עס איז דא דערין אן עלעמענט, והיינו סעט, וואס האט אן אינפיניט טשעין דערין וואס באדייט אז יענע סעט דערין איז דאך נישט וועל-פאַוּנדעד. אויב אזוי דאן איז דאך די גרויסארטיגע סעט כללי אליינס א וועל-פאַוּנדעד סעט. און עס גייט דאך זיין אן עלעמענט בתוכה אליינס וחוזר חלילה וואס דאן איז דאך דאס אן אינפיניט טשעין וממילא נישט וועל-פאַוּנדעד.

ווי דר. בּאַקינאַז אַבּדאַלאַ איז מסביר נעמט אבן סינא בראייתו אויך נישט אָן אז די עגרעגעיט פון אלע אפשריים זאל פאר זיך זיין דוקא הכרחי; זיי גייען זיך נישט טוישן וויבאלד זיי זענען יעצט אין א כלל:

two alternatives arise in regard to the cause of that aggregate (Avicenna, al-Najāt: 567–8): either the aggregate of possible things is self-caused or caused by something external. Avicenna dismisses the former alternative as impossible because the nature of what is possible in itself does not change independently of a cause; possible things become necessary only through other causes. Hence, an aggregate of possible things is also possible in itself and cannot be self-caused. Furthermore, “a chain” (silsilah) of possible things cannot continue ad infinitum and it must end to a being that is necessary in itself

זי ברענגט ארויס אז ר׳ יצחק אלבלג האט זיך געדינגען אויף די הוכחה מחמת אַן ענליכן געדאנק פון גאָדעל; מ׳קען נישט אויפווייזן עפעס על הסיסטעם כולו פון יענעם סיסטעם אליין:

To Albalag, Avicenna’s proof of God as Necessary Existent appeared to involve flagrant deviations from Aristotle. Firstly, Avicenna’s procedure for establishing the existence of the First Principle in the science of metaphysics is methodologically incorrect. (Tiqqun n.8: 13–14). Appealing to Averroes, Albalag argues that the existence of the prime mover must be accepted from natural philosophy—not insofar as it is the deity—while metaphysicians proceed therefrom in examining its states and attributes. Obviously, the theoretical basis for this argument is Aristotle’s rule that “no master of any art can demonstrate the proper principles of his art” (Metaphysics IV 1003a21–22), which, according to Averroes, means that a given science does not demonstrate the existence of its subject, but must concede to their existence either as something which is “self-evident” or as “something that has been demonstrated in another science” (Wolfson 1950–1 : 691). Since the First Principle is the subject matter of metaphysics, its existence cannot be established in that specific science

אַן ענליכע געדאנק ווי אבן סינא נוצט דר. גרעהעם אַפּי אלס א קשיא אויפ'ן קאלאם קאסמאלאגישן ארגומענט. ווען מ'קומט צו אויפווייזן מציאותו ית' ארבעט די ארגומענט בעצם מיט 2 הנחות וואס פירן צו א מסקנה:

1). אלעס וואס האט אנגעהויבן צו עקזיסטירן האט א סיבה/פועל פאר איר עקזיסטענץ

2). די יוניווערס האט אנגעהויבן צו עקזיסטירן

דערפאר קומט אויס,
3). די יוניווערס האט א סיבה/פועל פאר איר עקזיסטענץ (און דאס איז "ג-ט")

יעצט, מ'קען באטראכטן דאס "אלעס/יוניווערס" וואס עקזיסטירט אלס אלעס וואס איז "causal stuff" - וואס ארבעט ע"י פועל ונפעל; עס איז היינו הך. אין אנדערע ווערטער, די "global causal order". אויב אזוי איז דאך על זה אנו דנין: אויב די עצם געדאנק פון "פועל ונפעל" בהאי עלמא האט אנגעהויבן צו עקזיסטירן האט דאך דאס אליין נישט קיין פועל (כעין די עגרעגעיט פון דאס אלעס במשנת אבן סינא הנ"ל) - די ערשטע הנחה איז פאלש. ווידעראום, טאמער האט דאס יא אלס עקזיסטירט איז דאך די צווייטע הנחה פאלש.

