קאלקולוס הילף

איך מאך אויף דעם אשכול ספעציעל פאר קורצע דיסקוסיעס ארום קאלקולוס.
יעדער איינער וואס האט עפעס א שאלה אדער סתם אן אינטרעסאנטע הערה, איז מכובד צו פאוסטן.
איך בעט בתחנונים די אלע וועלכע קענען און זענען אינטרעסירט, ביטע לאזט מיר נישט זיין דא דער איינציגער נאר. (@קול דודי @יידל @אנאנים וכו׳).

איך פאנג אן מיט א לימיט, ווער קען מיר העלפן עס אויספיגורן;

וועסט מוזן מער מסביר זיין וואס פונקט איז אזוי שווער אויסצורעכענען דעם לימיט דא, ווייל דער sin דארט פארדרייט מיר א קאפ. טשעקנדיג וואלפראם זאל זיין געזונט ווייזט ער מיר אזוי:
📎 lim.gif

חוץ אז דער sin9 מיינסטו רעדיענס?

און דעם פאל, ווען סאבסיטושען מיט (איקס=0) געט 0/0, קען מען ניצן הלכות ל'האפיטאל.

http://en.wikipedia.org/wiki/L'H%C3%B4pital's_rule

דהיינו, דיפערענשיעישן פונ'ם אויבערשטן חלק געט:
📎 lim.gif
דיפערענשיעישן פונ'ם אנדערן חלק געט:
📎 lim2.gif
יעצט פרוביר סאבסיטושען:
<a class="postlink" href="http://www.wolframalpha.com/input/?i=9cos%289*0%29%2F6&a=TrigRD_R">http://www.wolframalpha.com/input/?i=9c ... a=TrigRD_R</a>

אגב, און דעם פאל איז עס גרינג צו פרשטיין, ווייל סין(איקס) ~ איקס, ווען איקס איז זייער קליין (דהיינו ווען איקס איז "בערך" זערא).

נו געגאנגען....
קענסט אויפמאכן א באזונדערע אשכול פאר אלגעברא.

יידל

וועסט מוזן מער מסביר זיין וואס פונקט איז אזוי שווער אויסצורעכענען דעם לימיט דא, ווייל דער sin דארט פארדרייט מיר א קאפ.
טשעקנדיג וואלפראם זאל זיין געזונט ווייזט ער מיר אזוי:
📎 lim.gif

חוץ אז דער sin9 מיינסטו רעדיענס?

איך רעד וועגן רעדיענס.
אבער איך מיין אז עס איז עניוועיס נישט קיין חילוק, עס וועט אייביג זיין די זעלבע זאך, (רעדיענס, דיגריס, אדער אנדערע).
(@קול דודי בין איך גערעכט?)

קול דודי

און דעם פאל, ווען סאבסיטושען מיט (איקס=0) געט 0/0, קען מען ניצן הלכות ל'האפיטאל.

מוז מען טאקע צוקומען צו לופיטאל׳ס כלל?

לאמיר פראבירן:
איך פאנג אן מיט אונזער אויבנדערמאנטע לימיט.


צום ערשט וועל איך טוישן דעם דינאמינעיטער אביסל צו:

דערנאך וועל איך עס שרייבן אלס:

יעצט קען איך צוטיילן די לימיט אין צוויי באזונדערע פונקציעס:


די קאנסטענט פונקציע בלייבט אזוי ווי עס איז.

און די אנדערע פונקציע, קען איך סאלוון לויט דעם כלל אז:

(און ה"ה לכל מכפלה פון x).

באקום איך טאקע:




האב איך זיך שיין אן עצה געגעבן אן דארפן נוצן דיפרענטיעישן.

יא, גערעכט, וויבאלד ס׳איז דער זעלבער איקס אויבן אין אונטן מאכט עס נישט קיין חילוק דא. אבל נקוט כלל זה בידך: סתם סין, קאס ודומיהן רעדיענס הן.

יא, דאס ארבעט אויך. אבער ל׳האפיטאל איז געווענליך גרינגער פונ׳ם סענדוויטש טעארם, וואס די רופסט אן א ״כלל״ אבער ביזט נישט מסביר פון ווי עס קומט. מ׳קען ניצן ביידע דא. אבער סתם זאגן אז ס׳איז א ״כלל״ ארבעט נישט, ווייל ״כך קבלו מרבותי״ איז נישט א חלק פון קאלקולוס.

