טעסעלעישאנס און טיילינגס

אין די פעלד פון דזשיאמעטרי איז דא א דיסיפּלין וואס רופט זיך טיילינג. דאס איז וואו מ׳פולט אן א פלאכע (2D) סורפעס, וואס ווערט אנגערופן א פּלעין, מיט שׁעיפּס אזוי אז עס ווערט אנגעפולט אנע איבערלאזן קיין שום געפּס ומקומות פנויים. דער אמת איז אז די געדאנק איז נוגע פונקט אזוי צו העכערע דימענציעס, א פשוט׳ע משל איז אנצופולן (די וואַליוּם פון) א 3D בּאַקס מיט 3D קיוּבּס צו אנדערע סארט 3D פּאליהידראַ (לעומת 2D פּאַליגאַנס וע״ע קצת מהחילוק בזה באשכול זו) (און אויך אפילו אינדרויסן פון געהעריגע יוּקלידען דזשיאמעטרי) אבער אונז וועלן מיר זיך באציען צו 2D, ודון מינה ואוקי באתרה. ווי אויך, הגם עס זענען דא טעכנישע חילוקים צווישן א טיילינג און טעסעלעישאן איז לענינינו וועלן אונז עס רעכענען ווי די זעלבע זאך.

‏פּעריאדישע טיילינגס

די פשוט׳סטע סארט טיילינג איז א פּעריאדישע טיילינג. דאס איז ווען די טיילינג וועט שאפן א פּאטערן, ווי אויך א סימעטרי וואס וואו נאר זאלסט אריבערוקן די שׁעיפּס דערינען צוזאמען (אנע עס דרייען) צו אן אנדערע מקום אינעם טיילינג וועט עס נאך אלס אנהאלטן איר סימעטרי [טרענסלעישאנעל סימעטרי]. צו בעסער מסביר זיין, אויב שטעלט מען זיך פאר ווי די פּלעין האט די אַוּטליין פון די טיילס און דערנאך קען איך רוקן אלע טיילס ס׳זאל נאכאמאל פיטן און פּאַסן אויף די אַוּטליין איז עס פּעריאדיש - עס גייט איבער און איבער.

אין דעם אליין זענען דא א סאך מינים פון אנדערע סארטן וואס מ׳טוהט שטודירן. אויף אנצוהויבן, די פשוט׳סטע סארט בתוך דעם איז די רעגולארע טיילינג. דאס איז ווען עס איז א טיילינג פון איין סארט רעגולארע פּאַליגאַן [א שׁעיפּ וואס אלע אירע זייטן און ענגעלס זענען די זעלבע]. אונזער באקאנטע קעסטל [סקווער] טיילס, וואו אלע זענען פונקטליך די זעלבע, איז די פשוט׳סטע משל אין דעם. עס זענען נאר דא נאך צוויי אזעלכע סארטן, מיט עקווילאטערעל טרייענגעלס אדער רעגולארע העקסאגאנס (דאס מאכן בינען אין זייערע הייווס). אויב זענען זיי אויסגעשטעלט אז איין זייט און עק זענען ממש נעבן איינע די אנדערע, נישא ארויפגערוקט אדער אראפגערוקט, ווערט עס גערופן אן עדזש צו עדזש [זייט צו זייט טיילינג.

די סיבה אז דאס גייט נאר ארבעטן ביי די דריי שׁעיפּס איז ווייל צו קענען ארומנעמען אינגאנצן איין ווערטעקס/עק אן קיינע געפּס דארף איך דאך האבן א פונקטליכע ענגעל פון 360° וואס זאל אינגאנצן ארומנעמען יעדע עק וואס איך האב דערין, נישט מער און נישט ווייניגער. דאס איז ווייל כידוע איז אין ענגעלס א 360° ענגעל א פילקאמע סירקל. וממילא אויב קומט עס אלעס אויס צו ווייניגער לאט עס איבער א חלל, און אויב קומט עס אויס צו מער גייט ער שוין ארויף אויף און אריין בגדרו של חבירו. די איינציגסטע שׁעיפּס וואס קענען דאס באווייזן מיט׳ן נאר זיך באנוצן מיט די איינע שׁעיפּ זענען 4 סקווערס וואס יעדע פון אירע ענגעלס איז 90°, וממילא 4x90=360. אדער 6 עקווילעטערעל טרייענגעלס וואס יעדע פון אירע ענגעלס איז 60°, וממילא 6x60=360. אדער 3 העקסאגאנס וואס יעדע פון אירע ענגעלס איז 120°, וממילא 3x120=360.

דערנאך איז דא אין דעם סעמי-רעגולארע טיילינג. דאס איז ווען איך נוץ מער ווי איין רעגולארע פּאַליגאַן אויף צו טיילען די פּלעין.

דערנאך אין דעם איז דא אין דעם א k-יוּניפאָרם טיילינג. צו מסביר זיין דאס (אביסל) דארף מען פארשטיין דאס געדאנק פון א טייפּ פון ווערטעקס. א ווערטעקס מיינט אן עק פון א שׁעיפּ, און די ״טייפּ״ דערפון מיינט אז ווען איך שטעל צאם למשל צוויי פּענטאגאנס [וואס האבן 5 זייטן] ביי זייערע אויבערשטע עקן און אין די חלל פון די צוויי זייטן שטעל איך אריין דאס צו ערגענצן צוויי טרייענגעלס [וואס האבן 3 זייטן], גייט דאס האבן א ווערטעקס טייפּ פון 3.5.3.5 - פאר 4 זייטן וואו עס גייט ארום צו ערגענצן די עק א שׁעיפּ פון 3 ווערטעקסעס/עקן [טרייענגעל], דערנאך א שׁעיפּ פון 5 ווערטעקסעס/עקן [פּענטאגאן], דערנאך א שׁעיפּ פון 3 ווערטעקסעס/עקן [טרייענגעל], און דערנאך א שׁעיפּ פון 5 ווערטעקסעס/עקן [פּענטאגאן] און דערנאך בין איך שוין צוריקגעקומען צו וואו איך האב אנגעפאנגען. (ס׳איז נישט קיין נפק״מ וואו איך הייב אן די נומערן, למשל ביי אונזער פאל 5.3.5.3, ווי לאנג די סדר איז ריכטיג, ופשוט.) דא איז א בילד פון אונזער משל - די 4 סארטן שׁעיפּס וואס נעמען ארום דעם מיטעלסטן פינטל/עק:
📎 0359A453-C643-4A51-94D9-A13DB3A1F660.jpeg
יעצט, סיי ביי רעגולארע טיילינג און סיי ביי סעמי-רעגולארע טיילינג, וועלכע עק/ווערטעקס איך זאל נאר בוחר זיין וועט עס האבן די זעלבע איינע ווערטעקס טייפּ; עס איז 1-יוּניפאָרם. אויב אבער האט די טיילינג מער ווי איין סארט ווערטעקס טייפּ, דהיינו אויב איין ווערטעקס וועט האבן אן אנדערע סארט פּעטערן פון וועלכע שׁעיפּס עס נעמען עס ארום אינגאנצן ווי אן אנדערע עק אין די טיילינג, ווערט דאס אנגערופן א k-יוּניפאָרם טיילינג - די k וועט באדייטן די נומער פון וויפיל סארטן ווערטעקס טייפּס עס זענען דא אין די טיילינג. עס זענען דא 20 מיני 2-יוּניפאָרם טיילינג מעגליכקייטן און 61 3-יוּניפאָרם טיילינג מעגליכקייטן. מען ווייסט נישט וויפיל 4-יוּניפאָרם טיילינג מעגליכקייטן עס זענען דא. פון די 1-יוּניפאָרם טיילינגס זענען דא 11 סארטן: די 3 אויסגערעכענטע רעגולארע טיילינגס און 8 מיני סעמי-רעגולארע טיילינגס. דא איז א בילד פון די 8 סארטן סעמי-רעגולארע טיילינגס:
📎 4EB16BB4-9ED9-49F0-BE6C-FE26CBF47614.jpeg
‏אירעגולארע טיילינג איז ווען די שׁעיפּ דערין איז נישט קיין רעגולארע פּאַליגאַן, דהיינו נישט אלע אירע זייטן (וממילא ענגעלס) זענען אייניג. דאס איז אפילו טאמער נוץ איך נאר איין אזא שׁעיפּ און דאך טיילט עס אנע געפּס און מיט א פּעטערן.