(ואולי קען מען מאכן א חילוק צווישן דעם מער עמפּירישן "global causal order", וואס דאס קען אנהויבן עקזיסטירן, און די מער לאגישן געדאנק פון "פועל ונפעל", וואס דאס איז וואס האט אלס עקזיסטירט. הגם דער פיזיקעליסט, וואס האלט אז ס'איז נישטא בעצם קיין "העכערס" העכער נאטור וגשמי, האלט אז די צוויי זענען בעצם אחת הן. אויף דעם האט מען אים נישט אפגעפרעגט. ווי אויך אויף די עצם "global causal order" וויל דאך די ערשטע הנחה יא א פועל דכוותיה פאר איר אליין; אט דאס און פון דעם איז דאך די אנגעבליכע ראיה.)

א שטיקל הערה אויף די נאמען פונעם אשכול.

אין סוף איז נישט קיין חלק פון מאטעמאטיק, די אשכול וואלט אפשר געקענט הייסן "מאטעמאטיק פון א' ביז ת' טא טהע פאwער אוו ת'"

אין א דעבאטע צווישן דער טעאיסטישע פילאזאף פרעדעריק קאפלסטאן און דער פילאזאף אלפרעד דזשוּלס עיער האט עיער גע׳טענה׳ט ענליך צו דר. גרעהעם אַפּיִ הנ״ל:

Supposing you asked a question like 'Where do all things come from?' Now that's a perfectly meaningful question as regards any given event. Asking where it came from is asking for a description of some event prior to it. But if you generalize that question, it becomes meaningless. You're then asking what event is prior to all events. Clearly no event can be prior to all events. Because it's a member of the class of all events it must be included in it, and therefore can't be prior to it

לודוויג וויטגענשטיין האט נישט געהאלטן אז דאס איז א גוטע טענה.

ולגבי די הגדרה פון אבן סינא בכלל: 📎 F1F5406E-5298-4662-A0D2-A2624A9710F0.jpeg

דוד הום האט אויך געפרעגט אַן ענליכע פירכא צום געדאנק פון אבן סינא׳ס הוכחה, ווי דזשים האָלט שרייבט:

Hume's second argument is a better one. Suppose (he has his spokesman Cleanthes say) we think of the history of the world as a series of events. If the world is eternal, this series is an infinite one, with no first or last member. Now, each event in the series can be causally explained by the event that precedes it. Since there is no event that lacks an explanation, everything seems to be explained. "Where then is the difficulty?" Cleanthes asks. He is unimpressed by the obvious rejoinder: that even if each event in the series is causally explained in terms of an earlier event, the series as a whole remains unexplained. For the series as a whole, he insists, is not something over and above the events of which it is composed. "I answer that the uniting of these parts into a whole, like the uniting of several distinct countries into one kingdom, or several distinct members into one body, is performed merely by an arbitrary act of the mind, and has no influence on the nature of things," Cleanthes says. Once all the parts are explained, he submits, it's unreasonable to demand a further explanation of the whole

Seen in this light, an eternal world looks like the cause of itself, since everything within it is caused by something else within it. Hence it requires no external cause for its existence. It is causa sui - an attribute usually reserved for God

עס איז אינטרעסאנט וואס דזשים האָלט ברענגט אראפ פונעם פיזיקער/מאטעמאטיקער דר. ראַדזשער פּענרוֺיס. דר. פּענרוֺיס האלט אז עס זענען בעצם דא דריי ״וועלטן״: די נאטורליכע מאטעריאלע ״וועלט״, די ״וועלט״ פונעם נפש, און אפלטון׳ס ״וועלט״ פון פּערפעקטע צורות הנ״ל בהאשכול. און די אלע דריי באפעסטיגן זיך איינע דאס אנדערע: די ״וועלט״ פון פּערפעקטע צורות און מאטעמאטיקס ברענגט דאס עקזיסטענץ פונעם מאטעריאלן ״וועלט״ און ליגט אונטער איר, די פיזישע מאטעריאלע ״וועלט״ מיט איר פיזישע מוח וכו׳ ברענגט די ״וועלט״ פונעם נפש, און די ״וועלט״ פונעם נפש המשכלת ברענגט די ״וועלט״ פון פּערפעקטע צורות און מאטעמאטיקס. וחוזר חלילה, און אויף דעם שטייט דאס רעאליטעט פונעם ״יש מאַיִן״.