קול דודי

יא, דאס ארבעט אויך. אבער ל׳האפיטאל איז געווענליך גרינגער פונ׳ם סענדוויטש טעארם, וואס די רופסט אן א ״כלל״ אבער ביזט נישט מסביר פון ווי עס קומט. מ׳קען ניצן ביידע דא. אבער סתם זאגן אז ס׳איז א ״כלל״ ארבעט נישט, ווייל ״כך קבלו מרבותי״ איז נישט א חלק פון קאלקולוס.

איז וואס זאל איך טוהן אז איך האב מיר אנגעשטויסן אין אט דעם כלל, נאך אסאך פאר ווען איך האב געלייענט איבער דיפרענטישען.

הע, איך הער. אבער באמת איז ל׳אפיטאל פון די גרינגסטע וועגן צי טרעפטן א לימיט (דארט ווי מ׳מעג עס ניצן). ווי די ווייסט מן הסתם, איז דיריוועטיווס גאר גרינג צו וויסן על פי רוב, אנדערש ווי פרובירן צי טרעפן פאנקשענס פאר׳ן סענדוויטש טעארם.

קול דודי

הע, איך הער. אבער באמת איז ל׳אפיטאל פון די גרינגסטע וועגן צי טרעפטן א לימיט (דארט ווי מ׳מעג עס ניצן). ווי די ווייסט מן הסתם, איז דיריוועטיווס גאר גרינג צו וויסן על פי רוב, אנדערש ווי פרובירן צי טרעפן פאנקשענס פאר׳ן סענדוויטש טעארם.

כ'פארשטיי, אבער דא האבן מיר שוין א כלל גדול, אז:

the limit of ((sin of a small number) divided in the same small number) equals to one

איך פייגער פאר קנאה!

געפילטע פיש

איך פייגער פאר קנאה!

נו. קנאת סופרים תרבה חכמה.
אבער אמת'דיג, איך גלייב אז ווען דו זאלסט פארשטיין די קאנסעפטס דערפון, וואלטסטו געוווען דא א גרויסע הילף.
ועיי' ערך.

כ׳האב א פראבלעם, עס געהערט טאקע נישט צו קאלקולוס, אבער כ׳האב נישט ערגעץ אנדערש וואו עס צו לייגן.
איז אזוי, איך האב א סעט פון עלעמענטן, וואס יעדע עלעמענט איז א מסודר׳דיגע פאר פון צוויי נומערן, ווי למשל:
{(1,1),(2,4)...}
איך וויל קענען איבערדרייען די צוויי נומערן אין איין נומער מיט עפעס א פארמולע, וואס איך זאל קענען שפעטער צוריק דרייען.
כלומר, איך דארף עפעס א פונקציע וואס וועט מיר אייביג געבן נאר איין וואליו פאר יעדע וואליו, און קיינמאל נישט די זעלבע וואליו פאר צוויי אנדערע וואליוס.

(בדרך אגב, כ׳ווייס א פארמולע, אבער איך ווייס נישט פארוואס ס׳איז טאקע אזוי, סא @געפילטע פיש איז געלאדנט זיך צו ברעכן די קאפ 🙂 ).

ס'דארף דיר קענען זאגן די ארגינעלע אויסשטעל? למשל 2,4 מעג זיך אויסמישן מיט 4,2?

געפילטע פיש

ס'דארף דיר קענען זאגן די ארגינעלע אויסשטעל? למשל 2,4 מעג זיך אויסמישן מיט 4,2?

יא (ס׳טאר זיך נישט אויסמישן). דערפאר האב איך געשריבן ״א מסודר׳דיגע פאר״.


נאך א וויכטיגע תנאי, די גאנצע שפיל מוז זיין נאר מיט נאטורליכע נומערן. (דהיינו, גאנצע פאזיטיווע נומערן). 

האו אבאוט דו מאכסט א גראדע ליין (אלכסון\הייפאטענוס) פון די x y axis און דאס רעכענסטו אויס מיטן פייטאגאריען טעארום, סאו פאר 4,2 באקומסטו 4.472135955, איי ס'וועט דאך זיין די זעלבע פאר 4,2 און 2,4? מאך אז טאמער איז די ערשטע נומבער > די צווייטע נאמבער לייגט מען צו א געוויסע וועליו. קען עס ארבעטן?