למשל, דער ארטיסט מאריטץ עשער פלעגט מאלן אזעלכע סארט אירעגולארע [פּעריאדישע] טיילינגס מיט בעלי חיים וכדומה. למשל:
📎 FDCE4344-7418-4FC6-9B77-A1C4B91FCD94.jpeg

‏עיפּעריאדישע טיילינגס

דאס זענען טיילינגס [אנע געפּס] וואס הגם זיי קענען האבן סימעטרי על הכלל כולו, איז אבער אויב ריק איך די שׁעיפּס ממקומן אנע עס דרייען וועט עס נישט אנהאלטן די סימעטרי [עס פארמאגט נישט קיין טרענסלעישׁאנעל סימעטרי הגם אז אנדערע סארטן סימעטריס האט עס יא] און זיך נישט ריפּיִטן אזוי ווי כנ״ל ביי די פּעריאדישע טיילינגס.

בעצם זענען די טיילינגס בתוך נאן-פּעריאדישע טיילינגס, אבער למען הפשטות וועלן אונז זיך נאר באציען צו עיפּעריאדישע טיילינגס בתוכו. דאס איז ווייל אונז רעדן מיר יעצט פון טיילינגס וואס מ׳קען נאר מאכן אן די סארט ריפּיִטינג סימעטרי.

מ׳פלעגט אלס מיינען אז עס איז נישטא אזא זאך אז מ׳זאל האבן א סעט פון שׁעיפּס [פּראָטאָטיילס] וואס מ׳קען מיט דעם טיילען אין א נישט פיריאדישן וועג און עס נישט זיין ביכולת צו טיילען אין א פיריאדישן וועג.

באקאנטע סארטן פון עיפּעריאדישע טיילינגס זענען די פּענרויס טיילינגס, על שם דער באקאנטער מאטעמאטישע פיזיקער דר. ראדזשער פּענרויס וואס איז אויפגעקומען מיט זיי.

א משל:
📎 4AF1DCAF-F81D-4A89-BF17-DE1C89921845.jpeg
עס איז אינטרעסאנט צו באמערקן אז געוויסע פון די טיילינגס [למשל די אויבערשטע בילד] באנוצן זיך מיט א ראַמבּוס [אזא ״געבויגענע״ סקווער], וואס צוויי פון אירע ענגעלס זענען 108° דעגריס און די אנדערע צוויי 72° דעגריס, וואס מ׳צושניידט זיי אין צו א דאַרט און קייט שׁעיפּס, און עס קומט אויס אז די רעישיאו דערביי איז די גאלדענע רעישיאוי וואס @פארוואס? האט מסביר געווען ‏דא בטוטו״ד. מען שניידט עס כזה:
📎 ED4EA619-674A-49A7-9B11-E13BEAA42D2D.jpeg
און דאס צו אויסשטעלן וועט מען דארפן א גאלדענע רעישיאוי פון אזויפיל קייטס ווי דאַרטס. (דאס אז די רעישיאו איז אן אירעשינעל נומער איז געווען א חלק פון זיין פּרוף אז עס איז עיפּיריאדיש, ווייל אז נישט וואלט עס געדארפט זיין רעשׁאנעל.)

דא שטייט דר. פּענרויס אליין אויף א פּענרויס טיילינג אין טעקסאס אוניווערזיטעט:
📎 8C45E271-0C67-43B1-A506-1F52F39183AC.jpeg
‏אגב איז אינטרעסאנט צו באמערקן אז דאס האט אויך א שייכות מיט פרעקטעלס.

טיילינגס האבן א שייכות מיט וויאזוי אטאמען קענען זיך אויסשטעלן בסימעטרי (אין א סאליד) אלס א (קריסטאל) לעטיס פון א באשטיינדל. דער רוסישער מאטעמאטיקער דר. עווגראף פעדעראוו האט אויפגעוואוזן אז אין 3D זענען דא 230 וועגן וויאזוי זיי קענען זיך אויסשטעלן סימעטריקעלי וואס דאס אין 2D איז 17 סארט וועגן, וואס ווערן גרופּירט אלס די 17 וואנטפאפיר גרופעס לויט די סארטן סימעטריס וואס זיי פארמאגן.

מ׳האט אפילו געטראפן קוואסי-קריסטאלן וואס פארמאגן אן אויסשטעל פון פּענרויס סארט טיילס.

***

<!-- l --><a class="postlink-local" href="/post/430041">viewtopic.php?p=430041#p430041</a><!-- l -->

א ריזיגן שכויעך פאר׳ן מהנה זיין דעם עולם דא מיט אזעלכע אינטערעסאנטע סוביעקטס. אויב איך מעג, און טאמער איר קענט, וואלט איך געבעטן אז איר זאלט שרייבן די ענגלישע ווערטער (וואס האבן נישט קיין יודישע אפטייטש) אין ענגליש.

איך גלייב נישט אז ס׳איז דא איינער וואס קען נישט די ענגלישע בוכשטאבן, און סתם איבערשרייבען די ענגלישע ווערטער מיט יודישע אותיות מאכט עס מיר גאר שווער צו לייענען און פארשטיין.

בין איך די איינציגסטער?

מי אני: ייש"כ פאר מיטטיילן מיט דעם פראסטן המון עם די גאר עמקות'דיגע סוגיא פון טיילינגס. (נישט ח"ו די טיילונג פון אונגארן.). איך האב געמוזט מפסיק זיין אינמיטן צו גיין נעמען 2 טיילענאל. ווייל דער קאפ האט מיר געשווינדלט.

אעפ"כ. האביך א קשיא אויף דיינע הייליגע דיבורים. בתוך הדברים רעדסטו איבער א..."2 דיימענשיאנאל קיוב"...דאס איז דאך א תרתי דסתרי. ווייל א קיוב איז ביי דעפינישן 3 דיימענשיאנאל...! תיקו...תשבי יתרץ קושיות ואיבעיות...!

חתן בחור

א ריזיגן שכויעך פאר׳ן מהנה זיין דעם עולם דא מיט אזעלכע אינטערעסאנטע סוביעקטס. אויב איך מעג, און טאמער איר קענט, וואלט איך געבעטן אז איר זאלט שרייבן די ענגלישע ווערטער (וואס האבן נישט קיין יודישע אפטייטש) אין ענגליש.

אויב האסטו מורא אז אויף דעם מהלך וועלן דיינע ארטיקלען זיין מער ענגליש ווי אידיש קענסטו שרייבן אין אידיש און צולינקען צום ענגלישן וויקיפעדיע. (אני הק' פארשטיי סייווי נישט קיין ווארט אזוי צו אזוי, כ'רעד למען החכמים דא וואס פארשטיין יא.)

berlbalaguleh

בתוך הדברים רעדסטו איבער א..."2 דיימענשיאנאל קיוב"...דאס איז דאך א תרתי דסתרי. ווייל א קיוב איז ביי דעפינישן 3 דיימענשיאנאל...! תיקו...תשבי יתרץ קושיות ואיבעיות...!

איך מיין צו זאגן אז די סוגיא פון טיילינגס קען בעצם אנגיין ביי 3D, וממילא (למשל) קיוּבּס בתוך 3D ספּעיס, אויך. אין די אשכול וויל איך אבער נאר רעדן פון 2D. איך אנטשולדיג זיך אויב ס׳איז נישט געווען גענוג קלאר ארויסגעברענגט.

מי אני: איך האב אליינס אויך פארשטאנען אז ס'איז נאר א..."שיגרא דלישנא"... אבער ס'איז גענוג אויף זיך אנטשעפען אויף עפעס...לאל...!

אין דעם איז דא דעם געדאנק פון די היִשׁ נומער. דאס מיינט אז איך וויל וויסן ביי טיילינג וויפיל לעיערס/שיכטן פון די זעלבע שׁעיפּ קענען ארומנעמען דאס שׁעיפּ אנע געפּס. למשל, ביי א סקווער קען איך דאס ארומנעמען מיט אן אינפיניט צאל פון שיכטן פון סקווערס. איך הייב אן מיט איין שיכט פון סקווערס ארום דעם איינעם סקווער און נאכדעם א צווייטע גרעסערע שיכט פון סקווערס ארום דעם פריערדיגן שיכט, וכן הלאה. ווידעראום ביי א סירקעל קען איך דאס ניטאמאל ארומנעמען איין מאל מיט סירקעלס; עס וועט לאזן געפּס.

די פראגע פון אוועקשטעלן די היִשׁ נומער ווערט אינטרעסאנט ביי אזעלכע אירעגוראלע שׁעיפּס. למשל, ביי די שׁעיפּ אין די בילד:
📎 EC3B8932-17E0-4057-95FE-91B2EBFEC3EE.png
האט מען פעסטגעשטעלט אז די היִשׁ נומער איז 5. די איינע ווייסע שׁעיפּ אינדערמיט איז וואו מ׳האט אנגעהויבן. די נעקסטע שיכט איז אביסל טונקעלער, מיט די דריטע נאך טונקעלער אא״וו. די פיפטע שיכט איז אומעגליך ארומצונעמען אנע געפּס מיט די זעלבע שׁעיפּ. דאס איז די גרעסטע פיניט היִשׁ נומער וואס מ׳ווייסט פון.

