פּאַליגאַנעל נומערן

א [רעגולארע] פּאַליגאַן מיינט א צוויי-דיימענשאנעל [פלאכע] שׁעיפּ וואס האט זייטן, וואס יעדע זייט איז די זעלבע לאנג (און יעדע עק [קאַנוועקס] האט די זעלבע ענגעל [ס׳איז געבויגן פונקט די זעלבע]). למשל, אן עקווילאטערעל טרייענגעל, וואו יעדע זייט איז פונקט די זעלבע לאנג, איז א פּאַליגאַן פון דריי זייטן. א סקווער איז א פּאַליגאַן פון פיר זייטן, אא״וו.

‏פּאַליגאַנעל נומערן מיינט אז איך קען אויסשטעלן נומערן אזוי ווי א געוויסע שׁעיפּ/פּאַליגאַן. למשל, די נומער 3 איז א טרייענגעלער נומער, ווייל איך קען נעמען 3 פינטעלעך און דאס אויסשטעלן אזוי ווי א טרייענגעל [סגול] וואו אלע זייטן זענען די זעלבע לאנג. ווי אויך איז 6 אזא נומער: 6 פינטעלעך קען מען אויך אויסשטעלן ווי א (גרעסערע) טרייענגעל וואו אלע זייטן זענען די זעלבע לאנג.

ווייטער, למשל 4 איז א סקווער נומער ווייל איך קען אויסשטעלן 4 פינטעלעך אין א [פּערפעקט] סקווער וואו אלע זייטן זענען די זעלבע לאנג. אזוי אויך 9 (און יעדע פּערפעקט סקווער, עיין כאן; דאס איז א וויזשוּאליזעישאן פון פּערפעקט סקווערס).
📎 IMG_6947.jpg

ביי שׁעיפּס/פּאַליגאַנס פון מער זייטן וועט אויסקומען אז ס׳דא פלאץ צווישן די פּינטעלעך. דאס איז וויבאלד ביי די שׁעיפּס קימערט מען זיך נאר וועגן די זייטן און נישט אויף אנצופילען דעם חלל. למשל, א פּענטאגאן, פון פינף זייטן, וואס דאס קען צאמגעשטעלט ווערן דורך 5 פּינטעלעך, וועט האבן א חלל פונקט אינדערמיט. די זעלבע ביי א העקסאגאן פון 6 זייטן, וואס ווערט צאמגעשטעלט פון 6 פינטעלעך. די חללים פארמערן זיך ביי גרעסערע פון די שׁעיפּס וואס ווערן צאמגעשטעלט פון גרעסערע נומערן; די עיקר איז אז די זייטן זענען די זעלבע לאנג מיט פונקט די גענויע מאס פון פּינטעלעך וואס מ׳דארף.

ס׳דא נומערן וואס מ׳קען אויסשטעלן אין מער ווי איין סארט שׁעיפּ. למשל, 36 פּינטעלעך קען מען סיי אויסשטעלן אלס א טרייענגעל און סיי אלס א סקווער. (אגב, יעדע נומער וואס מ׳קען מאכן צו 6 זייטן, א העקסאגאן, קען מען אויך מאכן אין צו א טרייענגעל.)

דער פראנצויזישער מאטעמאטיקער פּיער דע פערמאט האט געשריבן אז יעדעס איינציגס נומער קען מען ארויסשרייבען אלס די סומע פון נישט מער נומערן ווי די זייטן וואס ס׳קען מאכן; איר פּאַליגאַנעל נומערן. למשל, יעדעס איינציגס נומער קען ווערן ארויס געשריבן ווי די סומע פון נישט מער ווי דריי טרייענגעלער נומערן; מ׳דארף נישט מער ווי דריי נומערן וואס מ׳קען פון זיי מאכן א טרייענגעל מיט פּינטעלעך כנ״ל. ולמשל, ווי אויך נישט מער ווי פיר סקווער נומערן וואס קענען ווערן אויסגעשטעלט מיט פּינטעלעך אין א סקווער. וכן הלאה.

ער האט געשריבן אז ער גייט שרייבן א פּרוּף דערויף אין א קומענדיגע ווערק. עס איז קיינמאל נישט אנגעקומען. (ער האט געטוהן אביסל ענליך בנוגע זיין לעצטע טעארעם באשריבן דא). עס האט גענומען כמעט 200 יאר ביז אן אנדערע פראנצויזישע מאטעמאטיקער, אגוסטין-לואיס קאַוּטשי, האט דאס אויפגעוואוזן פאר אלע נומערן.

מי אני

דער פראנצויזישער מאטעמאטיקער פּיער דע פערמאט האט געשריבן אז יעדעס איינציגס נומער קען מען ארויסשרייבען אלס די סומע פון נישט מער נומערן ווי די זייטן וואס ס׳קען מאכן; איר פּאַליגאַנעל נומערן. למשל, יעדעס איינציגס נומער קען ווערן ארויס געשריבן ווי די סומע פון נישט מער ווי דריי טרייענגעלער נומערן; מ׳דארף נישט מער ווי דריי נומערן וואס מ׳קען פון זיי מאכן א טרייענגעל מיט פּינטעלעך כנ״ל. ולמשל, ווי אויך נישט מער ווי פיר סקווער נומערן וואס קענען ווערן אויסגעשטעלט מיט פּינטעלעך אין א סקווער. וכן הלאה.

קענסט עס אביסל בעסער מסביר זיין?

מעגליך מ'קען עס קודם ערקלערן אויף איין ספעציפישע נומער, (ווי למשל 3 אדער 4) און געבן עטליכע דוגמאות, אזוי וועט עס זיין קלארער צו פארשטיין.

דאנקע שיין מי אני פארן ענדליך גיין פתיחה.

איך האב אויך נישט פארשטאנען קודם, אבער אז מי אני הייבט אן א שמועס, דארף מען עס לערנען ווי א גמרא.

מי אני

דער פראנצויזישער מאטעמאטיקער פּיער דע פערמאט האט געשריבן אז יעדעס איינציגס נומער קען מען ארויסשרייבען אלס די סומע פון נישט מער נומערן ווי די זייטן וואס ס׳קען מאכן; איר פּאַליגאַנעל נומערן. למשל, יעדעס איינציגס נומער קען ווערן ארויס געשריבן ווי די סומע פון נישט מער ווי דריי טרייענגעלער נומערן; מ׳דארף נישט מער ווי דריי נומערן וואס מ׳קען פון זיי מאכן א טרייענגעל מיט פּינטעלעך כנ״ל. ולמשל, ווי אויך נישט מער ווי פיר סקווער נומערן וואס קענען ווערן אויסגעשטעלט מיט פּינטעלעך אין א סקווער. וכן הלאה.

דא ליגט לכאורה א טעות, ווען דו שרייבסט למשל, ווילסטו לכאורה שרייבן א משל. איך וועל פראבירן די נאמבער 20.

20 קען ווערן ארויסגעשריבן ווי די סך הכל פון נישט מער (אבער מעגליך ווייניגער) ווי 3 טרייענגל נאמבערס.

אויב מעג מען איבערנוצן נאמבערס מאכט סענס וואס איך זאג. טרייענגעל נאבערס 10+10 סקווער נאמבערס 16+4

19 = 15+3+1 סקווער 16+1+1+1


די שאלה איז, האב איך יעצט סתם גערעדט שטותים..? אדער טאקע צוגעטראפן?

ייש״כ.

יא יא. מ׳קען איבערנוצען נומערן. מ׳קען אויך נוצען נומער 1, הגם עס איז נישט געהעריג אין כלל פון קיין שום פּאַליגאַנעל נומער. די חידוש איז אז נישט קיין חילוק וועלכע נומער איך כאפ אן גייט קיינמאל נישט אויספעהלן צו נוצן מער ווי די סארט פּאַליגאַנעל נומערן ווי די זייטן וואס די פּאַליגאַן האט (פארשטייט זיך טאמער איך האב די ריכטיגע נומערן).

אנטשולדיגט פאר׳ן נישט אויסקלארן מעיקרא. איך וואלט ווען געדארפט צוברענגן א משל ממש. מיין ״משל״ האט זיך באצויגן צו א משל פון א ״סארט״ פּאַליגאַנעל נומער. ייש״כ פאר׳ן ברענגען צוויי משלים מיט נומערן ממש.

נאך א משל. די נומער 7 קען זיין 6+1 [צוויי טרייענגולאר נומערן] (אדער אין די פאל 3+3+1 [טאקע דריי טרייענגולאר נומערן]), אדער 4+1+1+1 [טאקע פיר סקווער נומערן], אדער 5+1+1 [נאר דריי פּענטאגאנעל נומערן], 6+1 [נאר צוויי העקסאגאנאל נומערן].

ווי אויך 10 אליינס קען איך שרייבן אלס 6+3+1 [טאקע דריי טרייענגולאר נומערן], 9+1 [צוויי סקווער נומערן] (אדער אין די פאל 4+4+1+1 [טאקע פיר סקווער נומערן]), 5+5 [צוויי פּענטאגאנעל נומערן], 6+1+1+1+1 [נאר פינעף העקסאגאנאל נומערן] אא״וו.

ווי אויך למשל די נומער 17 איז די סומע פון 12+5 [נאר צוויי פּענטאגאנאל נומערן], 16+1 [נאר צוויי סקווער נומערן], און 10+6+1 [טאקע דריי טרייענגולאר נומערן].

ס׳איז אויך דא אזא זאך ווי פּאַליהידרעל נומערן. א פּאַליהידראַן איז ענליך צו א פּאַליגאַן נאר אין דריי-דיימענשׁאנס; נישט פלאך. אין אונזער פאל מיינט דאס נומערן וואס מאכן, דורך זייערע פּינטעלעך כנ״ל, א געוויסע דריי-דיימענשאנעל שׁעיפּ וואס איז צאמגעשטעלט פון [רעגולארע] פּאַליגאַנס.

די פשוט׳סטע איז א טעטראַהיִדראַן - א פּיראַמיד. דאס ווייסט מען אלס א דריי-דיימענשאנעל טרייענגעל. 4, למשל, איז א טעטראַהידרעל נומער, ווייל איך קען אראפלייגן (אויף די ערד) דריי פּינטעלעך אין א טרייענגעל און אויף זיי אינדערמיט א פערדע פּינטעל, וואס גייט דאס מאכן אויסזעהן ווי א פּיראַמיד. אזוי אויך 10 איז א טעטראַהידרעל נומער, ווייל איך הייב אן מיט׳ן לייגן 6 פּינטעלעך אויף די ערד אין א טרייענגעל, און דערנאך אויף דעם א קלענערע טרייענגעל פון 3 פּינטעלעך, און דערנאך אויף דעם 1.