נע, סקרעטש איט, ס'דא מער ווי צוויי פוינטס וואס קומען צו צום זעלבן וועליו, ספעציעל אויב דו לאצט נוצן נישט קיין גאנצע נומבערס, למשל 4.3,2.8

געפילטע פיש

האו אבאוט דו מאכסט א גראדע ליין (אלכסון\הייפאטענוס) פון די x y axis און דאס רעכענסטו אויס מיטן פייטאגאריען טעארום, סאו פאר 4,2 באקומסטו 4.472135955, איי ס'וועט דאך זיין די זעלבע פאר 4,2 און 2,4? מאך אז טאמער איז די ערשטע נומבער > די צווייטע נאמבער לייגט מען צו א געוויסע וועליו. קען עס ארבעטן?


נע, סקרעטש איט, ס'דא מער ווי צוויי פוינטס וואס קומען צו צום זעלבן וועליו, ספעציעל אויב דו לאצט נוצן נישט קיין גאנצע נומבערס, למשל 4.3,2.8

קודם כל:

פארוואס?

נאך א וויכטיגע תנאי, די גאנצע שפיל מוז זיין נאר מיט נאטורליכע נומערן. (דהיינו, גאנצע פאזיטיווע נומערן). 

צווייטנס, איך קען נישט נוצן קיין if statements, איך דארף אן ״אייניגע״ פארמולע פאר אלע נומערן.

אקעי. די פארמולע איז נישט טריוואל, (אנטשולדיג פארן לאזן סתם ברעכן די קאפ).

לאמיר זאגן אז מיר האבן א פאר פון צוויי נומבערס די ערשטע איז x און די צווייטע איז y. און ביידע זענען נאטורליכע נומערן. דאן וועלן מיר טוהן דאס:



דאס הייסט מיר גייען נעמען די סומע פון די צוויי נומערן און עס דאפלען אין זיך (סקווערד), דאן נעמען מיר אראפ דעם ערשטן נומער, מיר נעמען אראפ דריי מאל דעם צווייטן נומער, מיר נעמען אראפ צוויי, און מיר צוטיילן עס אין צוויי.

יעצט איז געבליבן צו עס אויפווייזן אדער אפפרעגן. (אויף עס אפצופרעגן איז גענוג אויב מיר וועלן טרעפן א דוגמא וואס עס ארבעט נישט).

@קול דודי

איך האב געשריבן א קאוד דערפאר. ווער עס וועט טרעפן צוויי אנדערע סעטס וואס געבן די זעלבע רעזולטאט, האט עס אפ געפרעגט:

<!DOCTYPE html>
<html>
<body>

<p>Hello! What's doing? Let's try something fun!</p>
<form id="frm1">
First nunber: <input type="text" name="fnum" value="first"><br>
Last number: <input type="text" name="lnum" value="second"><br><br>
</form> 

<p>Click "Get the result" to display the result.</p>

<button onclick="myFunction()">Get the result</button>

<p id="demo"></p>

<script>
function myFunction() {
    var z = document.getElementById("frm1");
    var ax = z.elements[0].value;
    var ay = z.elements[1].value;
    var x =  parseInt(ax);
    var y =  parseInt(ay);
    var a = x + y;
    var b = a * a;
    var  c = b - x;
    var d = 3 * y;
    var e = c - d;
    var f = e + 2;
    var g = f / 2;

  
    document.getElementById("demo").innerHTML = g;
}
</script>

</body>
</html>

אוי געוואלד. הזמן קצר והמלאכה מרובה. כ'האב נישט קיין אויפווייז. אבער זעי דעם JPEG וואס כ'האב דא צוגעשטעלט פאר א שטיקל התחלה. קענסט פרעגן אויב עפעס איז נישט קלאר. דאס איבריגע לאז איך פאר דיר.


📎 X-001 - Copy.jpg
📎 X -002 - Copy.jpg

איך לייען, איך קוק, איך דוכן, איך גלייז, איך קלאץ אינעם חלל. איך פארשטיי נישט קיין ווארט. מיין גאנצע וועזן איך אבער פארפלייצט מיט אויסערגעווענליכע עמאציעס. ווען קול דודי איז אין טאון איז לבי דופק בקרבי. יעצט ווייס איך אז קאווע שטיבל האט זיך געלוינט אפ' נאר פאר די צוויי פאפירלעך. בלייבט פאר מיר איבער נאר איבערצוחזר'ן וואס געפילטע פיש האט שוין געזאגט: "איך פייגער פאר קנאה!"