כ׳האב געקלערט אז אולי קען מען דאס צאמשטעלן מיט׳ן ״אומעגליכן טרייענגעל״ אַפּטיקעל אילוּזשאן מיט וואס דר. פּענרוֺיס איז אויפגעקומען מיט. 📎 CAA3682A-45B7-4F35-B97A-E63980C994E4.png והיינו, די דריי-עק זענען די דריי ״וועלטן״ וואס איינע ברענגט דאס אנדערע, אבער עס איז בעצם אַן אילוזיע פונעם (מעגליכן) נמנע פון יש מאַיִן.

ואגב, גייט דאס בכלל צוזאמען מיט ווילארד וואן אָרמען קוויין׳ס געדאנק אין אנטאלאגישע קאמיטמענט:

To be is to be a value of a bound variable

עס איז אויך מערקווידיג צו באמערקן אז דער פילאזאף דר. הארטרי פיִלד טענה׳ט אז מ׳קען בעצם צאמשטעלן פיזיקס און זייערע רעזולטאטן אָן צוקומען צו מאטעמאטיקס. (ער נוצט ניוטאן׳ס געזעץ פון גראוויטי אלס א משל. הגם אבער אז עס ווערט מער קאמפליצירט.) דאס גייט קעגן דעם קוויין-פּוטנעם אינדיספּענסיבּיליטי ארגומענט וואס טענה׳ט פאר די אנטאלאגישע ״עכטקייט״ פון מאטעמאטישע ענטיטיס וויבאלד פיזיקס און סייענס מוזן צוקומען דערצו להסביר הריאליטעט והמציאות.

ווערנער הייזענבערג האט געשריבן:

Modern physics has definitely decided in favor of Plato. In fact, the smallest units of matter are not physical objects in the ordinary sense; they are forms, ideas which can be expressed unambiguously only in mathematical language

עס איז אויך מן הראוי לציין צו סקאָלעם׳ס פּאראדאקס. דאס איז עפ״י די לאָווענהיים-סקאָלעם טעארעם וואס לויטעט אז אויב אַן ערשטע-אָרדער (״געהעריגע״) לאגיק אין א שפראך האט עני אינפיניט מאדעל דערפון, דאן איז דאס א ״countable״ אינפיניטי [וואו מ׳קען געבן א נומער פונעם סעט פון ציילן נומערן צו יעדעס עלעמענט אינעם סעט]. די זאך איז אז סעט טעאריע אליינס איז דאך אַן ערשטע-אָרדער סארט טעאריע, איז דאך דאס אליינס א ״countable״ אינפיניטי. טא ווי אזוי איז שייך אז עס זאל האבן דערין ״uncountable״ סעטס? מ׳האט דאס פארענטפערט מאטעמאטיש עפ״י די חילוק אין פּראפּערטיס צווישן די גאנצע סעט על הכלל אין די סעטס בתוכה.

לגבי אָרדערד און וועל-אָרדערד סעטס איז דא שׁאַרקאָווסקי׳ס טעארעם. דאס לויטעט אז אויב האב איך א סעט אויסגעשטעלט אזוי: 📎 956D1437-1A3F-4E51-B8A7-4A4CF3C4580E.jpeg והיינו, אז אלע אַדד נומערן מאָלטיפּלייד ביי פּאַוּערס פון 2 זענען דערין אָנגעהויבן, אָרדערד, פונעם קלענסטן ביז׳ן גרעסטן, און אלע איבעריגע עצם פּאַוּערס פון 2 וואס זענען אויסגעלאזט געווארן זענען אָרדערד דערין פונעם גרעסטן ביז׳ן קלענסטן. אלע נומערן זענען דא אינעם סעט אבער די סעט איז נישט וועל-אָרדערד: עס איז נישטא קיין פריעסטע פּאַוּער פון 2.

יעצט, עס איז דא א געדאנק פון אַן איטערעיטעד פאָנקשען. דאס איז א סארט פאָנקשען וואס איך געב דערין אריין א וועליוּ און די וועליוּ וואס איך באקום ארויס געב איך אריין דערין אינעם פאָנקשען נאכאמאל וחוזר חלילה. עס איז פּיריאַדיק ווען נאך א געוויסע מאל טוהן דעם פראצעדור שפייט די פאָנקשען ארויס אלס א וועליוּ די אריגינעלע וועליוּ מיט וואס איך האב אָנגעהויבן. און יעדעס מאל איך קום אָן צו א מאָלטיפּל פון די צאל מאלן וואס איך טוה די פראצעדור גייט עס מיר אויסשפייען דעם אריגינעלן נומער.