📎 7714608B-C13F-4525-920B-CC0807113C18.jpeg
דאס האט א היִשׁ נומער פון 4.

מ׳טוהט קאנדזשעקטשורן אז אלע נומערן זענען היִשׁ נומערן פאר עפעס אן אירעגולארע שׁעיפּ. מ׳ווייסט אבער נאר פון שׁעיפּס ביז היִשׁ נומערן פון 5.

בנוגע עיפּעריאדישע טיילינגס האט מען אלס געפרעגט צו ס׳איז שייך אן ״איינשטיין״ טייל, על שם ״איין שטיין״, וואס מיט נאר איין טייל זאל מען קענען טיילען דעם גאנצן פּלעין אבער עס זאל אויסקומען נאר עיפּעריאדיש (די ווייניגסטע ביי די פּענרוֺיס טיילינגס פארלאנגט צוויי סארט טיילס). מ׳האט מברר געווען אז עס איז דא א ספעציפישע טייל, וואס מ׳רופט דאס סאקאלאר-טעילאר טייל, וואס קען טיילן די גאנצע פּלעין און נאר עיפּעריאדיש. עס איז אבער אן אינטרעסאנטע דיסקאנעקטעד טייל כזה:
📎 AE960DB9-CEB4-471C-936B-45510CE09C77.png
דאס הייסט אז הגם עס זעהט אויס ווי אפאר שטיקלעך איז עס אבער איינס, וויבאלד אויב דריי איך עס דרייט זיך אטאמאטיש די אנדערע שטיקלעך וואס זענען נישט ממש קאנגרוענטלי באהאפטן דערצו.

דא איז א חלק שוין געטיילט דערמיט:
📎 EA64DA84-91F4-4C7B-8A2B-698490EC66B3.png

אין דעם איז אויך דא א סוג פון אייסאָהעדראל טיילינגס. דאס זענען טיילינגס וואו די טיילינג ווערט געמאכט מיט איין סארט טייל [מאנאָהעדראל] און ווי אזוי מ׳זאל עס צוטיילן וועט אויסקומען אז איין טייל סעגמענט דערין צוזאמען מיט׳ן קאנטעקסט פון אירע ארומיגע קען איך געהעריג פארטוישן צו עני אנדערע טייל מקום. דהיינו, למשל די סארט סקווער טיילינגס וואס זענען דא אין חדרים צו וואו אימער, איז אייסאָהעדראל ווייל איך קען רוקן עני שורה סעגמענט אויף אן אנדערע און אנהאלטן די פּעטערן/טיילינג וכו׳.

דערנאך זענען דא אַניסאָהעדראל טיילינגס. דאס זענען טיילינגס וואו הגם עס איז נאר צאמגעשטעלט פון איין סארט טייל איז אבער די טיילינג געמאכט אזוי אז עס נישט דא קיין וועג ווי אזוי צו רוקען עני סעט פון טיילס דערין אויף א צווייטן סעט. למשל:
📎 8040D789-0F03-432F-B8FE-3F32F0F99F0E.jpeg
ביי דעם, הגם די רעקטענגעל טייל ווען עס איז געמאכט אלע גראד קען איך אריבערפירען גאנצעטע חלקים איינס אויפ׳ן צווייטן אין עס וועט אנהאלטן די זעלבע [עס איז טראנסיטיוו, איז אבער אין אזא פאל קען איך נאר אריבערריקן איין רעקטענגעל טייל צו אן אנדערע רעקטענגעל טייל, אפילו עס איז אין די זעלבע אריענטאציע [אויף, למשל, ארויף אין די לענג], נאר צו די ערשטע אדער דריטע און נישט די מיטעלסטע; ווען יא זעהט עס אויס ווי אין פיגור 2. דאס קען מען באטראכטן אז בעצם שפילן די רעקטענגעל טיילס איינס פון צוויי ראלעס אינעם טיילינג: אדער ״דרויסענדיגע״ [די ערשטע און דריטע אין יעדע קעסטל סעט] אדער ״צווישענדיגע״ [צווייטע].

עס זענען דא טיילס וואס מיט זיי קען מען נאר מאכן אַניסאָהעדראל טיילינגס. למשל:
📎 60D43F1D-C37F-45A1-8138-27400C10DFE4.jpeg
אדער:
📎 F83DDE0D-0254-469D-96B2-CDFAA6E89BEE.png
די וועלן אלעמאל מוזן האבן טאקי די זעלבע איינע טייל וואס שפילט אבער צוויי ראלעס: די וואס גייען ישר און די וואס גייען הפוך אריינצוגיין אין די לעכער פונעם ערשטן.

עס זענען אויך שייך העכערע אָרדערס פון אַניסאָהעדראל טיילס, וואו די זעלבע איינע טייל שפילט דריי אדער מער ראלעס. למשל, דאס איז א 3-אַניסאָהעדראל טייל:
📎 EEA87B14-7FB1-4EC3-AE85-42F47CE98507.jpeg
און דאס איז א 4-אַניסאָהעדראל טייל:
📎 B77B1931-ACF5-45F6-BC5F-5CB43EEE1619.jpeg
דער מאטעמאטיקער דוד הילבערט, אין א חלק פון די אכצענסטע פון זיינע 23 אפענע מאטעמאטישע פראבלעמען וואס ער האט פארגעשטעלט אין 1900, האט געפרעגט צו ס׳איז דא אזא סארט אַניסאָהעדראל טייל שׁעיפּ אין 3D [א פּאליהידראן]. מ׳האט אויפגעוואוזן אז יא.

עס זענען דא סארטן טיילס וואס מען רופט פּאַליאַמינוֺיס. דאס זענען שטיקלעך/טיילס וואס זענען באהאפטן/צאמגעשטעלט פון א געוויסע צאל שטיקלעך. למשל, די שטיקלעך אינעם באקאנטן טעטריס שפיל, און דעם דאַמינוֺי וואס איז צאמגעשטעלט פון צוויי באהאפטענע קעסטעלעך. איין אזא סארט שטיקל איז דעם טראַמינוֺי, וואס איז צאמגעשטעלט פון דריי באהאפטענע קעסטעלעך.

א טראַמינוֺי איז א סארט טייל וואס איז א רעפּ-טייל. דאס הייסט אז די טייל אליין קען ווערן צאמגעשטעלט פון מערערע קלענערע טיילס פון זיך אליין. נאך דעם קען איך רעכענען דעם אָרדער פונעם רעפּ-טייל, והיינו צום ווייניגסטענס וויפיל פון די טיילס וועל איך דארפן צו שאפן דעם זעלבן שׁעיפּ אין גרויס. דא זענען אפאר משלים (עס זענען דא אין דעם פּסוּדאָ-פּאַליאַמינוֺיס, והיינו פּאַליאַמינוֺיס וואס זענען נאר באהאפטן אין זיך ביי די עקן ‏(נישט ארטאגאניש) ): 📎 B5EE7048-41F2-404A-8358-9DD8F0C7A8E2.jpeg

דאס האט כמובן א שייכות מיט פרעקטעלס און עס איז שייך אפילו ביי טעראַגאָניק שׁעיפּס, והיינו שׁעיפּס וואס האבן אינפיניט זייטן.

אין דעם איז דא גאָלאָמבּ׳ס טראַמינוֺי טעארעם וואס לויטעט אז אויב האב איך א סקווער וואס די לענג פון אירע זייטן זענען א פּאַוּער פון 2 [אז איך קען צוקומען צו דעם נומער דורך צולייגן צו 2 א גאנצע נומער אלס א פּאַוּער/עקספּאנענט] און איך לאז אויס איין קעסטל דערין [פונעם שטח] וועל איך דאס קענען גענצליך טיילען מיט טראַמינוֺיס אין זייער L שׁעיפּ. למשל כזה: 📎 88E68351-4F28-4C85-848A-FA31A90CB5F8.jpeg

מ׳האט אויסגעברייטערט דעם געדאנק פון רעפּ-טיילס, וואס זענען מיט די זעלבע טיילס גופא, צו זעלבסט-טיילינג סעטס, וואס זענען מערערע טיילס וואס טיילען זיך איינע צום אנדערן.
📎 B7466E7E-3169-4E1D-A7F3-7DF373B761B7.png
למשל, אין די בילד הייבט מען אן מיט די 4 מיטעלסטע שטיקלעך [אן ״אָרדער״ פון 4], וואס זענען יעדעס איינס דעקאַמינוֺיס; צאמגעשטעלט פון 10 קעסטעלעך. דערנאך קענען די 4 שטיקלעך צוזאמען צאמשטעלן גרעסערע קאָפּיעס פון יעדעס איינס פון די 4 שׁעיפּס וואס זיי אליין זענען. דא ווערט עס גערופען ״פּערפעקט״ וויבאלד אלע אריגינעלע שטיקלעך זענען אנדערע שׁעיפּס. אויב זענען צוויי פון זיי צי מער די זעלבע שׁעיפּס איז עס ״אימפּערפעקט״.