אגב, אין פּאַסקאַל׳ס טרייענגעל (אביסל באשריבן דא) איז ביי די דריטע 1 צו לינקס אויב גיי איך פון דארט אראפ שׁיִף/דייעגנאל צו רעכטס וועט עס ווייזן אלע טרייענגולאר נומערן [אין צוויי-דיימענשׁאנס], און פון די נעקסטע 1 צו לינקס פון דעם וועט דאס ווייזן שׁיִף/דייעגנאל אויף אראפ צו רעכטס אלע טעטראַהידרעל נומערן [אין דריי-דיימענשׁאנס].

ס׳דא נאך א גאר אינטרעסאנטע זאך מיט טרייענגולאר נומערן וואס רופט זיך ניכאמאכוס׳נס טעארעם. דאס לויטעט אז אויב איך נעם נומערן אין א רייע [1,2,3 אא״וו] און איך ענדיג ביי א געוויסע נומער (לא׳מיר זאגן למשל 3) און איך קיוּבּ יעדעס איינס [דהיינו יעדעס איינס בין איך כופל על עצמו 3 מאל; איך גיב יעדעס איינס אן עקספּאָנענט פון 3] און דערנאך נעם איך די סומע פון זיי אלע, וועט דאס זיין די זעלבע ווי ווען איך נעם די סומע פון זיי אלע מעיקרא און דערנאך סקווער איך עס. ביי אונז וועט עס זיין למשל:
1³+2³+3³ = 1+8+27 = ²(1+2+3) = 6² = 36

די שייכות וואס דאס האט צו טרייענגולאר נומערן איז אז דאס קען אויך געזאגט ווערן אזוי: אויב איך נעם נומערן אין א רייע און איך ענדיג ביי א געוויסע נומער און איך קיוּבּ יעדעס איינס און דערנאך נעם איך די סומע פון זיי אלע, וועט דאס זיין די זעלבע ווי ווען איך נעם יענע מספר פון טרייענגולאר נומער (אנגעהויבן פון 1) און איך סקווער עס. להסביר, לאור אונזער פריערדיגן משל האב איך געענדיגט ביי 3 און עס איז אויסגעקומען צו 36. די ״דריטע״ טרייענגולאר נומער איז 6 [1,3,6], און אז איך סקווער דאס וועט דאס אויך זיין 36.

‏

מי אני

ער האט געשריבן אז ער גייט שרייבן א פּרוּף דערויף אין א קומענדיגע ווערק. עס איז קיינמאל נישט אנגעקומען. (ער האט געטוהן אביסל ענליך בנוגע זיין לעצטע טעארעם באשריבן דא). עס האט גענומען כמעט 200 יאר ביז אן אנדערע פראנצויזישע מאטעמאטיקער, אגוסטין-לואיס קאַוּטשי, האט דאס אויפגעוואוזן פאר אלע נומערן.

די איינציגסטע געהעריגע פּרוּף וואס פערמאט האט יא איבערגעלאזט אינגאנצן האט אויך א שייכות מיט א קלאס פון נומערן וואס האבן אויך א שייכות מיט שׁעיפּס. דאס זענען די קאַנגרוּענט נומערן. דאס מיינט א סארט גאנצע/געהעריגע נומער וואס גייט זיין די עריע פון א רייט טרייענגעל [א טרייענגעל וואס האט אן עק וואס איז ממש עקעדיג; א 90 דעגרי ענגעל], וואס קיין איינע פון אירע זייטן (אפילו דעם אלכסון/היפּאַטענוּס) זענען נישט אירעשׁאנעל נומערן (די זייטן קענען זיין פרעקשאנס/רעשׁאנעל, נאר נישט אירעשׁאנעל וואס זענען נישט קיין פרעקשאנס).

מ׳האט נאך אלס נישט קיין וועג געוואוּר צו ווערן (צוריקצווועגס) אויב א געוויסע נומער איז א קאַנגרוּענט נומער. דאס איז די קאַנגרוּענט נומער פראבלעם.

פערמאט האט אינגאנצן אויפגעוואוזן א טעארעם וואס רופט זיך פערמאט׳ס רייט טרייענגעל טעארעם. דאס ווייזט אויף אפאר זאכן, און איינע פון די זאכן וואס ס׳ווייזט אויף איז אז טאמער זענען אלע זייטן פון א רייט טרייענגעל רעשׁאנעל, קען איר עריע נישט זיין א סקווער פון א רעשׁאנעל נומער. פון דעם קומט אויס אין אנדערע ווערטער אז א קאַנגרוּענט נומער קען נישט זיין קיין סקווער פון רעשׁאנעל נומער. דהיינו, עס קען נישט זיין, למשל 4 אדער 36 וואס זענען סקווערס פון 2 און 6 (רעספּעקטיוולי). ובכלל, הגם עס איז נישט נוגע פאר קאַנגרוּענט נומערן וואס זוכן גאנצע נומערן פאר די עריע (וואס גאנצע נומערן האבן קיינמאל נישט קיין רעשׁאנעל פרעקשאנס [אומגאנצע נומערן] אלס רוטס), וועט דאס אויך זאגן אז די עריע קען נישט זיין א פרעקשאן וואס איז א סקווער פון אן אנדערע [רעשאנעל] פרעקשאן.

פון זיין טעארעם קומט גראדע ארויס נאך אן אינטרעסאנטע קשר (בעסער געזאגט נישט-קשר) צווישן א סקווער און א טרייענגעל בענין זייער עריע. עס לויטעט אז אויב די עריע פון א סקווער און א טרייענגעל זענען די זעלבע, איז אומעגליך אז אלע זייערע זייטן זאל מען קענען שרייבן איינע אויפ׳ן צווייטן [זייטן פונעם טרייענגעל קעגן זייטן פונעם סקווער] ווי א רעשׁאנעל פרעקשאן [זיי זענען נישט קאַמענזשוּרעבּל].

***

דער כינעזער מאטעמאטיקער סאָן זשיוועי האט קאנדזשעקטשורד לגבי פּאַליגאַנעל נומערן אז מ׳קען ארויסשרייבן יעדעס נומער מיט די סארט נומערן אין איינס פון דריי וועגן:

1). די סומע פון צוויי סקווער נומערן מיט א פּענטאגאנעל נומער.

2). די סומע פון א טרייענגולער נומער, א פּענטאגאנעל נומער, און אן איִווען סקווער נומער.

3). די סומע פון א סקווער נומער, א פּענטאגאנעל נומער, און א העקסאגאנעל נומער.

לגבי געוויסע פּאַליהיִדרעל נומערן נומערן איז דא די נאכנישט אויפגעוואוזענע פּאַליִהיִדרעל נומער קאנדזשעקטשור פון פרעדעריק פּאלאק.

צום ערשט דארף מען מסביר זיין אז עס זענען נאר דא 5 ״רעגולארע״ פּאַליהידראנס וואס ווערן גערופן פּלעטאניק סאלידס (כ׳האב עס אביסל דערמאנט דא). דאס זענען די איינציגסטע 5 דריי-דיימענשאנעל שׁעיפס [פּאַליהידראנס] וואס זענען געמאכט פון איין און די זעלבע צוויי-דיימענשאנעל שעיפ [פּאַליגאן] פון אלע זייטן און אזוי ווערן זיי צאמגעשטעלט (אן קיין געפּס כמובן).

דאס זענען:

1). די טעטראַהיִדראַן מיט 4 זייטן פון טרייענגעלס (אונטן אויך כמובן). דאס האט 4 ווערטעקס עקן (וואו איין עק מיט׳ן צווייטן קומען צאם; א קאָרנער).

2). די קיוּבּ מיט 6 זייטן פון סקווערס. דאס האט 8 ווערטעקס עקן.

3). די אקטעהידראן מיט 8 זייטן פון טרייענגעלס. דאס האט 6 ווערטעקס עקן.

4). די דאָדעקאהידראן מיט 12 זייטן פון פּענטאגאנס. דאס האט 20 ווערטעקס עקן.

5). די אייקאסעהידראן מיט 20 זייטן פון טרייענגעלס. דאס האט 12 ווערטעקס עקן.
📎 IMG_6959.jpg


פּאלאק׳ס קאנדזשעקטשור איז אז יעדע נומער קען ארויסגעשריבן ווערן אלס די סומע פון אזוי פיל פון די פלעטאניק סארט פּאַליִהיִדרעל נומערן, מיט נישט מער ווי די צאל פון איינס מער ווי די ווערטעקס עקן וואס ס׳האט. למשל, די טעטראַהיִדראַן בעצם האט 4 ווערטערס עקן, וועט נישט אויספעהלן מער ווי די סומע פון 5 טעטראַהיִדרעל נומערן ארויסצושרייבן קיין שום נומער. א משל אין דעם ביי די נומער 33 וועל איך נישט דארפן מער ווי 5 טעטראַהיִדרעל נומערן: 20+10+1+1+1.

די זעלבע ביי א קיוּבּ נומער, וואס א קיוּבּ האט 8 ווערטעקס עקן וועל איך נישט דארפן מער ווי 9 קיוּבּ נומערן צאמצושטעלן קיין שום נומער. וכן הלאה ביי די אנדערע דריי פּלעטאניק סאלידס/נומערן.

***

די פאָרמולע פון די צאל פּינטעלעך וואס איך דארף צולייגן צו איין פּאַליגאַנעל/פּאַליִהיִדרעל [פיגוּרעיט] נומער עס צו מאכן אין צום נעקסטן אין די רייע, למשל פון א קלענערע סקווער צום סקווער נומער נאכדעם, רופט זיך א גנאָמאַן. למשל, ביי סקווער נומערן איז די גנאָמאַן 2 מאל די נומער וואס איך האלט ביי (אנגעהויבן ביי 0) מיט נאך איינס.

מענין לענין באותו ענין, א זיסע וויץ:
📎 IMG_7009.jpg

ומענין לענין בענין טרייענגולער נומערן איז אינטרעסאנט צוצוצייכענען צום פּאדאוואן סיִקווענס. דאס זאגט אז איינמאל איך האב די ערשטע דריי וועליוּס פון 1, איז די נעקסטע נומער די סומע פון די צווייטע און דריטע פאר עס (אנדערש ווי ביי די פיבּאָנאַטשי סיִקווענס, וואו עס איז די סומע פון די צוויי נומערן גראד פאר עס; דא טוהט מען אויסלאזן די איינע נומער פאר עס).

עס איז אינטרעסאנט צו באמערקן אז טאמער גייט מען דיאגאנאל אין פּאסקאל׳ס טרייענגעל אויף אזא אופן אז מ׳גייט איינס אראפ און צוויי ווייטער, און מ׳רעכענט צאם אלע נומערן דארטן קומט עס אויס צו א פּאדאוואן נומער - א נומער וואס געפינט זיך אין דעם פּאדאוואן סיִקווענס.