‏שׁאַרקאָווסקי׳ס טעארעם לויטעט אז אויב א פאָנקשען האט א געוויסע קלענסטע פּיריאַדיק פונקט, דאן האט דאס פּיריאַדיק פונקטן פון די נומערן וואס קומען דערנאך אין דעם אויבנדערמאנטן סעט. עס קומט אויס לפי״ז אז אויב האט דאס א פּיריאַדיק פונקט פון 3, האט דאס א פּיריאַדיק פונקט פון אלע אנדערע נומערן.

דער מאטעמאטיקער דר. דזשעימס פּראַפּ שרייבט: 📎 Propp.jpg

לגבי די קשיא אויף אבן סינא׳ס הוכחה למציאות הא-ל איז אינטרעסאנט אז דאס איז דאך א פאָלאָסי פון קאַמפּאַזישאן, והיינו א לאגישע שטרויכלונג וואו מ׳חשבונ׳ט אז די גאנצע/כלל האט בהכרח די גענויע פּראַפּערטיס פון די חלקים פרטיים וואס שטעלן דאס צאם. אין זיין הוכחה אז וויבאלד אלע חלקים פרטיים דערין זענען אפשרי, איז די עגרעגעיט הכולל פון זיי אויף אפשרי. חוץ מזה וואס ער אליין איז באוואוסטזיניג דארט צו דעם קשיא, טוהט ער אליין דערמאנען די סארט פאָלאָסיִ אין זיין ווערק אויף לאגיק.

די פארקערטע פון די פאָלאָסיִ איז דאס פאָלאָסי פון דיוויזשאן: וואו מ׳חשבונ׳ט אז וויבאלד די כלל האט די-און-די פּראַפּערטי איז בהכרח אז די חלקים וואס שטעלן דאס צאם האבן דאס.
‏

מי אני

עס איז אינטרעסאנט וואס דזשים האָלט ברענגט אראפ פונעם פיזיקער/מאטעמאטיקער דר. ראַדזשער פּענרוֺיס. דר. פּענרוֺיס האלט אז עס זענען בעצם דא דריי ״וועלטן״: די נאטורליכע מאטעריאלע ״וועלט״, די ״וועלט״ פונעם נפש, און אפלטון׳ס ״וועלט״ פון פּערפעקטע צורות הנ״ל בהאשכול. און די אלע דריי באפעסטיגן זיך איינע דאס אנדערע: די ״וועלט״ פון פּערפעקטע צורות און מאטעמאטיקס ברענגט דאס עקזיסטענץ פונעם מאטעריאלן ״וועלט״ און ליגט אונטער איר, די פיזישע מאטעריאלע ״וועלט״ מיט איר פיזישע מוח וכו׳ ברענגט די ״וועלט״ פונעם נפש, און די ״וועלט״ פונעם נפש המשכלת ברענגט די ״וועלט״ פון פּערפעקטע צורות און מאטעמאטיקס. וחוזר חלילה, און אויף דעם שטייט דאס רעאליטעט פונעם ״יש מאַיִן״.

דער טעאלאג דר. וויליאם לעין קרעיג, ווען ער האט זיך געטראפן מיט דר. פּענרוֺיס, טענה׳ט אז טעאיזם שטעלט צאם און באגרונדעט אט די דריי וועלטן:

Penrose believes that reality is composed of three parts or aspects. One would be the mathematical realm – this would be the realm of abstract objects studied by mathematicians. The other realm is the physical realm – this is the world studied by astrophysics (the universe of space and time, matter and energy). The third realm is the realm of the mind or the mental. He resists the tendency of modern materialism to try to collapse the realm of the mind or the mental to the physical. He is not a physicalist. So he has these three independent and unconnected realms of reality, and he doesn't know how to put them together. Why is it that the mathematical realm describes the physical realm? Why is it that the mental realm can exert physical effects in the physical universe? And how does the mental realm grasp the abstract realm of mathematical objects? He has no answers for these questions