דאס קען מען ווייטער אויסברייטערן צו ״לוּפּס״. דהיינו, דא איז אינעם עצם סעט גופא שאפן די קלענערע שטיקלעך צוזאמען א גרעסערע שׁעיפּ פון איינע פון די אריגינעלע קלענערע שׁעיפּס. א ״לוּפּ 2״ באדייט אז איך האב 2 סעטס פון קליינע שטיקלעך און אלע קליינע שטיקלעך פון איין סעט קענען צוזאמען שאפן אלע שׁעיפּס אין גרויס פון די אנדערע סעט. למשל כזה: 📎 3F605C40-912C-4E9F-BC42-48BDDD33C042.png
וכן הלאה, למשל פאר דריי סעטס שהיא ״לוּפּ 3״ וכו׳ וכו׳.

אין דעם סוגיא איז אויך דא דעם מיוּטילעיטעד שאך-ברעט פראבלעם. דאס פרעגט אז טאמער שנייד איך אוועק די צוויי עקן/קעסטעלעך אויף א [8-ביי-8] שאך-ברעט וואס זענען באלכסון איינע פונעם צווייטן, קען איך דאס אינגאנצן טיילען מיט דאַמינוֺיס? די תירוץ דערויף איז ניין. דאס איז וויבאלד יעדעס דאַמינוֺי, וואס זענען צוויי באהאפטענע קעסטעלעך, וועט מוזן באדעקן סיי איין ווייסע קעסטל און סיי איין שווארצע קעסטל. און וויבאלד מ׳האט דאך אועקגעשניטען צוויי קעסטעלעך פונעם זעלבן קאליר בלייב איך איבער מיט 30 קעסטעלעך פון איין קאליר און 32 פונעם אנדערן קאליר; עס איז נישט אייניג צוטיילט אז די דאַמינוֺיס זאלן דאס קענען באדעקן. דער מאטעמאטיקער דר. רעלף גאָמאָרי האט אויפגעוואוזן אז טאמער שנייד איך אוועק צוויי קעסטעלעך דערין וואס זענען איינס שווארץ און איינס ווייס, וועל איך דאס יא אלעמאל קענען אינגאנצן טיילן מיט דאַמינוֺיס.

📎 E6F9DB99-65A0-4A63-9A92-603C4EC60BD9.jpeg
דאס איז א היִטאָמעזאַשׁיִ סטישטיִנג. דאס איז ווען איך שטעל אויס א סטיטש אויף א ברעט בדילוג - אויב הייב איך אָן מיט א סטיטש איז די נעקסטע מקום אפען און די מקום דערנאך פארמאכט און די מקום דערנאך אפען וכן הלאה והלאה. איך שטעל אויס רענדאָמלי ״0״ס און ״1״ס בשתי ובערב - אויב איז עס א 0 דאן איז די ערשטע מקום אפען און דערנאך פארמאכט וכו׳ וכו׳, און אויב איז עס אן 1 דאן איז פארקערט; די ערשטע מקום פארמאכט און דערנאך אפען וכו׳ וכו׳. דאס טוה איך כנ״ל סיי בשתי און סיי בערב. עס קומען אויס רענדאם פּעטערנס דערין דערנאך ווען איך קאליר עס אריין. עס קומט אויס אז ווי העכער די פּראַבּעבּיליטי איז אז עס זאל זיין אויף א זייט אפען אדער פארמאכט אלס מער מסודר איז די פּעטערן וואס קומט אויס.

עס איז ידוע אז יוּקליד האט אוועקגעשטעלט 5 אקסיאמען פון דזשיאמעטרי אין זיין עלעמענטס. זיי זענען:

1). אז צוויי פונקטן אויף א פּלעין קענען ווערן באהאפטן מיט א גראדע ליין

2). אז עני גראדע ליין איך האב קען איך בעצם לענגער מאכן ווייטער גראד

3). א סירקל האט א רעידיאוס; פון איר וואנט ביז׳ן סענטער

4). אלע 90⁰ דעגרי ענגעלס [רייט ענגעלס] זענען בעצם די זעלבע

5). אויב האב איך א ליין וואס גייט דורך צוויי אנדערע ליינס און וואו עס גייט זיי דורך מאכט עס ביי ביידע אַן ענגעל ווייניגער ווי 90⁰ דעגרי ביי יעדעס איינס, אזוי אז צוזאמען זענען זיי ווייניגער ווי 180⁰, דאן וועלן זיך די צוויי אריגינעלע ליינס צוזאמען טרעפן ערגעצוואו דארט אויף יענע זייט פון דאס שאפונג פון די עקיוּט ענגעלס

אן אנדערע (פשוט׳ערע) פארמולאציע פון דעם פיפטן אקסיאם, פונעם מאטעמאטיקער דזשאן פּלעיפעיר, איז: אז אויב האט מען א ליין און א פונקט וואס איז נישט אויפ׳ן ליין קען מען צום מערסטענסט מאכן איין גראדע (אינדעפיניט) ליין דורך דעם פונקט וואס זאל זיין פּאראלעל צום אנדערן ליין; אָן טרעפן דעם אנדערן ליין עווענטועל

מען האט אלס געקלערט אז די פיפטע, די פּאראלעל פּאַסטולעיט, איז קאי וקיים פונקט אזוי ווי די אנדערע פיר; עס קען נישט געמאלט זיין א דזשיאמעטרי וואו דאס האלט נישט. מען האט אבער אויפגעוואוזן אז דאס האלט נאר אין ״יוּקלידיען״ דזשיאמעטרי וואו די פּלעין אליין איז ״פלאך״ - עס זענען אבער דא אנדערע סארטן קאָנסיסטענט דזשיאמעטריס וואו די ערשטע פיר אקסיאמען האלטן אבער נישט די פיפטע.

איינע פון די סארט דזשיאמעטריס איז הייפּערבּאַליק דזשיאמעטרי וואו די עצם פּלעין האט א נעגאטיווע קוּרוועטשוּר. וואו מ׳קען זעהן קען מען מאכן דערויף מער ווי איין פּאראלעל ליין צו אַן אנדערן ליין; זיי דרייען זיך אוועק. (כידוע איז דאס בעצם די דזשיאמעטרי פונעם יוּניווערס און ספּעיס על הכלל כולו עפ״י דזשענעראל רעלאטיוויטי.)
📎 389A441D-4185-4C9F-AE6A-1DEFBF6F64D6.png
לדוגמא, אין הייפּערבּאַליק דזשיאמעטרי איז די פיפטע אקסיאם אז אויב האט מען א ליין און א פונקט נישט אויף דעם ליין דאן איז דא כאטש צוויי באזונדערע אנדערע ליינס וואס לויפן דורך דעם פונקט וואס גייען זיך נישט טרעפן מיט דעם ערשטן ליין.

‏(אגב, עליפּטיק דזשיאמעטרי איז א נאַן-יוּקלידיען דזשיאמעטרי וואו די עצם פּלעין האט פּאזיטיווע קוּרוועטשוּר.)

עפ״י די פּוֺינקארעי דיסק מאדעל בזה, דאס צו מער וויזשוּעלייזן בתוך אונזער יוּקלידיען דזשיאמעטריק פלאכע פּערסעפּשאן פון אלעס, איז ווי ווייטער מ׳גייט פונעם ״סענטער״ אלס מער דענס ווערט עס ביי די ווענט; עד אינפיניטי. וממילא ווערט די לענג פון א ליין אלס לענגער ווי ווייטער עס איז פונעם סענטער. דעריבער קומט אויס אז א ליין וואס דרייט זיך אויף אריין צום סענטער וואו עס איז ווייניגער ״דענס״ איז קורצער ווי א גראדע ליין דערין (א דזשיאָדעסיק). עס קומט אויך אויס עפי״ז אז בתוך זה גייט די עריע פון א פּאַליגאַן זיין תלוי נאר אין די ענגעלס וואס די ליינס מאכן.