ווען מען טוהט דאס ספּיירעלן, ענליך צו ווי ביי די באקאנטע פיבּאָנאַטשי סיִקווענס הנ״ל, קומט עס אויס צו אזא סארט ספּיירעל פון טרייענגעלס כזה:
📎 849FB40F-1614-4296-A9A4-86060B9112C4.png

אין דעם געביט איז דא א קנייטש וואס רופט זיך סענטערד פּאַליגאַנעל נומערן. דאס איז אז אנדערש ווי געהעריגע פּאַליגאַנעל נומערן וואו איך פשוט שטעל אויס פּינטעלעך אנצוקומען צו יענע שׁעיפּ/פּאַליגאַן, הייב איך אן מיט איין איינציגן פּינטעל און ארום דעם שטעל איך אויס פּינטעלעך [עס איז ״סענטערד״] אז עס זאל אויסקומען צו דעם שׁעיפּ.
📎 9D67A301-ABBE-4B10-899A-1E2E6AA45401.jpeg
דא איז א משל פונעם פערטען מאל [דאס ערשטע איז אלעמאל די איינע ״סענטערד״ פּינטעל אינדערמיט] וואס איך מאך דאס ביי סענטערד פּאַליגאַנעל נומער פון א טרייענגעל [3 זייטן], א סקווער [4 זייטן], א פּענטאגאן [5 זייטן], און א העקסאגאן [6 זייטן].

עס וועט אויסקומען אז די צאל פּינטעלעך וואס איך וועל דארפן פאר א געוויסע שׁעיפּ ביי א געוויסע מאל איך נעם ארום דעם סענטער איז האלב פון די מאל וואו איך האלט וואו איך וויל עס ארומנעמען טיימס די נעקסטע מאל און דאס טיימס וויפיל זייטן די עצם שׁעיפּ האט, און דערנאך לייג איך צו איינס.

אפאר אינטרעסאנטע זאכן בנוגע סענטערד פּאַליגאַנעל נומער:

געהעריגע פּאַליגאַנעל נומערן קענען נישט זיין קיינע פּריימס, אחוץ טאמער איז די עצם נומער א פּריים ביים צווייטן מאל [למשל, 3, א פּריים, איז די צווייטע געהעריגע טרייענגולער נומער; וואס 3 איז שורש הטרייענגעל], אבער נאך דעם [למשל אן אנדערן נומער בתוך טרייענגולער נומערן] איז נישט דא. משא״כ ביי סענטערד פּאַליגאַנעל נומער קענען זיי יא זיין פּריימס.

די דריטע סענטערד טרייענגולער נומער איז 10 (קוק די פריערדיגע בילד). פון דארט און ווייטער גייט יעדעס סענטערד טרייענגולער נומער זיין די סומע פון דריי נאכאנאדיגע/קאַנסעקיוּטיוו געהעריגע טרייענגולער נומערן. ווי אויך אויב רעכן איך צאם אין א רייע פון אנהויב ביז א געוויסע צאל סענטערד טרייענגולער נומער גייט דאס אויסקומען די מעדזשיקעל קאנסטענט [די נומער צו וואס אלע זייטן צוזאמען פון א מעדזשיקעל סקווער, וואס איז א סקווער וואס איז צאמגעשטעלט אין זיך פון די זעלבע צאל קעסטעלעך אין די לענג און ברייט אנגעפילט מיט נומערן, וואס ווען איך רעכן אלע צוזאמען פון איין רייע קומען זיי אויס צום זעלבן נומער ביי יעדעס רייע] פון א מעדזשיקעל סקווער וואס האט אט די צאל פון קעסטעלעך אזוי ווי די סענטערד טרייענגולער נומער ביז וואו איך האב צאמגערעכענט. דאס הייבט זיך אבער נאר אן ביי א מעדזשיקעל סקווער פון מער ווי 2 קעסטעלעך, והיינו צאמרעכענען מער ווי די ערשטע 2 סענטערד טרייענגולער נומערן.

די חילוק צווישן צוויי נאכאנאנדיגע/קאַנסעקיוּטיוו (געהעריגע) אקטעגאנעל נומערן [פון 8 זייטן] וועט אלס זיין א סענטערד סקווער נומער.

אויב רעכן איך צאם אין א רייע פון אנהויב ביז א געוויסע צאל סענטערד העקסאגאנעל נומער [פון 6 זייטן] גייט דאס זיין די זעלבע ווי יענע צאל/מאל קיוּבּד [יענע נומער טיימס יענע נומער טיימס יענע נומער].

יעדעס דריטע (געהעריגע) טרייענגולער נומער איז אויך א סענטערד ניינאגאנאל/עניעגאנעל נומער [פון 9 זייטן]. יעדעס פּערפעקט נומער מער ווי 6 איז אויך א סענטערד ניינאגאנאל/עניעגאנעל נומער (עכ״פ אויב איז טאקע נישט דא אזא זאך ווי אן אַדד פּערפעקט נומער). דער (אויבנ-דערמאנטן) מאטעמאטיקער פרעדעריק פּאלאק האט קאנדזשעקטשורד אז יעדעס (געהעריגע/נאטורליכע) נומער קען מען צאמשטעלן פון צום מערסטנס 11 סענטערד ניינאגאנאל/עניעגאנעל נומער. מ׳האט דאס נאכנישט אויפגעוואוזן אדער אפגעפרעגט.

ומענין לענין באותו ענין איז דא די פיר סקווער טעארעם פונעם פראנצויזישן מאטעמאטיקער יוסף לואיס לאגראנדזש. דאס לויטעט אז מ׳קען ארויסשרייבן יעדעס פאזיטיווע אינטעדזשער אלס די סומע פון פיר סקווערס [פיר נומערן וואס יעדעס נומער האב איך געסקווערד/געמאָלטיפּלייד ביי זיך אליין]. (אויב דארף איך נישט פיר סקווערס קען איך זאגן אז 0² איז אויך דערין, וואס עס בלייבט 0.)

מ׳האט דאס אויסגעברייטערט מיט די הילבערט-וואָרינג טעארעם. דאס לויטעט אז פאר יעדעס נומער וואס איך וויל נוצן פאר אן עקספּאנענט אויף ארויסצושרייבן דורך א סומע פון נומערן וואס איך האב פריער עקספּאנענשיעיטעט מיט יענעם נומער, וועט אלס זיין א מאקסימום פון וויפיל נומערן איך דארף אין די סומע מיט יענעם עקספּאנענט אויף ארויסצושרייבן אזוי יעדעס פאזיטיווע אינטעדזשער. פאר אן עקספּאנענט פון 2 [״סקווערס״] הא׳מיר געזעהן אז מ׳דארף נישט מער ווי פיר אויף ארויסצושרייבן יעדעס פאזיטיווע אינטעדזשער. פאר 3 ווייסט מען אז די מאקסימום וואס מ׳דארף איז די סומע פון 9 נומערן וואס מ׳האט פריער גע׳קיוּבּט. למשל, פאר אן עקספּאנענט פון 4 איז דאס 19 נומערן, פאר אן עקספּאנענט פון 5 איז דאס 37, פאר אן עקספּאנענט פון 6 איז דאס 73, פאר אן עקספּאנענט פון 7 איז דאס 143. די טעארעם לויטעט אז עס איז דא א מאקסימום פאר יעדעס עקספּאנענט.

מ׳קאנדזשעקטשורט אז די פונקטליכע צאל וואס איך וועל דארפן איז 2 עקספּאנענשיעיטעד צו יענע עקספּאנענט און דערנאך לייג איך צו 1 און א האלב עקספּאנענשיעיטעד צו יענע עקספּאנענט [איך גיי נאר רעכענען די גאנצע נומער וואס דאס גיבט און נישט רעכענען די דעסימעל/נישט גאנצע נומער עקספּענשאן] און דערנאך נעם איך אראפ 2.

ענליך צו דעם שמועס איז דא אין ריקריעישאנעל מאטעמאטיקס דעם פיר פירס פראבלעם. דאס איז אז איך דארף צוקומען צו א געוויסע נומער דורכ׳ן נאר ארויסשרייבן פיר מאל די נומער 4. איך קען נוצן צווישן זיי (בדרך כלל) יעדעס סארט מאטעמאטישע אפּערעישאן, ווי אויך מעג איך שרייבן 44 אדער 4.4 (הגם דאס ׳עט דעמאלטס אויסנוצן צוויי פון די פיר פירס). דאס האט מען אויך עקסטענדעד צו צב״ש פינעף פינעפס אדער זעקס זעקסעס וכדומה.

עס איז דא נאך א מקצוע אין מאטעמאטיקס וואס מ׳קען אביסל מקשר זיין מיט א משהו ענדליכקייטן צו די מקצוע, וואס רופט זיך פּאַרטישׁאָנס. דאס איז וויפיל וועגן מ׳קען ארויסשרייבן א נומער, סיי אלס זיך אליינס און סיי אלס די סומע פון נומערן וואס זענען קלענער ווי איר. למשל, דאס נומער 4 האט פינעף פּאַרטישׁאָנס: 1+1+1+1, 1+1+2, 2+2, 3+1, און 4.

ווי מ׳קען זעהן איז נישט קיין חילוק אין די סדר ווי אזוי מ׳שרייבט ארויס די פּאַרטס, והיינו די נומערן בתוך די פּאַרטישׁאָן - למשל, 1+1+2 איז דאס זעלבע ווי 1+2+1.

מ׳קען ארויסצייגן און שרייבן פּאַרטישׁאָנס ווי א פערער דייעגרעם אדער א יאָנג דייעגרעם (וואס ווערט אויך גענוצט אין אנדערע מקצועות אין מאטעמאטיקס). דאס איז אז איך שרייב ארויס פּינטעלעך (אויב איז עס פערער) אדער קעסטעלעך (אויב איז עס יאָנג; א יאָנג דייעגרעם גייט טאקע זיין א ‏פּאַליִאַמינוֺי): די וואס זענען אין די ברייט זענען איין פּאַרט בתוך דעם פּאַרטישׁאָן און אונטער דעם די אנדערע; יעדע רוֺי איז א פּאַרט דערין. דא איז א משל פון א פערער דייעגרעם פון די פּאַרטישׁאָן פונעם נומער 4:
📎 70659368-FF1D-4200-9C43-FAC4B10FC209.jpeg
ביי די משל אז איך גיי דרייען די פּאַרטישׁאָן 90° וועט עס נאך זיין די זעלבע: די פּאַרטישׁאָן פון 3+1 וועט ווערן 2+1+1. דעריבער ווערן די צוויי פּאַרטישׁאָנס גערופן סעלף-קאַנדזשוגעט. עס איז דא אמאל ווען אז איך דריי איין פּאַרטישׁאָן באקום איך א נייע צווייטע. דאס ווערט גערופן א קאַנדזשוגעט פּאַרטישׁאָן. דא איז א משל דערפון ביי צוויי פּאַרטישׁאָנס פונעם נומער 14. אז איך דריי דעם לינקן [לויט די דייעגנאל אנגעהויבן פונעם אויבערשטן לינקן פּינטעל], באקום איך א נייע: 📎 ABA77EDC-DE79-467C-BAC0-C84F90DCFB84.jpeg

עס איז נישטא קיין געהעריגע [״פארמאכטע״] פאָנקשׁען וואס קען זאגן גענוי די צאל פונעם פּאַרטישׁאָן פון א נומער. דער מאטעמאטיקער סריניוואַסאַ ראַמאַנוזשאן איז אויפגעקומען מיט אפאר אינטרעסאנטע המצאות דערין, וואס מען רופט ע״ש ראַמאַנוזשאן קאַנגרוּענסעס. זיי לויטן אז:

אויב איז א נומער איינס ווייניגער ווי א מאָלטיפּל פון 5 [טאמער עס וואלט געווען איין מער וואלט מען עס געקענט פונקטליך דיוויידן ביי 5], דעמאלטס איז אירע צאל פון פּאַרטישׁאָנס א מאָלטיפּל פון 5.