This is very, very deep metaphysics. He says these are the mysteries of existence that bother him. What I wanted to show him was that if he would adopt theism this would answer these mysteries about how these three realms relate. What I argued was if you have an omniscient mind – an infinite mind – then the mathematical realm of abstract objects could be conceived to be the ideas or the thoughts of this infinite mind. And the infinite mind could be the creator of the physical realm. So both of the other two realms – the abstract and the physical – are grounded in the mental. That will solve the ancient problem of the one and the many – namely, what is the source of unity beneath the diversity that we perceive in the world. He has these three diverse, independent realms that cannot be explained in terms of each other, but what the theist can do is to say priority goes to the mental and the mathematical abstract realm is the concepts and ideas or thoughts of the mental and the physical world is the creation of the mental. He was very intrigued by this idea and didn't know quite how to respond to it

‏דא הא׳מיר אראפגעברענגט די מימרא פון יוּקליד: The laws of nature are but the mathematical thoughts of G-d

לגבי בויען נומערן פון ליידיגע סעטס, מאכט דער מאטעמאטיקער דר. אנטאני בּאָנאַטאָ די וויץ:📎 IMG_5937.jpeg ראה זה מצאתי אמרה קהלת אחת לאחת למצא חשבון וגו׳ אשר עשה האלקים את האדם ישר והמה בקשו חשבנות רבים (קהלת ז כז-כט). 🙂

אקעי, איך גיי פרעגן א מאטעמאטישע פראגע, איך האב נישט קיין אהנונג אין וועלכע (הויכגעשפריצטע) אשכול עס באלאנגט, אבער דא זע איך קען מען גיין ביז אין סוף.. איך גלייב מיין שאלה איז נאך אין די גבולות..
אויך קען זיין עס איז שוין אויסגעשמועסט געווארן ערגעץ, בכל אופן רוף איך אויס צו @יידל @דיכטער @פארוואס @מי אני - עמוד על ימיני לסמכנו.


עס האט זיך אנגעהויבן מיטן עפענען מיין טעלעפאן ווי געווענדליך, אבער אנדערש ווי געווענדליך האב איך מיר אפגעשטעלט באטראכטן דעם פעטערן לאק (pattern lock) וואס איך האב אויפצועפענען דעם סקרין, און איך האב פראבירט אויסצופיגערן וויפיל מעגליכע וועגן און קאמבינאציעס עס האט. גראד האב איך איינגעזען אז עס איז יותר מיכלתי, קיין קאלקולעיטער האט מיר נישט קיין סאך געהאלפן, און אנגעפרעגענדיג ביי AI איז ער אויך אריינגעקומען מיט פשוט'ע טעותים און מיסקאלקולאציעס, בין איך צוריק צום פענע און פאפיר מעטאדע, פון וואו איך האב מיר דערווייל נישט ארויסדערזען.
איך גיי אויסשמועסן ביז וואו איך בין אנגעקומען, און ווי געזאגט איז הילף וועלקאם.

קודם, פון וואס מ'רעדט: 📎 Screenshot.png איך בין נישט זיכער וויאזוי עס ארבייט ביי אנדערע, איך וועל אבער גיין מיט די גרינגערע הנחות אז -
1. יעדע פעטערן קען באשטיין פון 2 ביז 9 פינטלעך, דהיינו, איין פינטל אליין איז גארנישט, אבער א ליניע פון איין פינטל ביז א צווייטן איז שוין א פעטערן, אדער אויב מ'וויל קען מען אריינשליידערן אלע ניין פינטלעך צו פארמירן א לאנגע פעטערן.
2. מ'קען גיין שיעף פון איין פינטל צו א צווייטן פונקט ווי גראד. לדוגמא פון דער ביים עק גלייך צו די מיטעלסטע.
3. מ'קען נישט איבערנוצן קיין פינטלעך אינעם זעלבן פעטערן - אדער איבערגיין/צוריקגיין א בריק וואס מ'האט שוין גענוצט.


לאמיר אנהייבן ביי די צוויי פינטעלדיגע פעטערנס.
פון יעדע עק האט מען 3 מעגליכע דעסטינאציעס - די צוויי זייטיגע אין דאס מיטעלסטע.
פון יעדע זייטיגע (איך רוף זייטיגע נאר די פיר וואס זענען נישט קיין עק,) קען מען האבן 5 מעגליכע דעסטינאציעס - צוויי עקן, מיטעלסטע, און צוויי אנדערע זייטיגע וואו מ'קען דעגרייכן שיפערהייט.
און פון די מיטעלסטע ארויס קען מען גיין צו אלע אנדערע 8.