ולפי״ז קומט אויס אז א הייפּערבּאַליק טעסעלעישאן/טיילינג וועט אויסזעהן אין די מאדעל כעי״ז:
📎 AAA49475-1310-49B6-9FFA-24FFF3DFB5D5.png
דאס איז ווי אזוי דער ארטיסט מאריטץ עשער האט דאס געוואוזן אין זיין אַרט: 📎 8E6B4367-4969-4D62-8D77-57E30E942EA3.jpeg

בנוגע טעסעלעישאנס איז דא די געדאנק וואו מ׳נוצט א פּעטרי פּאַליגאַן. דאס איז ווען איך רעכען ביי א טעסעלעישאן אזוי אז נאר צוויי עדזשעס/ליינס דערפון אין א צי רירן אָן די פנימער פון איין שׁעיפּ בשעת די דריטע שוין נישט.

דא זעהט מען די געדאנק ביי טעסעלעישאנס - די בלויע ליין דערין:
📎 7188000B-D8DF-4F9A-854F-EF0CAD05A4C8.jpeg

ווען עס קומט אויס אז מ׳קומט צוריק, לפי די סדר פון נאר צוויי צום זעלבן שׁעיפּ וכו׳, צו וואו מ׳האט אָנגעהויבן דאן נאך אזויפיל מאל זיך דרייען איז דאס די קאַקסעטער נומער דערפון.

לגבי גענצליך טיילן א (גאנצע/רעקטענגולער) שאך-ברעט מיט דאַמינאָס איז דא אין דעם די פישער-קעסטעלעין-טעמפּערלי [FKT] אלגאריטם וואס געבט וויפיל מעגליכע וועגן עס איז דא דאס צו טוהן. דאס איז א סיריִס כזה: 📎 0A9D9C32-D861-496A-AFEA-65CAFCA56951.jpeg דאס זאגט אז איך האלב פון די לענג פאר איין סיריִס און האלב פון די ברייט פאר׳ן אנדערן סיריִס (אויב קומט עס אויס צו א האלבע נומער רעכען איך עס ארויף צום נעקסטן גאנצן). דערנאך רעכען איך k און לייג/plug דאס אריין אינעם סיריִס אָנגעהויבן פון 1 ביז די האלב פונעם ברייט, און j אָנגעהויבן פון 1 ביז די האלב פונעם און לענג און און לייג/plug דאס אריין אינעם סיריִס, און איך מאָלטיפּליי צוזאמען אלע סארט קאַמבּינעישאנס ווי אזוי דאס קען אויסקומען. עס גייט ארויסגעבן א גאנצע נומער [פּאזיטיוו אינטעדזשער] וואס דאס איז די צאל טיילינגס מיט וועלכע איך קען דאס טיילן מיט דאַמינוֺיס.

דאס איז די זעלבע ווי ציילן די פּערפעקט מעטשינגס אין גרעף טעאריע ביי א לעטיס [געקעסטעלטע] גרעף.

מ׳קען געוואור ווערן די צאל טיילינגס פון עני סארט שאך-ברעט מיט דאַמינוֺיס, אפילו וואו ס׳איז נישט רעקטענגולער אבער אבי עס האט די זעלבע צאל שווארצע און ווייסע קעסטעלעך כנ״ל און האט נישט קיין לעכער בתוכה. דאס איז אז איך געב א נומער צו יעדעס שווארצע קעסטל אָנגעהויבן פון 1. און איך געב אויך א נומער צו יעדעס ווייסע קעסטל אָנגעהויבן פון 1. דערנאך שטעל איך דאס אויס און א טשאַרט; די ווייסע נומערן אין די הייך און די שווארצע נומערן אין די ברייט (או להיפך). וואו אימער א שווארצע נומער איז נעבן א ווייסע נומער אין די לענג אויפ׳ן שאך-ברעט, מאך איך אויפ׳ן טשאַרט אַן 1. און וואו זיי זענען נעבן אין די הייך, מאך איך דארט אַן i אלס׳ן אימעדזשינערי נומער. אין די איבעריגע פלעצער לייג איך א 0. דאס איז דאך א מעיטריקס און ווען איך נעם די דיטערמינענט דערפון איז די נומער וואס איך באקום (איגנארירענדיג די נעגאטיוו און i) די צאל טיילינגס מ׳קען מאכן דערין מיט דאַמינוֺיס.

יעצט, עס איז דא בעצם 4 וועגן וויאזוי א דאַמינוֺי באדעקט און טיילט די צוויי שאך-ברעט קעסטעלעך אויף וואס זי ליגט: 2 אין די לענג און 2 אין די הייך. והיינו, אין די ברייט איז עס אדער אז די שווארצע קעסטל איז צום רעכטן זייט און די ווייסע צום לינקן אדער פארקערט, און אין די הייך איז עס אז אדער איז די שווארצע קעסטל איז אויבן און די ווייסע אונטן אדער להיפך.

אין דאס אלעס איז דא די געדאנק פון אַן עזטעק דימאנט. דאס איז ווען איך הייב אָן מיט א שאך-ברעט פון 4x4 קעסטעלעך און דערנאך לייג איך ארום דעם קעסטעלעך און איך שנייד אוועק די 4 קעסטעלעך פון די עקן. איינמאל איך האב דאס לייג איך פשוט יעצט ארום איר גבול נאך קעסטעלעך און נאר וואו עס זענען דא קעסטעלעך. אזוי ווערט עס א דימאנט שׁעיפּ. וויפיל מאל איך טוה דעם פראצעדור פון ארומלייגן ארום איר קעסטעלעך און מאכן גרעסער, דאס איז איר אָרדער (די ערשטע איז ווען עס איז א פשוט׳ע 4x4). דאס איז עס ביים פערטן מאל/אָרדער: 📎 CA5A3338-50A3-44F8-A854-14A0D0D0B013.jpeg די עזטעק דימאנט טעארעם לויטעט אז די צאל דאַמינוֺי טיילינגס וואס מ׳קען מאכן דערויף איז 2 געהעכערט צום עקספּאָנענט פון האלב די אָרדער פונעם דימאנט טיימס איינס העכער די אָרדער. עס איז אויך דא דערין די אַרקטיק סירקעל טעארעם וואס לויטעט אז לפי די 4 וועגן הנ״ל א דאַמינוֺי קען טיילן א שאך-ברעט, ווען מען טיילט די דימאנט מיט דאַמינוֺיס ביי רענדאם וועלן די דרויסענדע 4 עקן פונעם דימאנט אלס ווערן ״אריינגעפרוירן״ מיט יעדעס איינע אַן אנדערע פון די 4 וועגן פון טיילינגס (און איך קאליר יעדעס סארט וועג אַן אנדערע קאליר), און אינדערמיט וועט אויסזעהן בערך ווי א סירקעל. ווי העכער די אָרדער פונעם דימאנט ווערט, אלס מער וועט די אינדערמיט אויסזעהן ווי א סירקעל. כזה: 📎 8699AEF3-C095-4AF4-9403-D2542BE35ED9.jpeg 📎 A8AF273E-DB83-4D45-A36C-DAA4CF5F5661.jpeg 📎 B9A76364-6804-4104-A342-8EB8D56E9D88.jpeg די צאל וועגן ווי אזוי צו טיילן דעם דימאנט איז 2 צו די פּאַוּער פון די אָרדער וואס עס איז.

ביי העקסעגאנס קומט אויך אויס ענליך. והיינו, ווען איך האב א העקסעגאן וואס איך טייל מיט לאזענגעס, וואס איז א סארט דימאנט שׁעיפּ, קען איך אויסשטעלן די טייל אין דריי סארט וועגן: 📎 Lozenges.jpg עס קומט אויס אז א רענדאם טיילינג פון דעם אין א העקסאגאן וועט אויך שאפן א סירקעל אינדערמיט, מיט די יעדע איינס פון די דריי וועגן פון דאס טיילן קאנצעטרירט און "פארפרוירן" ביי צוויי פון די זעקס עקן פונעם העקסאגאן, כזה (די דריי סארטן זענען אין דריי אנדערע קאלירן): 📎 Hexagon.jpg עס קומט אויס אז אלעמאל, נישט קיין חילוק ווי גרויס און ווי סאך מ'דארף דאס טיילן, גייט יעדעס איינס פון די דריי וועגן האבן די גענוי זעלבע צאל טיילס דערין.

אין acoustics, די שטודיע פון קול, איז דא די געדאנק פון טשלאדני פּלעיטס. דאס איז ווען מען גיסט זאמד אויף א פלאכע אייזן און דערנאך ״שפילט״ מען דאס אזוי ווי א פידל. די זאמד וועט זיך נעמען שאקלען און זיך אויסשטעלן אין (סימעטריקעל) פּעטערנס, וואס וועלן זיין עפ״י די סיניוּסוידעל וועיוו(ס) און שׁעיפּס (שאינם נראים לעינים) וואס די ״שפילן״ מאכט אויפ׳ן פּלעיט. דאס איז עפ״י טשלאדני׳ס געזעץ: 📎 F1A4F329-0659-4FF1-9E0F-9EB60A5147B2.jpeg והיינו, m זענען די גראדע ליניעס וואס דאס שאפט און n זענען די רינדיכיגע. די C און די p עקספּאָנענט ווענדן זיך אין די דזשיאמעטריק פּראַפּערטיס פונעם פּלעיט. 📎 CA9903AD-F237-4ACB-B317-72CCA8C7659F.jpeg ווי שטערקער און גרעסער די פריקווענסי פון די שאקלען/וועיווס זענען, אלס מער קאמפליצירט ווערן די שׁעיפּס וואס ווערן געשאפן.