אויב אויב איז א נומער צוויי ווייניגער ווי א מאָלטיפּל פון 7, דעמאלטס איז אירע צאל פון פּאַרטישׁאָנס א מאָלטיפּל פון 7.

אויב אויב איז א נומער פינעף ווייניגער ווי א מאָלטיפּל פון 11, דעמאלטס איז אירע צאל פון פּאַרטישׁאָנס א מאָלטיפּל פון 11.

ווי אויך האט לעאנהערד אוילער אויפגעוואוזן אז:

אין יעדע נומער וואס די צאל פון אירע פּאַרטישׁאָנס וואס האבן צום מערסטענסט נישט מער ווי דריי פּאַרטס צוזאמען, וועט זיין די זעלבע ווי די צאל פון אירע פּאַרטישׁאָנס וואס האבן אין זיך נישט קיין שום פּאַרט וואס איז מער ווי 3.

אין יעדע נומער וואס די צאל פון אירע פּאַרטישׁאָנס וואס יעדעס איינע פון די פּאַרטס איז אן אנדערע נומער, איז די זעלבע ווי די צאל פון אירע פּאַרטישׁאָנס וואס אלע פּאַרטס דערינען זענען אַדד.

דערנאך איז דא די ראַדזשערס-ראַמאַנוזשאן אידענטיטעט וואס זאגט אז אין יעדע נומער וואס די צאל פון אירע פּאַרטישׁאָנס וואס יעדעס איינע פון די פּאַרטס איז אן אנדערע נומער ווי אויך איז יעדעס פּאַרט דערין אפגערוקט פונעם אנדערן מיט מער ווי 1, איז דאס די זעלבע ווי די צאל פּאַרטישׁאָנס אינעם נומער וואס יעדעס פּאַרט איז 1 מער אדער ווייניגער פון א מאָלטיפּל פון 5 [והיינו, 1, 4, 6, אדער 9].

אויך ענליך צו דעם אלעם זענען די פּראַניק נומערן. דאס איז א נומער וואס איך באקום דורכ׳ן מאלטיפלייען צוויי נומערן וועלכע זענען איינע נעבן די אנדערע. זיי זענען ענליך צו פּאַליגאַנעל נומערן ווייל מען וועט אלס קענען אויסשטעלן פּראַניק נומערן אין פּינטעלעך ווי א רעקטענגעל.

עס קומט אויך אויס אז, לא׳מיר זאגן למשל, די פיפטע פּראַניק נומער איז צוויי מאל די טרייענגולער נומער אינעם זעלבן פלאץ; אין אונזער משל דעם פיפטען. עס וועט אויך זיין אזויפיל מער ווי די סקווער נומער פונעם זעלבן פלאץ; אין אונזער משל וועט עס זיין 5 מער ווי די פיפטע סקווער נומער. ווי אויך וועט די פּראַניק נומער זיין די חילוק צווישן איינס מער ווי צוויי מאל די סקווער נומער פון דעם זעלבן פלאץ סקווערד, און דעם פלאץ׳נס סענטערד העקסאגאנעל נומער. די סיריִס פון די רעסיפּרעקאלס פון אלע פּראַניק נומערן [איבערגעדרייט צו פרעקשאנס] וועט קאַנווערדזשן צו 1. ווי אויך איז קיין שום פּראַניק נומער, חוץ 2, א פּריים (ווי אויך איז חוץ 2, קיין שום פּראַניק נומער נישט אינעם פיִבּאָנאַטשיִ סיִקווענס).

בנוגע סענטערד פיגורעיט נומערן איז דא די שטערן נומער. דאס איז וואו איך קען אויסשטעלן פינטעלעך ארום איין פינטל אינדערמיט וואס איז סענטערד אזוי אז עס זאל אויסקומען צו א שטערן פון זעקס שפיצן; א מגן דוד [העקסעגרעם].

די דידזשיטעל רוּט פון יעדעס שטערן נומער איז אדער אן 1 אדער א 4, און אויב די דידזשיטעל רוּט פון די פריערדיגע שטערן נומער איז 1, איז די דידזשיטעל רוּט פון די נעקסטע שטערן נומער 4, וההיפך בהיפך.

עס קומט אויך אויס אז די צאל שטערן נומער וואו מ׳האלט וועט זיין צאמגעשטעלט פון 12 פון די זעלבע טרייענגולער נומערן פון איינס פאר די צאל וואס נעמען ארום דעם איינס אינעם סענטער. למשל, די דריטע שטערן נומער איז 37. עס איז צאמגעשטעלט פון 12 פּאָרן פון די צווייטע טרייענגולער נומער וואס איז 3. והיינו, נאכ׳ן האבן דעם 1 אין סענטער נעמט עס ארום 36 פונקטן שהיא 12x3.

בנוגע [פּערפעקט] סקווער נומערן און קיוּבּ נומערן איז דא האָל׳ס קאָנדזשעקטשור פון דר. מאַרשאל האָל. דאס לויטעט אז אויב האב איך א סקווער נומער און א קיוּבּ נומער [וואס זענען נישט די זעלבע] דאן וועט די אַבּסאלוט וועליוּ [מיינענדיג אז נישט קיין חילוק וואס עב קומט אויס, אפילו צו א נעגאטיווע נומער, רעכען איך עס דאך ווי א פאזעטיווע נומער] פון די דיפערענץ ווען איך נעם אוועק דעם קיוּבּ נומער פונעם סקווער נומער, דאן וועט דאס אלס זיין מער ווי סקווער רוּט (פון די אַבּסאלוט וועליוּ) פונעם שורש פונעם קיוּבּ נומער [מיינענדיג נאכ׳ן עס טאקע קיוּבּן] און מאָלטיפּלייד ביי א געוויסע נומער. דר. האָל האט געקלערט אז די נומער איז א 1/5. עס איז דא א ״שוואכערע״ פארעם פון די קאנדזשעקטשור, וואס מ׳גלייבט איז ענדערשער אמת, וואו אנשטאט א סקווער רוט איז עס אז פאר יעדעס רוּט מער ווי 2 און יעדעס רוּט מער ווי 2 גייט האבן א נומער דערצו ביי וואס איך מאָלטיפּליי עס כנ״ל וואס גייט מאכן זיין ווייניגער כנ״ל.

‏ועיין כאן בנוגע פּילאַי׳ס קאנדזשעקטשור.

א דזשענערעלייזד פּענטאגענעל נומער איז ווען איך נעם א סענטערד העקסאגענאל נומער און איך צוטייל דאס אין צוויי פון נאך די מיטעלסטע שורה; די מיטעלסטע שורה גייט צו די גרעסערע העלפט און פון די קלענערע העלפט פעהלט עס. די צאל פון די גרעסערע העלפט וועט זיין א געהעריגע פּענטאגענעל נומער און די קלענערע העלפט וועט זיין א דזשענערעלייזד פּענטאגענעל נומער (וואס די געהעריגע פּענטאגענעל נומערן זענען אויך נכלל בתוך די ברייטערע כלל).
📎 2C0E9DCA-4EEF-45D8-98A1-B44AF0A352C5.jpeg
אין דעם איז דא פון לעאנהארד אוׂילער די פּענטאגענעל נומער טעארעם. דאס לויטעט אז אויב וועהל איך עני נומער און איך נעם 1 מיינוס דעם נומער און דערנאך מאָלטיפּליי איך דאס ביי 1 מיינוס דעם נומער ווען עס איז געהעכערט צו אן עקספּאנענט פון 2, און דערנאך מאָלטיפּליי איך דאס ביי 1 מיינוס דעם נומער ווען עס איז געהעכערט צו אן עקספּאנענט פון 3, וכן הלאה והלאה עד אינפיניטי - דאן גייט דאס קאנווערדזשן צו די זעלבע קאנווערדזשענס ווי ווען איך הייב אָן מיט 1 מיינוס דעם נומער, מיינוס דעם נומער געהעכערט צו אן עקספּאנענט פון 2, פּלאָס דעם נומער געהעכערט צו אן עקספּאנענט פון 5, פּלאָס דעם נומער געהעכערט צו אן עקספּאנענט פון 7, וכן הלאה והלאה וואו יעדעס צוויי טערמינען אין דעם סיריִס ווערן געמיינוסט און נאכדעם צוויי געפּלאָסט וחוזר חלילה, און וואו די עקספּאָנענטס פון די נומערן זענען (אין דעם סדר) די דזשענערעלייזד פּענטאגענעל נומערן.

בנוגע [רעגולארע] פּאַליִטוֺיפּס, והיינו שׁעיפּס אין עני דימענשאן [פּאַליִגאַנס זענען 2D און פּאַליִהיִדראַ זענען 3D אא״וו], איז דא די געדאנק פון שׁלעפליִ׳ס נומער ווי אזוי זיי צו דעפינירן. מ׳הייבט אָן אין 2D ביי פּאַליִגאַנס וואס דאן האט עס נאר איין פשוט׳ע נומער עפ״י אירע זייטן: א טרייענגעל איז {3} א סקווער איז {4} אא״וו. ביי 3D, ביי פּאַליִהיִדראַ, גייט דאס שוין באשטיין פון צוויי נומערן. למשל א קיוּבּ וואס האט ארום יעדעס פון אירע ווערטיסיִס/עקן 3 סקווערס גייט זיין {4,3} - עס האט א סקווער, דהיינו א 4 פּאַליִגאַן, 3 מאל ארום יעדעס ווערטעקס/עק. ווען איך רוק מיר ארויף צו 4 דיימענשאנס גיי איך לייגן נאך א נומער צום סוף וואס זאגט וויפיל מאל דאס אלעס איז ארום יעדעס עק וכו׳ דערפון. אא״וו.