האמיר בסך הכל 40 מעגליכע פעטערנס - 4 עקן וואס יעדע איינס האט 3 מעגליכקייטן (3X4=12), 4 זייטיגע מיט 5 מעגליכקייטן (4X5=20), און 8 פאר די מיטעלסטע. 12+20+8=40.


גייענדיג צו די פעטערנס מיט דריי פינטלעך ווערט עס שוין מער קאמפליצירט, ווייל עס גייט זיך ווענדן וואו די ערשטע בריק איז געמאכט געווארן און וואו עס ענדיגט - צו אויסרעכענען די מעגליכקייטן פונעם צווייטן צום דריטן פינטל.
אבער לאמיר זען.

אויב איז די צווייטע פינטל דאס מיטעלסטע דאן האמיר 7 ווייטערדיגע מעגליכקייטן (די אכטע איז געווען די וועג אריין וואס מ'קען נישט איבערנוצן..)
אויב איז עס איינער פון די עקן בלייבן מיר מיט 2 ווייטערדיגע מעגליכקייטן.
און אויב איז עס א זייטיגע, דאן האבן מיר 4 ווייטערדיגע מעגליכקייטן (פאר יעדע זייט באזונדער).

בסך הכל: פאר די מיטעלסטע האמיר 8 מאל 7 (8 וועגן אנצוקומען און 7 ארויסצוגיין) = 56.
פאר די עקן האמיר 3 מאל 2 (3 אריין 2 ארויס) מאל 4 פאר די פיר עקן = 24.
און פאר די זייטיגע האמיר 5 מאל 4 (5 אריין 4 ארויס) מאל פיר = 80.
צוזאמען איז 160.


[עס צו מאכן סימפל פון דא און ווייטער וואלט געווען צו אינפערן אז עס קוואדריפלט זיך פון דא און ווייטער (נעמליך, מיט יעדע צוגעקומענע פינטל צום פעטערן שאפט זיך פיר מאל די נומער פון די פריערדיגע). אבער דאס וואלט קלאר פארזען די נקודה אז די מעגליכקייטן ארויס פון א פינטל ווערן אלץ מער איינגעצוימט ווייל עס קומען אלץ צו 'אויסגענוצטע' פינטלעך וואס מ'קען שוין נישט איבערנוצן..
עס קען זיין די גרינגערע וועג וואלט געווען צו איגנארירן די פינטלעך וואס מ'קען נישט איבערנוצן און לאזן די חשבון סימעטריקאל, און ביי די ענדע סובטרעקטן די איבערגענוצטע. יכול להיות, איך ווייס נאר נישט וויאזוי די פראצעדור פון אראפרעכענען וואלט געארבייט..]


גייענדיג צו פיר פינטעלדיגע פעטערנס האט מיין פענע שוין נישט געארבייט (פיגעראטיוולי..)

יעצט דארף מען קענען אויסרעכענען וויפיל פון די פריערדיגע 160 האבן זיך געענדיגט מיט א מיטעלסטע (וואס איז די גרינגסטע פלאץ אנצוהייבן - עס איז נאר דא איינס דערפון..), און דאן עס דאפלען אין 6 לכאו'. ווייל צוויי אנדערע קען מען שוין נישט מער נוצן אויף ארויס.
די חשבון דארף בפשטות צו זיין 24. (איך האב עס אויסגערעכענט אז פון יעדע עק איז דא צוויי אומדיירעקטע וועגן אריין צום מיטעלסטען, און פון יעדע זייט איז דא פיר..)

ווען מ'קומט אבער צו די עקן און זייטן ווערט עס נאך שווערער, ווייל לאמיר שוין זאגן אז צו די עקן איז דא 56 און צו די זייטן 80 וועגן אריין (אננעמענדיג די אינווערס פון פריער.. איך בין נאר נישט קאנווינסד עס איז אקוראט), דארף מען יעצט אויך חשבונ'ען וויפיל וועגן ארויס עס איז געבליבן פאר יעדעם.
וואס דאס ווענד זיך שטארק אין די דיירעקציע אריין, אויב איז מען געקומען פון צוויי שכנים אריין בלייבט מען מיט איין עקסיט פאר יעדע עק און צוויי פאר יעדע זייט, אויב אבער איז מען געקומען פון א ווייטערע אריין בלייבט מען מיט צוויי וועגן ארויס פארן עק און דריי פארן זייטל..