לגבי טיילינגס איז דא די טרוּשׁעט טייל. דאס איז א טייל וואס איז סיי שווארץ און סיי ווייס, אזוי אז יעדעס עק איז אנדערש קאלירט ווי די צוויי עקן דערנעבן: 📎 106B5A3D-801D-4652-9099-C89FFE915D42.jpeg אין דעם איז דא די בּאגאלמאני-שמיט קאָנדזשעקטשור וועלכע איז מקשר די צוויי געדאנקען. דאס זאגט אז ווען איך נעם א סקווער גרעף לעטיס און קאליר יעדעס איינס פונקט דערין שווארץ אדער ווייס, אזוי אז קיין איין קאליר זאל נישט זיין דאס זעלבע ווי די פונקטן ארום איר. עפי״ז קומט אויס אז פון די פיר סארטן סקווער טרוּשׁעט טיילס איז אין יעדעס סקווער ארומגענומען מיט פיר פונקטן האב איך א ברירה פון צוויי טרוּשׁעט טיילס וואס איך קען דארט אריינשטעלן אזוי אז עס זאל שטימען מיט די קאלירן פון די פיר פונקטן ביי די גבולים: 📎 44FEB3C5-6D05-4733-8564-29B47D89B673.jpeg די קאָנדזשעקטשור איז אז טאמער טיילט מען דאס רענדאם אזוי אויף אזא לעטיס, והיינו אז ביי יעדעס סקווער וועהל איך ביי רענדאם איינס פון די צוויי ברירות, וועט דאס ביי א גרויס לעטיס אויסקומען בערך דאס זעלבע ווי א גרויסע טשלאדני פּלעיט מיט א הויכע וועיוו; א רענדאם טשלאדני פּלעיט. 📎 FB94899C-613D-49A1-A61A-3A5BE9FFF285.jpeg

עס איז דא א סיִקווענס וואס ווערט גערופן די קעטעלען נומערן. דאס איז אז ביי יעדעס פלאץ אין די סיִקווענס נעם איך צוויי מאל די פלאץ נומער און פון דארט נעם איך די פעקטאָריעל דערפון. דערנאך דיווייד איך דאס ביי די פעקטאָריעל פון איינס מער ווי דעם נומער פלאץ טיימס די פעקטאָריעל פונעם פלאץ נומער. די ערשטע פאר נומערן אין דעם סיִקווענס זענען:
1,2,5,14,42,132

עס זענען דא אסאך פלעצער ווי די נומערן קומען צונוץ. לדוגמא, ווען איך האב א שׁעיפּ וואס האט 2 מער זייטן ווי די פלאץ נומער אינעם קעטעלען סיִקווענס, און איך וויל צוטיילן די שׁעיפּ אין צו טרייענגעלס דורך ליניעס וואס לויפן פון איין עק צו אַן אנדערן אָן איין ליניע זאל דורכגיין אַן אנדערע, דאן איז די צאל טרייענגעלס וואס איך וועל באקומען 2 ווייניגער ווי די צאל זייטן די שׁעיפּ האט. די צאל פארשידענארטיגע וועגן וויאזוי איך קען מאכן די טרייענגעלס און דאס צוטיילן אין צו די 2 ווייניגער ווי די צאל זייטן, איז די קעטעלען נומער ביי יענעם פלאץ אינעם סיִקווענס פון וויפיל טרייענגעלס איך באקום. דאס איז א משל ביי א העקסאגאן וואס האט דאך 6 זייטן וממילא באקום איך 4 טרייענגעלס. די פערטע קעטעלען נומער איז 14 און עס איז דא 14 וועגן דאס צו טוהן:📎 11.jpg ווי אויך טאמער האט מען א צאל טיילס וואס זענען רעקטענגעלס (זיי קענען זיין סקווערס אויך) און איך וויל מיט זיי טיילן א טרעפּ שׁעיפּ וואס די הייך דערפון (און טערמינען פון די קלענסטע ברייט פון א רעקטענגעל טייל וואס מ'האט) איז אזוי הויך ווי די צאל טיילס מ'האט, איז די צאל וועגן ווי אזוי עס איז שייך צו ווערן געטיילט אזוי מיט עני אופן פון רעקטענגעל טיילס, איז די קעטעלען נומער ביי יענעם פלאץ אינעם סיִקווענס פון וויפיל טיילס מ'האט. דא איז א משל מיט 4 טיילס און א הייך פון 4, וואו עס איז דא 14 וועגן דאס צו מאכן וואס איז די פערטע קעטעלען נומער: 📎 12.jpg

לגבי עיפּעריאדישע טיילינגס האט דר. סידהאַרטאַ בּאַטאַטשראַיאַ אויפגעוואוזן אז הגם עס איז שייך צו האבן איין מין טייל וואס קען אליינס טאקע טיילן דעם גאנצן 2D פּלעין און דאס טוהן נאר עיפּעריאדיש, איז דאס אבער נאר טאמער קען מען דרייען דעם טייל אין אלע מיני וועגן ווען איך נוץ דאס. טאמער נישט איז נישט במציאות צו האבן נאר איין מין טייל און מען זאל נאר קענען דערמיט טיילן די פּלעין עיפּעריאדיש. מ'האט קאָנדזשעקטשורד אז דאס זעלבע גייט האלטן אין העכערע דיימענשטאנס ווי 2D. דר. רחל גרינפעלד און דר. טערענס טאַוּ האבן אבער געצייגט אז עס איז יא שייך אין גרעסערע דיימענשאנס אז מ'זאל האבן נאר איין טייל אָן דאס קענען דרייען און עס זאל נאר קענען טיילן דעם שטח עיפּעריאדיש.

זיי האבן אויך צוזאמען געהאט געצייגט אז ווען מען האט א פאר טיילס אין העכערע דיימענשאנס איז עס אַן אָנדעסיידעבּל פראבלעם מברר צו זיין צי זיי קענען אינגאנצן טיילן דעם שטח. מיינענדיג אז עס איז נישטא קיין אלגאריטם דאס מברר צו זיין. לגבי ווען מען האט נאר איין טייל ווייסט מען אז טאמער וואלט די קאנדזשעקטשור געווען אמת דאן איז יא דא אַן אלגאריטם מברר צו זיין צי עס קען טיילן דעם גאנצן שטח (פּעריאדיש) אין העכערע דיימענשאנס. אבער דאס אז עס איז נישט אמת באדייט נאך נישט איר אינווערס אז עס איז נישטא אזא סארט אלגאריטם פאר איין טייל.

א בילד וואס דר. גרינפעלד האט גענומען איבער ווי דר. טאַוּ שפילט זיך מיט זיינע קינדער'ס שפילצייגן צו העלפן טראכטן איבער טיילינגס: 📎 טאו.jpg

לכבוד די ניי יאר האט דער מאטעמאטיקער דר. עד סאַוּטהאָל ארויפגעשטעלט אז עס זענען פארהאן 2,023 וועגן פון (פונקטליך און גענצליך) טיילן א 4x4 סקווער מיט טראַמינוׂיס (וויפיל מ'וויל) אינעם שׁעיפּ פון אַן L און מאַנאַמינוׂיס (וויפיל מען וויל): 📎 11.jpg און אז מ'רעדט שוין פונעם נייעם יאר: 📎 12.jpg 📎 14.jpg פון דא.

ועוד: 📎 7BB8226A-822E-4862-AE88-E8A7E1E12F66.jpeg 📎 9139A8F7-E8EB-4E50-AA4A-0924654096E1.jpeg ועיין כאן.

מי אני

בנוגע עיפּעריאדישע טיילינגס האט מען אלס געפרעגט צו ס׳איז שייך אן ״איינשטיין״ טייל, על שם ״איין שטיין״, וואס מיט נאר איין טייל זאל מען קענען טיילען דעם גאנצן פּלעין אבער עס זאל אויסקומען נאר עיפּעריאדיש (די ווייניגסטע ביי די פּענרוֺיס טיילינגס פארלאנגט צוויי סארט טיילס).