מ׳האט אויבן גערעדט פון די פּלעטאַניק סאַלידס, והיינו די 5 איינציגסטע רעגולארע פּאַליִהיִדראַ ביי 3D, איז אינטרעסאנט צו דערמאנען אז עס זענען אויך דא 4 ״שטערן״ רעגולארע פּאַליִהיִדראַ וואס הגם זיי זענען אדער צאמגעשטעלט פון 2D נישט קאנוועקס שטערנס אדער לבסוף זענען זיי נישט קאנוועקס שׁעיפּס ווייל זייערע עקן שטעקן זיך ארויס און האבן טאָלן, זענען זיי אבער צאמגעשטעלט פון די זעלבע 2D שׁעיפּס. זיי ווערן גערופן קעפּלער-פּוֺינסאט פּאַליִהיִדראַ.
📎 FA4F9F46-3C3F-436C-9490-A8E2312E1397.jpeg

דער מאטעמאטיקער לודוויג שׁלעפליִ (פון די שׁלעפליִ נומערן) האט אויפגעוואוזן אז עס זענען דא אין 4D זעקס רעגולארע קאנוועקס פּאַליִטוֺיפּס וואס זענען צאמגעשטעלט פון די זעלבע 3D שׁעיפּס. דאס זענען די גרעפס פון זיי (די ערשטע פון רעכטס איז די באקאנטע טעסערעקט):
📎 A3A4EE52-CA6C-4B10-B948-31CA7FD2A2F3.jpeg
📎 A3080BFF-092F-4C33-9452-0FE09A49E654.jpeg
עס זענען אויך דא אין 4D צעהן רעגולארע שטערן פּאַליִטוֺיפּס צאמגעשטעלט פון די זעלבע 3D שׁעיפּס.

און אביסל בענין זה איז אינטרעסאנט צוצוצייכענען צו פּיק׳ס טעארעם. דאס לויטעט אז אויב איך האב אויף א גרעף [צאמגעשטעלט פון אייניגע סקווערס/קעסטעלעך] א פשוט׳ע פּאַליגאַן, דאן גייט די עריע דערפון [אין טערמינען פון די גרעף סקווערס] זיין די צאל פונקטן [די עקן פון די קעסטעלעך] וואס זענען דערין בתוכה צוזאמען מיט האלב פון די צאל פונקטן וואס זענען אויף איר גבול און דערנאך נעם איך אראפ 1. א משל [וואו די רויטע פונקטן זענען בתוכה און די גרינע על הגבול]: 📎 A6867412-3768-4E9B-A126-9748E87FF3B0.png

ובזה איז אויך דא דעם געדאנק פונעם גאַוּס סירקל פראבלעם. דאס איז אז ווען איך מאך א סירקל אויף אזא סארט גרעף, אויב למשל איז די רעידיאוס [די ווייטקייט פון אן עק ביז׳ן צענטער] דערפון 5 פונקטן, וועט דאך די עריע פונעם גאנצן סירקל זיין 25 [די רעידיאוס 5 סקווערד: 5²] טיימס π, וואס דאס קומט אויס צו בערך 78 און אהאלב [אין טערמינען פון אט די פונקטן]. אבער אז מ׳קוקט אויף דעם סירקל זעהט מען אז עס אנהאלט אין זיך 81 פונקטן; א חילוק פון בערך 4 אהאלב צום עריע. כזה:
📎 00E87B33-BADA-4965-8B39-B588F428600D.png
אויב מאכט מען דאס קלענער טוישט זיך די עריע אבער נישט קיין סאך, אבער עס פארמאגט שוין פיל ווייניגער פונקטן. די פראבלעם איז צו געבן א מאטעמאטישע בּאַוּנד/גבול דערצו עפ״י וואס איז די יחס פונעם עריע דערפון [אין טערמינען פון פונקטן כנ״ל] צו די פונקטן וואס עס טוהט פאקטיש אנהאלטן בתוכה.

אפאר אינטרעסאנטע זאכן בנוגע טרייענגולער נומערן:

1). יעדעס [איִווען אויב עס איז בכלל דא אַן אַדד] פּערפעקט נומער איז אויך א טרייענגולער נומער.

און אין דעם ענליך צו ניכאמאכוס׳נס טעארעם איז אז יעדעס [איִווען אויב עס איז בכלל דא אַן אַדד פּערפעקט נומער], אחוץ די נומער 6, קען ווערן צאמגעשטעלט פון צאמ׳עדדן נאכאנאדע אַדד נומערן אין א רייע וואס זענען אלע קיוּבּד.

2). יעדע צוויי נאכאנאדע טרייענגולער נומערן וועלן צוזאמען זיין א סקווער נומער. למשל, 15 [די פיפטע טרייענגולער נומער] און 21 [די זעקסטע טרייענגולער נומער] זענען צוזאמען 36 וועלכעס איז א סקווער נומער.

3). עס איז נישטא א טרייענגולער נומער וואס איז פּריים אחוץ די נומער 3.

4). אויב מ׳נעמט 9 מאל א טרייענגולער נומער און מ׳לייגט צו דערצו 1, וועט דאס זיין נאך א טרייענגולער נומער. אויב נעמט מען 8 מאל א טרייענגולער נומער און מ׳לייגט צו דערצו 1, וועט דאס זיין א סקווער נומער.

5). עס זענען דא אַן אינפיניט צאל פון נומערן וואס זענען סיי א טרייענגולער נומער און סיי א סקווער נומער. די אלע גייען קענען ווערן דיוויידעד ביי 9 [אָן א רימעינדאר].

6). יעדעס נומער [גרעסער ווי 1] וואס ווערט געהעכערט צו אַן עקספּאָנענט פון 4, קען אויך ווערן צאמגעשטעלט ווי די סומע פון צוויי טרייענגולער נומערן.

7). אז איך עדד צוזאמען נומערן 9 וואס יעדעס איינס איז געהעכערט צו איין עקספּאָנענט מער ווי די פריערדיגע עקספּאָנענט (אָנגעהויבן פונעם עקספּאָנענט 0 וואס געבט מיר די נומער 1), איז ווי איך שטעל מיך נאר אפ וועט די סומע זיין עפעס א טרייענגולער נומער.

8). די אינטרעסאנטע פּעטערן: 📎 AF0D7021-EC04-435A-BEB6-FD1FA7274C3A.jpeg

ובנוגע פּיטאגראיען טריפּלס, והיינו א 90⁰ טרייענגעל וואס אירע זייטן זענען אינטעדזשער נומערן [נישט נאר רעשאנעל ווי פריער], איז דא א וועג ווי אזוי זיי צו טרעפן. דאס ארבעט אז איך וועהל א נומער פאר איין זייט פון 3 און העכער. אויב איז די נומער אַדד דאן סקווער איך דאס און איך נעם דערנאך האלב דערפון [אויב איז דאס נישט א גאנצע נומער ראַוּנד איך דאס אראפ צום גאנצן נומער און איגנאריר די פרעקשאן]. דאס גייט זיין מיין צווייטע זייט און 1 מער פון דעם גייט זיין די דריטע זייט/היפּאַטענוּס.

אויב איז די ערשטע זייט/נומער אַן איִווען נומער דאן דיווייד איך דאס אין האלב און דערנאך סקווער איך עס. איינס ווייניגער ווי דעם וועט זיין מיין צווייטע זייט און איינס מער דערפון מיין דריטע זייט/היפּאַטענוּס.

טרייענגעלס וואס זענען נישט ״רייט״/90⁰ און אלע זייטן זענען גאנצע אינטעדזשערס [ווי אויך איר עריע], ווערן זיי גערופן העראָניען טרייענגעלס. עס וועט אויסקומען אז די פּערימעטער ארום דעם [די לענג פון אלע ווענט צוזאמען] וועט אלס זיין אַן איִווען נומער. ווי אויך גייט איר עריע אלס קענען ווערן דיוויידעד ביי 6 אָן א רימעינדאר. אין 3D, א טעטראָהיִדראָן/פּערפעקט פּיראמיד, גייט עס זיין העראָניען אויב אירע זייטן, פנימ׳ער, און וואַליוּם דערין זענען אלע גאנצע אינטעדזשער נומערן. אלע 2D פנימ׳ער דערפון גייען דאן ע״כ מוזן זיין העראָניען טרייענגעלס.

אז מ׳טוהט עקסטענדן דעם פּיטאגראיען טעארעם צו העכערע דיימענשאנס קומט אויס אז עס איז כולל אין זיך מער. והיינו, ביי די 3D קיוּבּוֺיד:
📎 8DB93A35-2146-4BC2-9A88-AA3868DCC7AD.jpeg
איז די שיפקייט פון איין עק אונטן ביז׳ן עק אויבן קעגנאיבער, באצייכענט אלס d, א היפּאַטענוּס פון א טרייענגעל געשטעלט אין די שיפקייט; די לייט-גרעי 2D טרייענגעל אינעם בילד. די קורצע פיס פון אט די טרייענגעל, באצייכענט אלס x, איז אליינס די היפּאַטענוּס פון די 2D טרייענגעל וואס איז אויף די פלאכקייט פונעם 3D קיוּבּוֺיד; די שטארק טונקעלע טרייענגעל אינעם בילד. קומט דאך אויס, עפ״י דעם פּיטאגראיען טעארעם, אז די קורצע פיס פון דעם גרעסערן לייט-גרעי טרייענגעל איז אליינס אזוי גרויס ווי ביידע קלענערע סקווערס פונעם טונקעלע טרייענגעל. און ביי די לייט-גרעי טרייענגעל וועט דאך איר שיפקייט/היפּאַטענוּס זיין אזוי גרויס ווי ביידע סקווערס פון סיי x, וואס איז שוין כולל אין זיך ביידע סקווערס פונעם קליינעם טונקעלע כנ״ל, מיט די הויכקייט פונעם קיוּבּוֺיד. וממילא איז די פּיטאגראיען טעארעם פון די שיפקייט פון די קיוּבּוֺיד וואס איז כולל הן די הויכקייט און הן די טיפקייט:
a² + b² + x² = d²
עס איז כולל אין זיך פיר טערמינען. דאס קען ווערן עקסטענדעד צו העכערע דיימענשאנס, וואו די ״שיפקייט/היפּאַטענוּס״ איז אין יענע עקסטערע דיימענשאן, וואו עס וועט כולל זיין נאך א טערמין - פינעף ביי 4D, זעקס ביי 5D וכן הלאה כנ״ל.

און אין דעם, און אז מ׳האט דערמאנט פּלעטאַניק סאַלידס איז דא אין דעם, ביי טעטראָהיִדראָנס, דע גאַוּ׳ס טעארעם. דאס לויטעט אז אויב איך האב א טעטראָהיִדראָן וואס דריי פון אירע זייטן זענען רייט [90⁰] טרייענגעלס, אויב עס איז למשל ״אפגעשניטן״ פון די עק פון א קיוּבּוֺיד כזה:
📎 2D85FEE4-2C2B-4421-8E89-49DCEC3E635C.png
דאן וועט די סקווער פון די עריע פון די [גרעסערע] זייט וואס איז נישט רייט [90⁰; וואס איז באדעקט אינעם בילד/מקום החתך] זיין די סומע פון די עריע סקווערד פונעם ערשטן רייט זייט, צוזאמען מיט די עריע סקווערד פונעם צווייטן רייט זייט, און צוזאמען מיט די עריע סקווערד פונעם דריטן רייט זייט. (דאס קען מען אויך דזשענערעלייזן צו העכערע דיימענשאנס וכעין כנ״ל.)