און איך האב נישט קיין כח/נערוון/סקיללס אויסצורעכענען וויפיל זענען טאקע געקומען פון דערנעבן און וויפיל פון ווייטער..
אפגערעדט צו נעמען דעם חשבון ווייטער צו פינף ארויף ביז ניין...


איז דא א גרינגערע פארמולא דאס אויסצורעכענען?
מאך איך עס מער קאמפליצירט ווי עס באלאנגט?
(מאך איך א טעכנישע טעות מיט די מעגליכע אפציעס פון דעם פעטערן שלאס?)
אדער אויב איר האט סתם אזוי דעם ענטפער (- פון גוגל האב איך אויך.. יישר כח.)
קומט אריין און טיילט מיט.

‏דא זאגן זיי: 📎 IMG_7265.jpeg זיי נעמען אָן אז אז מ׳הייבט אָן ביי 4 מעגליכע נומערן, און אז א גראדע ליין וואס גייט פון איין נומער צום צווייטן וועט מוזן כולל זיין א נומער וואס די גראדע ליין גייט דורך אָנצוקומען אהין. אויב וויל איך צולייגן די מעגליכקייטן פון נאר 2 אדער 3 נומערן, דאן עדד איך דערצו די 200 מעגליכקייטן וואס @אלפא האט אויסגערעכענט.

די רעסטריקשאנס דערלאזן נישט צו נוצן סתם א פעקטאריעל פאר פּערמיוטעישאנס פאר יעדעס צאל פונקטן, און דערנאך זיי אלע עדדן צוזאמען (זייענדיג אז עס איז אַן ״אדער״ דאס אדער דאס; ווען עס איז שייך אַן ״און״ דאס און דאס, וואלט מען זיי מאָלטיפּלייט צוזאמען עפ״י די מאָלטיפּליקעישאן פּרינציפּ).

די שאלה איז אויב מען קען גיין נאר צו א דערנעבענדיגע נומער אדער אויך א מאוו למשל פונעם לינקן אויבן ביז די מיטעלסטע אונטן, @אלפא האט נישט אינקלאדעט אזא מאוו. די דייעגרעם וואס @מי אני ברענגט לאזט יא אזעלעכע מאווס (פון איינס ביז אכט אדער איינס צו זעקס)

נאכ'ן לערנען די בלעטער און גייענדיג מיט @אלפא'ס הנחות, קומט אויס אז עס איז דא 10296 וועגן. עס איז נישטא קיין מהלך צו אויסרעכענען דאס דארפ מען "בראט פארסאן" דורך ניצן א קאמפיוטער פראגרעם. די חשבון איז אזוי
2 40

3 160

4 496

5 1208

6 2240

7 2984

8 2384

9 784

צוזאמען איז עס 10296. אויב טוישט מען אביסל ארום די הנחות ווי למשל איבערגיין גענוצטע פינטלעך אדער בריקן קומט עס אויס סאך מער.

וויפיל איז 0^0?

‏1. אפשר.

‏ועיין כאן אז עס איז דאך בעצם ווי זאגן ״0÷0״, וואס איז דאך א פראבלעם ווען די דיווידענד איז סתם א נומער וואס די ענטפער איז דאם קיין שום נומער, און ווען די דיווידענד איז 0 קען עס דאך לכאורה זיין יעדעס נומער. אין קאלקולוס איז די לימיט פון א נומער דיוויידעד ביים זעלבן נומער, וואו אט די נומער וואס מ׳נוצט קומט אלס נענטער צו צו 0, איז טאקע 1 (הגם אז די לימיט פון א נומער סקווערד דיוויידעד ביים זעלבן נומער נישט סקווערד, ווען די נומער קומט אלס נענטער צו צו 0, איז יא 0).

דער מאטעמאטיקער דר. דזשעימס פּראַפּ האט א לענגערע מאמר לגבי 0⁰. 📎 IMG_7786.jpeg
***

דאס איז א דייעגרעם איבער די פארשידענע סוגי נומערן:📎 IMG_7773.jpeg