עס איז נישט קיין קשיא פון (1,1) און (0,3), ווייל מיר האבן זיך אויסגענומען אז מיר רעדן נאר פון נאטורליכע נומערן. (וואס נעמט נישט אריין זערא).

ובזה נתיישב לי מה שהקשה לי @געפילטע פיש באישי, מה הצורך להוסיף ולחלק בשתיים, טאקע צוליב דעם פאר (1,1) וואס אויב מיר וועלן דאס נישט טוהן וועלן מיר באקומען 0, וואס איז נישט נכלל אין אונזער שפיל. ודו״ק).

פארוואס?

עס איז נישט קיין קשיא פון (1,1) און (0,3), ווייל מיר האבן זיך אויסגענומען אז מיר רעדן נאר פון נאטורליכע נומערן. (וואס נעמט נישט אריין זערא).

יא, פארדעם האב איך געשריבן אז לויט דיינע כללים האט עס נישט א סאלאשן.

פארוואס?

בזה נתיישב לי מה שהקשה לי @געפילטע פיש באישי, מה הצורך להוסיף ולחלק בשתיים, טאקע צוליב דעם פאר (1,1) וואס אויב מיר וועלן דאס נישט טוהן וועלן מיר באקומען 0, וואס איז נישט נכלל אין אונזער שפיל. ודו״ק).

וואלט מען דאך געקענט צולייגן איינס? ונראה לי שקושיות הרב פיש עדיין בתקפתו.

גערעכט.
Something is wrong here...

ענדליך בין איך אנגעקומען צום מקור פון אט די פונקציע, באקאנט אין ענגליש אלס pairing function, אדער אין העברעאיש "פונקציית הזיווג", וואס כשמו כן הוא, ער נעמט צוויי נאטורליכע שטיק, און ער פארוואנדלט זיי אין איינס ככתוב והיו לבשר אחד.

די הוכחה דערפאר איז געבויעט אויף Triangular number, און עס פאדערט א שטיקל אריכות.
אבער אין קורצן.
מיר האבן א פונקציע , וואס געבט אונז פאר יעדן נאטורליכן נומער דער סומע פון אלע נאטורליכע נומערן קלענער פון איהם (נישט אינקלודינג איהם).

מיר זענען זיכער אז עס איז פארהאן א נומער לאמיר איהם רופן z, וואס וועט זיין:

מיר קענען שרייבן z אלס: .

די איבעריגע איז איבערגעלאזט אלס homework...

פארוואס?

ענדליך בין איך אנגעקומען צום מקור פון אט די פונקציע, באקאנט אין ענגליש אלס pairing function, אדער אין העברעאיש "פונקציית הזיווג", וואס כשמו כן הוא, ער נעמט צוויי נאטורליכע שטיק, און ער פארוואנדלט זיי אין איינס ככתוב והיו לבשר אחד.
[..]
די איבעריגע איז איבערגעלאזט אלס homework...

אינטערעסאנט. הערות:
דיין פאנקשן איז נישט די זעלבע ווי P1 דארט.
p1 = ([x + y]^2 + x + 3y) / 2
פארוואס? דארט ארבעט אפילו אויף פארן וואס אנטהאלטן זערא. אויך, די הוכחה דארט פון ארבעט נישט אויף דיינס, עכ"פ נישט אויב די נעמסט אן די דעפעניציע פון יענעם successor.

אה, לכאורה נעמט זיך דיין פאנקשן פון
(n (n - 1)) /2)
דהיינו, דיינס איז:
(x + y)(x + y - 1)/2 - (y - 1)

קול דודי

אה, לכאורה נעמט זיך דיין פאנקשן פון
(n (n - 1)) /2)
דהיינו, דיינס איז:
(x + y)(x + y - 1)/2 - (y - 1)

שטימט.
דאס איז כמעט די זעלבע פונקציע, נאר ס׳געבט די סומע פון אלע נאטורליכע נומערן קלענער פון n, נישט אריינגערעכנט n אליינס. בין איך גערעכט?

------
פארראכטן אויבן.

פארוואס?

בין איך גערעכט?

ביזט גערעט מיט דעם, אבער וויאזוי די הוכחה ארבעט אויף דעם פאנקשן ברויך נאך א הסבר. ס'דארף אסאך שיקול הדעת און אביסל שווערע טראכטן.