לגבי פּאַרטישאנס איז טאמער וויל מען וויסן וויפיל קאַמבּינעישאנס עס איז דא, וואו די סדר אין ארויסשרייבן די נומערן מאכן נישט אויס (ועיין כאן), דאן איז דא דערין די ראַמאַנוּזשאַן-האַרדי-ראַדעמאַכער פארמולא. דאס איז א קאמפליצירטע סיריִס וואס געבט אַן approximate ענטפער דערצו.

דאס ארבעט עפ״י די געדאנק פון א דעדעקינד סומע. דאס איז אז ווען איך האב צוויי נומערן וואס זענען קאָפּריים, והיינו אז זיי האבן נישט קיינע אייניגע נומערן (חוץ די נומער 1) וואס קען זיי ביידע דיוויידן אָן א רימעינדאר, דאן נעם איך די סיריִס אָנגעהויבן פון 1 ביז 1 ווייניגער פונעם צווייטן נומער איך האב געוועהלט און איך עדד זיי צאם על זה הדרך: די נומער וואו איך האלט יעצט טיימס π דיוויידעד ביי די צווייטע נומער איך האב געוועהלט, און דערנאך נעם איך די קאָטענדזשענט דערפון פון די ענגעל מיט די וועליוּ [אין רעידיענס] (והיינו די רעישׁיאוֺ פון זייט נעבן די ענגעל צום/דיוויידעד ביים זייט קעגנאיבער איר ווען דאס זאל ווען זיין ביי א רייט טרייענגעל). דערנאך מאָלטיפּליי איך דאס ביים קאָטענדזשענט פון די נומער וואו איך האלט יעצט טיימס π טיימס די ערשטע נומער איך האב געוועהלט דיוויידעד ביים צווייטן נומער איך האב געוועהלט. און די פראצעדור טוה איך ביי יעדן נומער איך האלט אינעם סיריִס און דאס אלעס עדד איך צאם. דערנאך מאָלטיפּליי איך דאס אלעס ביי 1 דיוויידעד ביי 4 מאל די צווייטע נומער איך האב געוועהלט. 📎 10AE57FE-6F7D-4C6A-A84A-91FE8AD59CE7.jpeg יעצט, די ראַמאַנוּזשאַן-האַרדי-ראַדעמאַכער פארמולא ארבעט אז איך נעם די סיריִס אָנגעהויבן פון 1 ביז אינפיניטי פון די נומער וואס איך וויל וויסן די צאל פון אירע פּאַרטישאנס. ביי יעדעס נומער ווי איך האלט וועל איך אליין צאמרעכענען די סיריִס פון אלע נומערן ביז איר וואס זענען קאָפּריים צו איר ועל דרך זה ביי יעדעס איינס: זייער דעדעקינד סומע (וואס איז אליינס א סיריִס וכנ״ל) וואו די קאָפּריים איז די ערשטע נומער און די נומער איך האלט יעצט (פונעם ערשטן סיריִס) איז די צווייטע, און די דעדעקינד סומע מיינוס 2 מאל די נומער איך וויל געוואור ווערן די פּאַרטישאן פון טיימס די קאָפּריים און דיוויידעד ביים נומער איך האלט יעצט. דאס גיי איך מאָלטיפּלייען ביי π און ביי i און דאס געבן אלס די עקספּאָנענט צו אוילער׳ס נומער e (ועיין כאן בענין אוילער׳ס אידענטיטעט). אזוי טוה איך ביי יעדעס קאָפּריים. 📎 DD21B261-60E5-4B53-9BC1-522B20330768.jpeg דאס וואס איך באקום פון די עקספּאָנענשיעישאן (ביי יעדעס קאָפּריים, פאר׳ן אלעס צאמעדדן) מאָלטיפּליי איך ביים סקווער רוּט פונעם נומער וואס איך האלט יעצט אינעם סיריִס מעיקרא. דערנאך דיוויידעד איך π ביים נומער וואו איך האלט יעצט און איך מאָלטיפּליי דאס ביי די סקווער רוּט פון צוויי דריטל פון די נומער וואס איך וויל וויסן די צאל פון אירע פּאַרטישאנס מיינוס א פיר-און-צוואנציגסטל. דאס וואס איך באקום דערפון נעם די הייפּערבּאליק סיין דערפון (וואו אנשטאט רעכענען די סיין פון די ענגעל אויף א טרייענגעל ביחס צו וואו איך שאף דאס בתוך א סירקעל, רעכען איך עס ביחס צו וואו איך שאף דאס אויף די זייט פון א הייפּערבּאלא). דערנאך מאָלטיפּליי איך דאס ביי 1 דיוויידעד די סקווער רוּט די נומער וואס איך וויל וויסן די צאל פון אירע פּאַרטישאנס מיינוס א פיר-און-צוואנציגסטל. דערנאך נעם איך די דעריוועטיוו פון דאס אלעס. דאס אלעס טוה איך ביי יעדעס קאָפּריים וואו איך האלט און דערנאך עדד איך דאס אלעס צאם. און די גאנצע פראצעדור טוה איך ביי יעדעס נומער וואו איך האלט אָנגעהויבן פון 1 און דאס אלעס עדד איך צאם. (עס איז אבער א קאנווערדזשענט סיריִס.) און דערנאך מאָלטיפּליי איך דאס ביי 1 דיוויידעד ביי π טיימס די סקווער רוּט פון 2. 📎 B36FE9E9-614A-4598-A630-5912C8618472.jpeg ‏דאס איז מקושר צו אוילער׳ס פּענטאגענאל נומער טעארעם.

אפלטון אין זיין רעפּאָבּליק דערמאנט עפעס ברמיזה א געוויסע נומער. אסאך פירושים זענען געזאגט געווארן אויף צו מסביר זיין וואס ער מיינט און וואס איז ״אפלטון׳ס נומער. וואס א גרויס חלק מפרשים האלטן אז ער מיינט איז די פּיטאגאָריען טריפּל (וואו דריי נומערן, יעדעס איינס געהעכערט צו אַן עקספּאָנענט פון 3, צוזאמען קומען אויס צו א פערטע נומער געהעכערט צו 3): 📎 E428DC2D-84A3-41B5-B8DF-6CBC187D89A9.jpeg אין דעם זענען זיי דאך פיר נומערן אין א רייע.

לגבי סומעס פון פּאַוּערס און אביסל ענליך צו פערמאט׳ס לעצטע טעארעם איז דא דאס וואס לעאנהערד אוילער האט קאנדזשעקטשורד. דאס איז אז אויב זענען דא א צאל גאנצע אינטעדזשערס וואס איך עדד צוזאמען וואס אלע נומערן זענען געהעכערט צו עפעס אַן עקספּאָנענט, און די סומע דערפון איז א גאנצע אינטעדזשער געהעכערט צו אט דעם עקספּאָנענט, דאן איז די צאל נומערן וואס איך עדד צוזאמען כאטשיג אזוי גרויס ווי די עקספּאָנענט.

מ׳האט אבער געוואוזן אז הגם דאס איז אמת פאר וואו די עקספּאָנענטס זענען 2 אדער 3 איז דאס אבער נישט אמת פאר וואו די עקספּאָנענטס זענען 4 אדער 5: 📎 Euler.jpg 📎 68255AAB-BB51-48DB-9AD0-19EEEAD35443.jpeg מ׳ווייסט נישט צי דאס איז יא אדער נישט אמת פאר עקספּאָנענטס פון 6 און העכער.

וע״ע כאן, וכאן, וכאן אודות טעקסיקעבּ נומערן והמסתעף.

אויסגעברייטערט אין דעם איז דא די לאנדער, פּאַרקין, און סעלפרידזש קאָנדזשעקטשור. דאס לויטעט אז אויב האב איך צוויי אנדערע סעטס פון פּאזיטיווע אינטעדזשערס וואס קיין איינס אין איין סעט איז נישט דומה צום צווייטן סעט, און איך העכער יעדעס נומער און ביידע סעטס צום זעלבן אינטעדזשער, און ווען איך רעכן צאם די צאל אין איין סעט איז עס די זעלבע ווי די סומע פונעם צווייטן סעט, דאן מוז זיין אז די צאל נומערן פונעם ערשטן סעט מיט די צאל נומערן פונעם צווייטן סעט זענען כאטשיג אזוי גרויס ווי די עקספּאָנענט וואס מ׳האט גענוצט. 📎 2C1B1394-E12A-449C-A5AB-9BDD3C49F636.jpeg ענליך צו דעם אלעם איז דא די פּראַוּהעט-טערי-עסקאַט פראבלעם. דאס בעהט אז מ׳זאל טרעפן צוויי סעטס מיט די זעלבע צאל נומערן (אבער אנדערע נומערן אין יעדעס סעט [זיי זענען דיסדזשוינט סעטס]) וואס ווען איך העכער אלע נומערן צום זעלבן פּאַוּער, נישט קיין חילוק וועלכע פּאַוּער אין א רייע ביז א געוויסע פּאַוּער, זאל די סומע פון יעדעס סעט צוזאמען זיין דאס זעלבע. עס מוז זיין אז די צאל נומערן מוזן זיין גרעסער ווי די גרעסטע עקספּאָנענט וואס מ׳גייט נוצן. דא איז א משל פון צוויי סעטס פון זעקס נומערן אין יעדעס איינס: 📎 26D68DC1-4C7D-4090-BDDA-14D2253CF64B.jpeg מ׳קען נוצן דעם טוּ-מאָרס סיִקווענס צו טרעפן solutions דערצו. די סיִקווענס ארבעט אז מ׳הייבט אָן פונעם ערשטן נומער. אויב ווען מ׳שרייבט דאס אין בּיינערי האט עס אַן אַדד צאל 1׳ס געבט מען דאס אַן ״1״, עס איז אַן אוֺידיִאוס נומער, און אויב האט דאס אַן איִווען צאל 1׳ס געבט מען דאס א 0, עס איז אַן איִוועל נומער.