מ'האט אויפגעוואוזן די חודש אז עס איז יא דא אזא סארט קאָנעקטעד טייל. כזה: 📎 איינשטיין.jpg

ענליך צום געדאנק פון היִשׁ נומערן איז דא די געדאנק פון סוּראַוּנד נומערן ביי פּאַליאַמינוֺיס. דאס באדייט אז ווען איך האב א געוויסע פּאַליאַמינוֺי, איז וויפיל אנדערע וועגן איז פארהאן צו גענצליך ארומנעמען (איין מאל) אָנע געפּס די פּאַליאַמינוֺי מיט די זעלבע פּאַליאַמינוֺי. מ'האט אויפגעוואוזן אז יעדעס גאנצע נומער איז די סוּראַוּנד נומער פון עפעס א פּאַליאַמינוֺי. דא ברענגט דר. עריך פריעדמאן עטליכע משלים דערין.

די אלע פּאַליאַמינוֺיס האבן א סוּראַוּנד נומער פון 3: 📎 סוראנד.jpg דאס זענען די סוּראַוּנד נומערן פון אפאר פשוט'ע פּאַליאַמינוֺיס: 📎 סוראנד 2.jpg

אין 1997 האט דר. ראַדזשער פּענרויס, וועלכע האט געהאט ארויסגענומען א קאַפּירייט/פּאטענט אין 1979 אויף די פּענרויס טיילס וואס ער האט געפונען, גערופן קלינעקס אין געריכט ווען זיי האבן געמאכט זיין טיילינג אויף טוילעט פּאפּיר. ער האט געוואונען און זיי זענען געקומען צו א הסכם. 📎 A2935CD5-47C4-47B1-9B89-BE2C5FF50C62.jpeg ***
📎 080C954A-E6BB-483D-B5D0-717946EE2BC5.jpeg ‏דא האב איך צוגעברענגט אז וויבאלד איסלם דערלאזט נישט קיין צורות, דערפאר זענען חכמי האיסלמים געליגן אין טעסעלעישאנס.

עס איז דא די געדאנק פון דעם פּינוויִל טייל. דאס ארבעט מיט די געדאנק פון א סימילעריטי ביי שׁעיפּס. דאס מיינט אז ווען איך האב א א געוויסע שׁעיפּ מיט זייטן פון געוויסע מעזשורמענטס, אויב מאך איך דאס קלענער צי גרעסער מיט אלע זייטן די זעלבע פאקטאר, איז עס בעצם סימילער נאר פשוט געסקעילט. לדוגמא, אויב האב איך א רעקטענגעל וואס איר לענג איז 2 און איר ברייט 1, דאן איז א רעקטענגעל מיט לענג 8 און ברייט 4 סימילער דערצו; עס איז גרעסער מיט די זעלבע פאקטאר פון 4. (אגב, טאמער איז עס פונקט דאס זעלבע ווערט עס גערופן קאַנגרוּענט.)

יעצט, ווען איך האב א רייט טרייענגעל מיט די לענג פון די דריי זייטן וואס זענען 1, 2, און (עפי״ז) א היפּאַטענוּס פון 5 √. די טרייענגעל אליין קען איך צוטיילן און צאמשטעלן פון 5 קלענערע סימילער טרייענגעלס בתוכה. (די פאקטאר איז 1 דיוויידעד ביי 5 √.) 📎 IMG_4563.jpeg וממילא קען איך נעמען נאך פיר אזעלכע טרייענגעלס און מאכן דאדורך א גרעסערע סימילער טרייענגעל דערפון. 📎 IMG_4566.jpeg דערנאך קען איך נעמען 25 אזעלכע טרייענגעלס, 5x5, און מאכן נאך א גרעסערע סימילער טרייענגעל דערפון. וכן הלאה והלאה. ווען מען שטעלט אויס די טרייענגעלס אז אדער איז איין טרייענגעל אויפ׳ן צווייטן אז ביידע נעמען אויף פונקט די גאנצע זייט, אדער איינס נעמט אויף מיט איר זייט פון לענג 1 פונקט האלב פון די זייט פון לענג 2 פונעם אנדערן, דאן קומט דאס אויס צו אַן עיפּיריאדישע טיילינג. 📎 IMG_4560.jpeg ענליך צום סיערפּינסקי טרייענגעל קען מען דאס פארוואנדלען אין צו א פרעקטעל שׁעיפּ, דורכ׳ן דאס כסדר צוטיילן אין צו 5 סימילער קלענערע טרייענגעלס (געמאכט קלענער מיט א פאקטאר פון 1 דיוויידעד ביי 5 √ כנ״ל) און ארויסנעמען די מיטעלסטע. און דערנאך צוטיילן די אלע קלענערע טרייענגעלס בתוכה צו 5 סימילער קלענערע טרייענגעלס (געמאכט קלענער מיט א פאקטאר פון 1 דיוויידעד ביי 5 √ כנ״ל) בתוכם און ארויסנעמען די מיטעלסטע. וכן הלאה והלאה. 📎 IMG_4569.jpeg מ׳האט אויך אויסגעברייטערט די טיילינג צו 3D, גערופן דעם קוואַקוואַווערסעל טיילינג. 📎 IMG_4568.jpeg

דא קען מען זעהן די פּינוויִל טיילינג דורך וויאזוי די טרייענגעל צוטיילט זיך כסדר אין צו קלענערע סימילער טרייענגעלס, קאלירט און קלאר: 📎 IMG_4571.jpeg 📎 IMG_4572.jpeg 📎 IMG_4573.jpeg 📎 IMG_4574.jpeg ***
📎 IMG_4552.jpeg

מי אני

טיילינגס האבן א שייכות מיט וויאזוי אטאמען קענען זיך אויסשטעלן בסימעטרי (אין א סאליד) אלס א (קריסטאל) לעטיס פון א באשטיינדל. דער רוסישער מאטעמאטיקער דר. עווגראף פעדעראוו האט אויפגעוואוזן אז אין 3D זענען דא 230 וועגן וויאזוי זיי קענען זיך אויסשטעלן סימעטריקעלי וואס דאס אין 2D איז 17 סארט וועגן, וואס ווערן גרופּירט אלס די 17 וואנטפאפיר גרופעס לויט די סארטן סימעטריס וואס זיי פארמאגן.

אין דעם, פּעריאדישע טיילינגס, זענען דא וואס מ׳רופט די 17 וואנטפאפיר גרופעס (בתוך גרופע טעאריע וואס איז עוסק אין סימעטריס). דאס ארבעט עפי״ז וואס עס זענען דא 4 מיני סימעטריס וויאזוי א פּעטערן גייט איבער און איבער:

1). טרענסלעישאן - פשוט און פראסט מ׳רוקט א פּעטערן כמו שהיא פון איין זייט צו רעכטס אדער לינקס איבער א געוויסע אימעדזשינערי ליניע

2). רעפלעקשאן - דאס איז וואו איך ״פליפּ״ די פּעטערן איבער א(ן אימעדזשינערי) ליניע, אזוי אז וואס איז רעכטס איז יעצט לינקס און לינקס איז יעצט רעכטס

3). גלייד - וואו איך מאך סיי איר שפיגל (איבער די ליניע) און דערנאך ריק איך דאס ארויף אדער אראפ

4). ראָטעישאן - וואו איך דריי ארום די פּעטערן ארום א(ן אימעדזשינערי) פונקט. וויפיל איך דיווייד די דריי ביי 360⁰, און עס גייט נאך האבן די סימעטרי, וואס גייט דאס צוריק ברענגען צו איר אריגינעלע אויסשטעל, איז די אָרדער פון די ראָטעישאן

יעדעס סימעטריק פּעטערן ווערט בעצם געשאפן אויף א 2D לעטיס. והיינו, א פּלעין פון פונקטן וואס אויף דעם שטעל איך אויס די פּעטערן, און די סימעטריס וואו איך ריק די פּעטערן זענען פון איין סעט פונקטן צו אנדערע. עס קומט אויס אז אין 2D זענען נאר פארהאן 5 מיני דיסקריִט לעטיסיִס וואס קענען אָנהאלטן די סימעטריִס, וואו די פונקטן זענען אויסגעשטעלט כזה: 📎 Lattice.jpeg 1 איז א פּערעלעלאגרעמיק/אָבּליִק לעטיס, 2 איז א רעקטענגולער לעטיס, 3 איז א ראַמבּוס לעטיס, 4 איז העקסאגאנעל לעטיס, און 5 איז א סקווער לעטיס.

דאס אז עס זענען נאר שייך די 5 לעטיסיִס איז עפ״י די קריסטאלאגרעפיק רעסטריקשאן טעארעם וואס לויטעט אז עס איז נאר שייך אויף א לעטיס ראָטעישאנעל סימעטריס פון אָרדערס וואס זענען 2, 3, 4, אדער 6.