לאמיר עס ערקלערן. 
מיר ווילן אז א נאטורליכע נומער זאל רעפרעזענטירן א פאר פון צוויי נאטורליכע נומערן. 
די ערשטע געדאנק וואלט געווען, אז די סומע פון די צוויי נומערן (x+y) זאל עס טוהן. סא לאמיר אנרופן: n=x+y
אמנם דא עקא, אז יעדע נומער קען זיין א סומע פון צוויי באזונדערע נומערן, מער ווי איינמאל. 
נאכן אביסל אריינטראכטן וועסטו קומען צו די מסקנא, אז יעדע נומער n, קען ווערן רעפרעזענטירט דורך x+y, פונקט n-1 מאל. 
אויב אזוי ווייסן מיר שוין אז מיר דארפן געבן פאר יעדע n, א ספעיס פון n-1 צו אויסלייגן אלע סארטן צירופים פון x+y. 
די בעסטע איז ווען ער זאל ווערן אויסגעלייגט צווישן די סומע פון אלע נאטורליכע נומערן קלענער פון n-2 ביז די נאטורליכע נומערן קלענער ווי n-1. 
אין אנדערע ווערטער, די z זאל זיין צווישן: 

די לעצטע זאך איז צו זעהן ווי אזוי די חלק פון (-x-3y+2) דיירעקטירט יעדן פאר צו אן אנדערע נומער. 
תן לחכם ויחכם עוד. 

געוואלדיג!

פארוואס?

די בעסטע איז ווען ער זאל ווערן אויסגעלייגט צווישן די סומע פון אלע נאטורליכע נומערן קלענער פון n-2 ביז די נאטורליכע נומערן קלענער ווי n-1.  

נישט קלאר אז דאס איז די בעסטע, אבער יא, ס'קען ארבעטן.

פארוואס?

אין אנדערע ווערטער, די z זאל זיין צווישן: 

דאכט זיך די מיינסט פארקערט.

פארוואס?

די לעצטע זאך איז צו זעהן ווי אזוי די חלק פון (-x-3y+2) דיירעקטירט יעדן פאר צו אן אנדערע נומער. 
תן לחכם ויחכם עוד. 

דאס איז שוין א דבר פשוט... ( "y - 1" פעלט פונ'ם סוף פונ'ם דריטן שורה פון אונטן.)
📎 x - Copy.jpg

אלעס שטימט שוין. (און כ׳פארשטיי שוין אויך דעם צורך צו צולייגן צוויי און צוטיילן.

(בד״א, פארראכטן דעם less or equal צו greater or equal).

יעצט, אויב ווילן מיר אריינלאזן דעם זערא אויך אין שפיל, דעמאלס איז דא n+1 צירופים פאר x+y, און די גאנצע שפיל ווערט ארויפגערוקט מיט צוויי נומערן. (און דאס איז די אויבנדערמאנטן לינק).

📎 IMG_7057.jpg
אביסל מענינא דיומא.
‏ואולי קען מען א משהו צולייגן אז אינטעגראלס טוהן מעסטן די עריע אונטער קוּרווס. איז די וויץ מרמז אז ראסיסטן ווילן נישא מ׳זאל לייגן דאס קאנטראווערסיאנאלע בוך די בּעל ״קוּרוו״ אונטער צו א פונקטליכע מעסטונג.

📎 IMG_7159.jpg
ד קאווע איז די ״דעריוועטיוו״ פון צומאלענע קאווע בונדלעך, וואס איז אליין א ״דעריוועטיוו״ פון גאנצע קאווע בונדלעך...

און דאס איז אלעס ״אינטעגראל״ צו מאכן די קאווע...

און עס קען זיין אז טאמער מ׳טרינקט צו סאך דערפון און מ׳ווערט דזשאָמפּי ווערט מען א ״דזשערק״ צו אנדערע, וואס ״דזשערק״ אין פיזיקס איז אויך די צווייטע דעריוועטיוו פון וועלאסיטי...