עפי״ז קען מען טרעפן א solution צום פּראַוּהעט-טערי-עסקאַט פראבלעם, ווען מען וועהלט זיך עני נומער פאר׳ן עקספּאָנענט וואס עפי״ז וועט מען זיך וועהלן א צאל נומערן וואס וועלן זיין אין יעדעס סעט. דאס איז אז מען געבט דעם עקספּאָנענט צו 2 (א פּאַוּער פון 2) און די אויסקום איז די צאל נומערן פון יעדעס סעט. דערנאך הייב איך אָן די נומערן אין א רייע פון 0 ביז איינס ווייניגער ווי 2 געהעכערט צו אַן עקספּאָנענט פון איינס העכער די עקספּאָנענט איך האב געוועהלט. דערנאך, אלע אוֺידיִאוס נומערן אין די רייע לייג איך אריין אין איין סעט און אלע איִוועל נומערן אינעם אנדערן. 📎 73650391-774D-40CA-A524-2738BD10E213.jpeg

📎 A32E0A2C-90E6-4ECD-B58F-A472844528AD.jpeg די תירוץ איז ״ניין״.

מי אני

📎 A32E0A2C-90E6-4ECD-B58F-A472844528AD.jpegA32E0A2C-90E6-4ECD-B58F-A472844528AD.jpeg די תירוץ איז ״ניין״.

וואס האט עס צוטוהן צו עס דארף ווערן פלאצירט דווקא אין צענטער אדער נישט? (דאס איז די איינציגעסטע הודעה אין דעי אשכול וואס איך פרוביר בכלל צו פארשטיין)

לכאורה ווייל במושכל ראשון וואלט מען געקלערט אז דאס צו מאכן דארף די איבעריגע פינטל דוקא יא פלאצירט ווערן אינדערמיט. וויבאלד סתם אזוי וואלט דאך געפעהלט איין פינטל עס צו מאכן א פונקטליכע סקווער ברבוע. ולכן וואלט מען געקענט קלערן אז די טרייענגלס נעמען עס ארום ביי די עקן ביז מ'קומט צו צו אינדערמיט, וואס אט דארט לייגט מען צו די איין איבעריגע פינטל וואס פעהלט כדי דאס צו מאכן א סקווער.

ולגבי פארשטיין די אשכול קען מען זאגן בדרך צחות אז דער רמב"ם במו"נ (ח"ג פ"ח) איז מדמה חומר צו אַן אשה וואס דארף אלס די צורה שהוא בעלה. און די חומר איז אזוי ווי אַן אשת איש וואס וויל מזנה זיין, וויבאלד זי זוכט אלס אַן אנדערן צורה ע"ש. נו, די פסוק זאגט אין קהלת (ז כו-כז) ומוצא אני מר ממות את האשה אשר היא מצודים וחרמים לבה אסורים ידיה טוב לפני האלקים ימלט ממנה וחוטא ילכד בה, והיינו די אשת איש וואס וויל מזנה זיין מיט אַן אנדערן "צורה" [שׁעיפּ]. און דער פסוק איז ממשיך, ראה זה מצאתי אמרה קהלת אחת לאחת למצא חשבון, והיינו בענין זה, ה"צורה", איז דאך דאס אויך שייך בענין חשבון ומספר. און ער איז ממשיך דערנאך (נאכ'ן איבער'חזר'ן), מי כהחכם ומי יודע...

(נישט דא קיין דאונעיט קנעפל פאר מי אני'ס ארבעט?)

זאגסט, די גמרא זאגט דאך אין פסחים קד.

א"ר יוחנן בנן של קדושים אומר אחת ונהגו העם לומר שלש מאן ניהו בנן של קדושים רבי מנחם בר סימאי ואמאי קרו ליה בנן של קדושים דלא איסתכל בצורתא דזוזא

איז לגבי די "אחת" ונהגו לומר "שלש", מיינענדיג, וואו מ'דארף צולייגן נאך "איין" פונקט נאך דעם וואס מ'שטעלט אויס די טרייענגולאר/"שלש" נומערן דערין, בין איך אבער נישט קיין "בנש"ק" וואס איז נישט מסתכל ב"צורתא" ("צורה" = שׁעיפּ) דזוזא... 😃

זאגסט אויך, (קהלת ה ט) אוהב כסף לא ישבע כסף ומי אוהב בהמון וגו'. אויב געבט מען נישט קיין המון "לייקס" ("אוהב") פאר דעם, זאל מען געבן "כסף"?...

לגבי דעם אייקאסעהידראן און דעם גאָלדען רעישׁיאוֺ: 📎 15963131-1FA3-4BA5-A3A2-A96BD6A66639.jpeg און אז מ׳רעדט שוין: 📎 4243BA9A-A49F-45F5-8C08-7BBB383E927D.jpeg ***

ולגבי פערמאט'ס לעצטע טעארעם און טעקסיקעבּ נומערן שרייבט דער מאטעמאטיקער דר. קרישנאַסוואַמי אַלאַדי: 📎 ראמאנוזשאן.jpg גוטע שאלות וקושיות קענען נאך זיין פונקט אזוי גוט און וויכטיג ווי תירוצים.

‏דא האב איך צוגעברענגט דעם געדאנק פונעם קאטש סנויפלעיק אינעם סוגיא פון פרעקטעלס:

מי אני

אין פרעקטעלס איז א קאטש סנויפלעיק א טרייענגעל וואס נאכדעם יעדע (גראדע) זייט צוטייל איך אין דריי און איך לייג צו נאך א חלק א דריטל, און איך בייג ארויף די מיטעלסטע צוויי חלקים. איך טוה דאס נאכדעם איבער און איבער (זעה בילד אין לינק). עס וועט אויסקומען אז די שעיפ, א סנויפלעיק, וועט האבן א פיניט עריע אבער אן אינפיניט פערימעטער.

די ערשטע מאל וואס מ׳טוהט די פראצעדור צו א טרייענגעל ווערט דאס א מגן דוד.

עס איז אינטרעסאנט צו באמערקן אז אויב טוהט מען דעם פּראצעדור אין 3D מיט א טעטראַהיִדראַן אַן אינפיניט צאל מאל, קומט עס צום סוף אויס צו א קיוּבּ (אַן אנדערע פּלעטאַניק סאַליד). 📎 6048A624-7025-4E85-93B7-E3E6E5ABB1C1.jpeg📎 836ACC90-6851-4E3E-B767-1E64CCBAADA4.jpeg📎 B9231793-C47C-4D57-854B-720FC68B1874.jpeg📎 5F5E460F-4C46-486D-818C-AC5596A39A8B.jpeg📎 99796AA5-2548-4872-857A-4D0F79C9EC66.jpeg

מי אני

לכאורה ווייל במושכל ראשון וואלט מען געקלערט אז דאס צו מאכן דארף די איבעריגע פינטל דוקא יא פלאצירט ווערן אינדערמיט. וויבאלד סתם אזוי וואלט דאך געפעהלט איין פינטל עס צו מאכן א פונקטליכע סקווער ברבוע. ולכן וואלט מען געקענט קלערן אז די טרייענגלס נעמען עס ארום ביי די עקן ביז מ'קומט צו צו אינדערמיט, וואס אט דארט לייגט מען צו די איין איבעריגע פינטל וואס פעהלט כדי דאס צו מאכן א סקווער.

שיינט מיר מער אויס ווי אן אחוזת עניים ווי אלס מושכל ראשון. די וויזשיאל פיקטשער האט אויסגעשטעלט נומערן פון א Equilateral triangle און פארעמס פון העלף סקווער טרייענגל. צו פארבלענדען אז דאס קען זיך פארן אלס סקווער. קוק אויף די בילד, די אלע טרייענגלס צורה (נישט די פינטעליך) איז א 45, 45, 90 , בעת אן עכטע Equilateral triangle איז אייביג 60 דעגרי איבעראל.

כפארשטיי אז 10 איז מעצמו א טרייענגלער נומער. אבער עס אריינלייגן און די שעיפ איז פשוט פארפירערד

מיט וואס איז דער בילד טרייענגל נומער? ווייל עס ליגט און א שעיפ פון א טרייענגל און סאיז 10? די רעכטע זייט פונעם טרייענגל מצד זיין מקום פארנעמט מער פון פיר. ממילא רעפרעזענט דער 'בילד' נישט קיין באמת קיין טרייענגלער נומער.

וואס איך קלער די מושכל ראשון איז, איז מכח ווייל אלע 8 צוזאמען שטעלן דאס אויס צו א סקווער מיינוס 1 - נישט אז יעדעס פּאָר פון טרייענגעלס שאפט א סקווער. וא״כ קלערט מען אז דאס ארבעט אז זיי אלע גייען ארום און ארום א פונקט ביז זיי פילן עס אָן און דארט איז וואו די איבעריגע פונקט גייט.

‏יעדעס טרייענגולער נומער איז אַן עקוועלעטערל טרייענגעל אין טערמינען פון וויפיל פינטעלעך עס האט אויף יעדעס זייט - אלעמאל דאס זעלבע. דא איז עס טאקע אויסגעשטעלט אזוי אז די פּינטעלעך אויף די עדזשעיסענט און אפּאזיט זייטן זענען נענטער ווי די אויסגעשטעלט אויף די היפּאַטענוס, וממילא זענען זיי דא א רייט איסאַסעליִס טרייענגעל. ער שטעלט זיי אזוי אויס די טרייענגולער נומערן דא אלס איסאַסעליִס טרייענגעלס, וויבאלד איה״נ אז יעדעס טרייענגולער נומער איז אַן עקוועלעטערל טרייענגעל, אבער דאס גייט פּאַסן אין די עריע פונעם סקווער נומער וואו איך קום אָן צום סוף, וואו יעדעס פּינטעל איז 45⁰ ביחס באלכסון צו אנדערע.

אויב מוז מען נישט האלטן יעדע שיעפ פאר זיך, מיט וואס איז דער "ספעשיל דאט" אזוי ספעציעל? יעדער דאט איז א דאט פאר זיך און מדראף צולייגן איינס. פון די שאלה וואו דער ספעשיל דאט קומט זעה איך אז די שעיפס מוזן בלייבן גאנץ.

איה"נ. די שׁעיפּס בלייבן טרייענגעלס. זיי ווערן נאר "געסטרעטשט" פון זיין מעיקרא עקווילעטערעל טרייענגעלס אין צו רייט איסאַסעליִס טרייענגעלס, כדי צו פּאסן אין די סקווער וואו די פּינטעלעך ווערן בהכרח באלכסון 45⁰ ווי די היפּאטענוס פונעם רייט איסאַסעליִס טרייענגעלס. אין אזא פאל פרעגט ער צו די איבעריגע פּינטל איז דוקא אינדערמיט.

פשוט צי מסביר זיין פארוואס 8 טרייענגלער נומערן פלאס איינס מוז ווערן אן אדד סקווער, קען מען מסביר זיין קוקענדיג פארקערט, וויאזוי מאכט פון א סקווער אכט טרייענגלס.

( כבין נישט מסביר דא פארוואס די עקסטרע דאט דארף נישט גיין אינדערמיט, נאר די הנחה פשוטה וואס ער האט אראפגעלייגט פאראויס , פארוואס סאיז אזוי)

צו שניידען א סקווער פאר אכט טרייענגלער , מוז יעדע טרייענגל זיין האלב פון די לענג פון די סקווער מיינוס איינס, בלייבט בהכרח איבער איינס אינדערמיט. און בהכרח דארף עס זיין אדד.