ולגבי די געדאנק פון דזשערק זאגט דר. ראַבּערט סאַפּאָלסקי אין די לעקציע [1:02:48-1:03:04] אז אין ביאלאגיע איז דא א מחלוקה אינערהאלב עוואלוציע צווישן די פּעיליִענטאלאגער (כדר. סטיִפען גאולד וחביריו) וואס האלטן פון פּאָנקטוּעיטעד עקוויליבּריִאום, וואו מינים זענען סטאביל און ווען עוואלוציע פאסירט צו נייע מינים איז עס ״שנעל״ אין געאלאגישע טערמינען [אפאר 100,000 יאר], און די ביאלאגיקער וואס האלטן פון פיילעטיק גרעדוּעליזם, וואו עוואלוציע פאסירט לאט לאט. פארציילט ער אז די דוגלים בפּאָנקטוּעיטעד עקוויליבּריִאום האבן גערופן זייערע קעגענער ״קריִפּס״ על שם creeping צושטאט, און די דוגלים בפיילעטיק גרעדוּעליזם האבן זיי צוריקגערופן ״דזשערקס״ על שם די ״פליצלונג׳דיקייט״ פון זייער שיטה…

מי אני: איך האב אדרעסירט אין אן אנדער'ן אשכול א שאלה צו דיר...והנה: וועלכער פענאמען (אן) איז פארהאן אויף די וועלט וואו איך מאך א טויש פון 33%. און דער עפעקט איז א 50% טויש

איך רעד דא נישט פון די מושגים פון תניא. וואו ער זאגט אז ביי תורה ומצוות קען א קליינע מינדערוויכטיגע אקציע האבן אן עפעקט וואס שאקלט וועלטן...!...!

berlbalaguleh

מי אני: איך האב אדרעסירט אין אן אנדער'ן אשכול א שאלה צו דיר...והנה: וועלכער פענאמען (אן) איז פארהאן אויף די וועלט וואו איך מאך א טויש פון 33%. און דער עפעקט איז א 50% טויש

איך רעד דא נישט פון די מושגים פון תניא. וואו ער זאגט אז ביי תורה ומצוות קען א קליינע מינדערוויכטיגע אקציע האבן אן עפעקט וואס שאקלט וועלטן...!...!

אז דו נעמסט אראפ 33% (מיט א דריטל) פון עפעס, האסטו אראפגענומען 50% פון די איבער געבליבענע.

תוהו ובוהו: ניקס ריכטיג. מאטעמאטיש. אויב דו נעמסט אראפ 33% פון 99.9% בלייבט איבער 66.6%...!

דאס איז מער א טעכנישע שאלה ווי א מאטעמאטישע. נאר איינער וואס איז בקי אין אלע 14 שבע חכמות קען דאס וויסן...!

<!-- l --><a class="postlink-local" href="/post/493044">viewtopic.php?p=493044#p493044</a><!-- l -->

מי אני

ייש״כ פאר׳ן קאמפלימענט אבער איך ווייס נישט (למד לשונך וכו׳).

במושכל ראשון וואלט איך געזאגט אז דאס איז ענליך צום געדאנק פון שליש מלבר ומלגו וואס מ׳טרעפט בש״ס.

אדער ביי וואָטינג וואו עס זענען דא דריי קאנדידאטן און הגם ער האט באקומען נאר 33.5% פונעם וואָט אבער וויבאלד דאס איז מער ווי די אנדערע צוויי געוואונט ער כאילו ער האט באקומען 50.1%.

מי אני: ייש"כ פאר צו לינקן צום אנדער'ן אשכול. וואס איך (דער גרויסער צולייגער) קען נישט טון...לאל

📎 76335606-2AF4-4F90-8691-1495DB519A6B.jpeg דאס איז וויבאלד די אינטעגראל פון 1 איבער x איז די לאַגעריטם (פון בּעיס e; די נאטורליכע לאַגעריטם) צו יענע x. דערנאך, ווי ביי יעדעס אינטעגראל, ווייס איך אז ס׳דא עני נומער, א קאנסטענט, און עס איז די זעלבע אינטעגראל מיט דעם. וואס דאס ווערט נאטירט מיט א + C דערנאך.

מי אני #

און עס קען זיין אז טאמער מ׳טרינקט צו סאך דערפון און מ׳ווערט דזשאָמפּי ווערט מען א ״דזשערק״ צו אנדערע, וואס ״דזשערק״ אין פיזיקס איז אויך די צווייטע דעריוועטיוו פון וועלאסיטי...

📎 IMG_7120.jpeg והוא עפי״ז כנ״ל:📎 IMG_7121.jpeg

‏📎 IMG_7787.jpeg 😃

די ענטפער איז גראדע π.