פון אן איווען סקווער איז נישט שייך ארויסצונעמען עקווילעטערעל טרייענגעלס.

האלב מיין איך נישט די טרייענגל נומער , נאר יעדע זייט פונעם טרייענגל איז האלב פון די לענג פון די סקווער מינוס איינס

למשל, די סקווער פון 11×11 וועט די טרייענגלס זיין 15 וואס איר לענג איז 5, דאס איז 11 מינוס 1, צעטיילט און האלב.

זעה בילד דא
https://i.stack.imgur.com/Y3gel.gif
https://i.stack.imgur.com/Y3gel.gif

און אויב איז מיין חשבון וואס כהאב געשריבן פריער אויסגעהאלטן, איז די חידה טאקע נישט בלויז א מושכל ראשון, נאר איך קום פון דארט, און די שאלה איז צו מען אנדערש מסדר זיין די שעיפס און צוריקומען צום אריגינעלן סקווער

זיי ווערן נאר "געסטרעטשט" פון זיין מעיקרא עקווילעטערעל טרייענגעלס אין צו רייט איסאַסעליִס טרייענגעלס

לויט פריער דערמאנט, איז די שורה נישט ממש ריכטיג, עס איז ריכטיג אויב מקומט גלייך פון עקווילעטערעל טרייענגלס

ייש״כ!

יא יא, איך קום פון די עקוועלעטערל טרייענגעלס מעיקרא מיט וואס מ׳הייבט אָן. און ווי איך פארשטיי, ווייזט דאס וואס דו ברענגסט ארויס אז איך בין גערעכט מיט׳ן אפלערנען דעם מושכל ראשון: די פיר משלים ווייזן, ווען מען גייט צוריקצווועגס ווי דו ווייזט, ווי די טרייענגעלס ווערן געשאפן פון דאס ארומגיין א צענטראלע פונקט (ואפשר דה״ה ג״כ באיטערעישאנס). וממילא איז די שאלה צי מ׳קען דאס ענדגילטיג אויסשטעלן און טיילן אנדערש.

עס איז אויך מן הראוי לציין אז אין די משלים וואס דו צייכענסט צו, וואו מ׳הייבט אָן פונעם סקווער און דערנאך מאכט מען טרייענגעלס, אז אלע טרייענגעלס וואס ווערן געמאכט זענען (בהכרח) רייט איסאַסיליִס טרייענגעלס; אפילו פון אַן אַדד סקווער (די משלים וואס דו ברענגסט צו).

ומענין לענין באותו ענין דערמאנט דאס פון וואס דר. וויקטאר בּלאַזשאָ זאגט איבער וויאזוי מאטעמאטישע פּרוּפס גייען צו אין דזשיאמעטרי כהיום, לעומת די קאַנסטראָקשענס וואס די יוונים האבן געמאכט:

Today, the issue of diagram fallacies is taken to show how dangerous it is to rely on visual and intuitive assumptions. The solution is to purge geometry of any kind of reasoning based on diagrams. In the late 19th century this view was expressed forcefully by leading geometers, and it has remained the mainstream view ever since. “A theorem is only proved when the proof is completely independent of the diagram,” as Hilbert said for example. Instead of relying on pictures, geometry must be made to proceed through purely logical deduction

יא זענען רייט איסאסילעס טרייענגלס און שיעפ, אבער דאך עקווילעטערעל טריינעגלס אין מספר, וואס איז נישט קיין סתירה (מיינע ערשטע תשובות האבער געמיינט אז סאיז איז. זעט אויס איך ניץ נאך חכמת יוונים נישט,19th סענטרי)

סקוקט אויס ווען איך באניץ מיר מיט ווערטער למשל איסאַסיליִס, ווי איך קען די ווארט שוין יארן.. נעכטן נישט געהאט קיין מושג וואס דאס מיינט, היינט ניץ איך עס. אזוי איז ביי אלע זאכן, הערסט מענטשן רעדן מיט קאנפעדענט און א נושא, און די שפירסט ביסט נישט דערין. (ניין איך קען נישט,און בין נאכנישט,אנגעקומען צו פארשטיין אפס קצהו פון מי אני. )
נאר עס איז מיר שווער צו פארשען מי אני'ס ענגלישע טערמינען געשריבן און אידיש ווייל איך קען עס נישט,גוגלען דורך קאפי פעסט, דאך איז עס גוט ווייל איך קען עס בעסער פראנאנסען דערנאך

א קאטש סנויפלעיק א טרייענגעל וואס נאכדעם יעדע (גראדע) זייט צוטייל איך אין דריי און איך לייג צו נאך א חלק א דריטל, און איך בייג ארויף די מיטעלסטע צוויי חלקים. איך טוה דאס נאכדעם איבער און איבער (זעה בילד אין לינק). עס וועט אויסקומען אז די שעיפ, א סנויפלעיק, וועט האבן א פיניט עריע אבער אן אינפיניט פערימעטער.

נאכן נישט פארשטיין וואס די שרייבסט, האבעך געהאט א קלאץ קשיא, וואו איז שייך אז די עריע איז פיניט, איך לייג דאך אייביג צו נאך און נאך וועט עס ווערן גרעסער און גרעסער.

נאכן ליינען אביסל אין אנקומען צו נייע מושגים וואס דאס מיינט קאנווערדשען און דייווערדשזן (מיין איך אז ) כ'פארשטיי אז פיניט מיינט נישט אז די עריע וועט אויפהערן ערגעץ וואו וואקסן, נאר די וואוקס (די טאטעל ) איז מוגבל זיך צו האלטן בתוך א דיפיינט עריע, אבער אה"נ די פיינעל "פינקטליכע" עריע און נישט באוויסט, אלעס וואס איך ווייס איז אז דער סנופלעיק איז מוגבל צו 8/5 אויף די ארגינעלע עריע


אויב דאס איז פשט. פארוואס איז דער גרויסער חידוש דא? יעדע זאך וואס איך עדד צו איפעניט מאל מיט א סיריס (לכאורה סעריע, נאר מיר פרובירן זיך צו האלטן ענגליש מיט אידישע, בוכשטאבן) וואס איז א פרעקשן ווייניגער פון איינס, איז די עריע פיניט בעת די פרעמירטער אינפיניט

איז די סיריע א סקווער באקס ביי האלב, נישט פיניט עריע און אינפיניט פערעמיטער?
https://i.stack.imgur.com/aJIWl.png

נישט אויסגעשטעלט אזוי ווי די בילד נאר יעדע סקווער אויף די טאפ פון די אנדערע
כזה

https://i.imgur.com/Bvwvkx1.png

איה"נ. די געדאנק איז אז ביי אזא סארט אויסשטעל און אינפיניט איטירעטיוו געבוי, טוהט די עריע קאנווערדזשען בשעת די פּערימעטער טוהט דיווערדזשען. בפשטות איז דאס ווייל לגבי די עריע איז דאס וואס קומט צו צום שטח אלס קלענער און קלענער, אזש אז די קאנווערדזשענט לימיט איז 8/5 די אריגינעלע טרייענגעלס שטח. משא"כ לגבי די פּערימעטער וואס איך גיי דערויף און ארום צו רעכענען, האלט דאס אין איין וואקסן, אזש אז איך וועל קיינמאל נישט ענדיגן מיין "שפאציר" דערויף וואס איך רעכען עס.

ביי דיין משל פונעם סקווער, ווי איך פארשטיי, טוהט די פּערימעטער און עריע בכלל נישט וואקסן - עס בלייבט גענוי דאס זעלבע (גרויסע) ריבוע וואס נעמט ארום פריער. איך לייג נאר צו אַן אינפיניט צאל פון סקווערס בתוכה איינס קלענער ווי דאס צווייטע. (אגב, עס דערמאנט מיר אביסל פון וואס איך האב דא געשריבן.)

וואס הייסט די סקווער וואקסט נישט, דאס אז עס בלייבט אינעם גרויסן (בלויען) סקווער באדייט אז די עריע פון אלע איניפיט רויטע סקווערס איז פיניט, אבער ער ווערט גרעסער און גרעסער בשיכות צום אגינעלן רויטער סקווער (פונקט וואו ביי דעם סנויפלעיק לייגט מען ציי מבחוץ), דאך וועט די פרימעטער פון אלע רויטע סקווערס זיין אינפיניט

איך רעד בלויז פון די רויטע סקווערס עריע און פרימעטער, די בלויע האב איך פשוט געלייגט צו ווייזען אז די עריע בלייבט אינעם עריע פון צוויי מאל די ארגינעלע עריע.

עפעס מיס איך?

אַה. בנוגע די אינפיניט רויטע קליינע סקווערס איינס קלענער פונעם צווייטן, ביזטו גערעכט. די עריע/שטח וואס קומט צו גייט טאקע קאנווערדזשען, בשעת די פּערימעטערס וואס קומען צו דיווערדזשען.

מי אני

בפשטות איז דאס ווייל לגבי די עריע איז דאס וואס קומט צו צום שטח אלס קלענער און קלענער, אזש אז די קאנווערדזשענט לימיט איז 8/5 די אריגינעלע טרייענגעלס שטח.

לויט ווי איך פארשטיי איז נישט בלויז ווייל עס ווערט קלענער און קלענער, דאס וואלט עס נאכנישט געמאכט פיניט, נאר דאס אז ער פארקלענערט זיך מוט א פרעקשען פונעם פריערדיגן, דאס מאכט איך זאל גענען וויסן וואו זיין גבול איז.
אויב קוקסטו אויף מיינע רויטע סקווערס און די נעמסט עס פארקערט (איך קום אייביג אן צוריקציוועגס, אזוי וואו פריער ביים טרייענגל שמועס) די הייבסט אן פון די קליינעם, די טאטעל עריע פון אלע סקווערס וועט אייביג אריינפיטן און די גרעסער סקווער איינס דערנאך.

כמו 1+2+4+8+16 וועט אייביג זיין מיט איינס קלענער פון די נעקסטע פאווער 32. וכו.
דאס איז דו סיבה וואט איז זעה עס פארן זיין פיניט.
ווייל אז די נעמסט די גרויסע, און די לייגסט צו עפעס מיט א חשבון וואס איז האלב דערפון וכו וכו, ווייסטו גענוי אז וואס אימער די וועסט נאר צילייגען מיט דעם סיריס וועט דער טאטאל צוגעלייגטע עריע נישט זיין גרעסער פונעם ארגינעלען עריע, דאס מיינט אז די עריע איז פיניט און קאנווערדשד אין צוויי מאל די ארגינעלע.
יעצט ביי די סנויפלעיק, וויבאלד די סיריס איז נישט האלב איז דער חשבון אנדערש אבער אויפן זעלבן וועג.

כהאף איך בין גענוג קלאר מיט מיין צושטעל