ועפי״ז קומט אויס זענען דא די 17 סוגי וואנטפאפיר טעסעלעישאנס:

די בוכשטאב m באדייט אז עס האט א רעפלעקשאן/שפיגל סימעטרי. די בוכשטאב g באדייט אז עס האט א גלייד סימעטרי. די בוכשטאב p באדייט אז דאס איז ״פּרימיטיוו״, והיינו אז ווען איך צונעם דאס אינעם לעטיס וועלן די (אימעדזשינערי) ליניעס פון איבער וואס איך מאך די סימעטרי זיין עליינד מיט׳ן לעטיס. משא״כ ווען עס האט די בוכשטאב c דאן איז דאס ״סענטערד״ און די ליניעס זענען נישט עליינד דערמיט.

‏1). p1 - דאס האט אך ורק נאר טרענסלעישאנעל סימעטרי ולא יותר.

‏2). p2 - דאס האט פיר פונקטן ארום וועלכע איך קען דאס דרייען און האבן א סימעטרי פון אָרדער 2.

‏3). pm - דאס האט נאר פּאראלעלע שפיגל/רעפלעקשאנעל סימעטרי, אדער מימין לשמאל/אריבער א ווערטיקעל ליניע אדער מלמעלה למטה/אריבער א האריזאנטעל ליניע, ולא יותר.

‏4). pg - דאס האט נאר גלייד ריפלעקשאן סימעטרי ולא יותר.

‏5). cm - דאס האט נאר שפיגל/רעפלעקשאנעל סימעטרי און א גלייד ריפלעקשאן סימעטרי ליניע וואס איז פּאראלעל און האלבוועגס צווישן די געהעריגע שפיגל/רעפלעקשאנעל סימעטרי ליניעס.

‏6). pmm - דאס האט נאר צוויי שפיגל/רעפלעקשאנעל סימעטריס; איינס בשתי און איינס בערב. עס האט אויך פיר ראָטעישאנעל סימעטרי פונקטן פון אָרדער 2.

‏7). pmg - דאס האט נאר 2 ראָטעישאנעל סימעטרי פונקטן פון אָרדער 2. עס האט אויך שפיגל/רעפלעקשאנעל סימעטרי אין איין דירעקציע בערב, און א גלייד ריפלעקשאן סימעטרי וואס איז בשתי דערצו, וואס אויף אט די גלייד ליניעס זענען די פונקטן ארום וואס די ראָטעישאנעל סימעטרי דרייט זיך.

‏8). pgg - דאס האט נאר 2 ראָטעישאנעל סימעטרי פונקטן פון אָרדער 2. עס האט אויך צוויי גלייד ריפלעקשאן ליניעס בשתי וערב, אבער קיין שום געהעריגע ריפלעקשאן סימעטריס.

‏9). cmm - דאס האט נאר צוויי שפיגל/רעפלעקשאנעל סימעטריס בשתי וערב און א ראָטעישאנעל סימעטרי פון אָרדער 2 וואס צוויי פונקטן דערפון זענען אויפ׳ן שפיגל/רעפלעקשאנעל ליניע און איינס וואס נישט. (אַן אלגעמיינער ציגל וואנט איז די סארט.)

‏10). p4 - דאס האט נאר צוויי ראָטעישאנעל סימעטריס פון אָרדער 4 און איינס פון אָרדער 2. עס האט נישט קיין שום סארט ריפלעקשאנס.

‏11). p4m - דאס האט נאר צוויי ראָטעישאנעל סימעטריס פון אָרדער 4, און 4 שפיגל/רעפלעקשאנעל סימעטריס מלמעלה למטה וברוחב, ווי אויך די דייעגאנעלס דערפון באלכסון שתי וערב; אלע ראָטעישאנעל פונקטן ליגן אויף די ריפלעקשאן ליניעס. חוץ מזה האט דאס גלייד ריפלעקשאן סימעטרי ליניעס וואס זענען נישט די זעלבע ליניעס פון די געהעריגע ריפלעקשאנס. וואו די ראָטעישאנעל סימעטריס פון אָרדער 4 ווערן אָרדער 2, ביי צוויי דרייען, איז דאס וואו די גלייד ליניעס קומען זיך צאם. (א פשוט׳ע סקווער טיילינג איז די סארט.)

‏12). p4g - דאס האט נאר צוויי ראָטעישאנעל סימעטריס פון אָרדער 4 (וואס זענען איינס קעגן דעם צווייטן), און עס האט נאר צוויי ריפלעקשאן סימערטי ליניעס בשתי וערב. וואו די ראָטעישאנעל סימעטריס פון אָרדער 4 ווערן אָרדער 2, ביי צוויי דרייען, איז דאס וואו די ריפלעקשאן ליניעס קומען זיך צאם. עס האט אויך גלייד ריפלעקשאן ליניעס וואס זענען פּאראלעל און אינצווישן די געהעריגע ריפלעקשאן ליניעס, ווי אויך ביי אלכסונן.

‏13). p3 - דאס האט נאר דריי ראָטעישאנעל פונקטן פון אָרדער 3.

‏14). p3m1 - דאס האט דריי ראָטעישאנעל פונקטן פון אָרדער 3, וואס די פונקטן זענען איינס אויף יעדעס איינס פון דריי ריפלעקשאן ליניעס ביי דריי זייטן כטרייענגעל. עס האט אויך דריי גלייד ריפלעקשאן ליניעס וואס זענען אינצווישן פאראלעל געהעריגע ריפלעקשאן ליניעס.

‏15). p31m - דאס איז דאס זעלבע ווי די פריערדיגע p3m1, אבער די חילוק איז אז עס האט כאטש איין ראָטעישאן פונקט וואס איז נישט אויף א ריפלעקשאן ליניע.

‏16). p6 - דאס האט נאר איין ראָטעישאן פונקט פון אָרדער 6, צוויי ראָטעישאן פונקטן פון אָרדער 3, און דריי ראָטעישאן פונקטן פון אָרדער 2.

‏17). p6m - דאס איז ווי p6, נאר עס האט אויך ריפלעקשאן ליניעס אין זעקס אנדערע העקסאגאנעל דירעקציעס, און אויך זעקס גלייד ריפלעקשאן ליניעס אין אנדערע העקסאגאנעל דירעקציעס וואס זענען יעדעס איינס אינצווישן צוויי פּאראלעל געהעריגע ריפלעקשאן ליניעס.

דאס איז א טשארט וואס שטעלט אויס אין וועלכע סוג וואנטפאפיר די פּעטערן וואס גייט איבער גייט אריין: 📎 IMG_4922.jpeg עס קומט אויס אז די וואנטפאפירן פון p1, p2, זענען ביי א פּערעלעלאגרעמיק/אָבּליִק לעטיס; די וואנטפאפירן pm, pg, pmm, pmg, pgg זענען ביי א רעקטענגולער לעטיס; די וואנטפאפירן cm און cmm זענען ביי א ראַמבּוס לעטיס; די וואנטפאפירן p3, p3m1, p31m, p6, p6m זענען ביי א העקסאגאנעל לעטיס; און די וואנטפאפירן p4, p4m, p4g זענען ביי א סקווער לעטיס.


‏דא איז אַן עפּלעט וואו מ׳קען זיך ארומשפילן מיט׳ן שאפן פארשידענע וואנטפאפיר פּעטערנס עפ״י די 17 סוגים.

עס איז דא א סארט טעסעלעישאן וואס ווערט גערופן א וואָראָנאָי דייאגראם. דאס איז ווען מ׳האט רענדאם (סיִד) פונקטן אויף א פלאכע 2D פּלעין, דאן די ראיאן וואס איז נענטער צו איין פונקט ווי די אנדערע זענען בגבוליה. די גבול דערפון איז וואו די ווייטקייט פון איין פונקט צום אנדערן איז דאס זעלבע.📎 IMG_4967.jpeg ווען איך שטעל אויס די ווייטקייט נאר אין טערמינען פון א קאַרטיזשיען ״בּאַקסעדיגע/גראדע״ גרעף, גערופן ״מאנהעטען״ דזשיאמעטרי (על שם די בּאַקסעדיגע אויסשטעל פון אירע גאסן, כידוע פונעם סאָבּוועי מאַפּע), דאן איז דאס כזה:📎 IMG_4968.jpeg

אויב האט מען א גריד וואס איז ברייט צוויי קעסטעלעך און הויך א געוויסע צאל קעסטעלעך, דאן איז די צאל וועגן מ׳קען דאס טיילן מיט דאַמינוֺיס וואס זענען 1x2 קעסטעלעך די נומער אינעם פיבּאָנאַטשי סיִקווענס וואס איז איינס מער ווי די צאל קעסטעלעך אין די הייך פון דעם גריד.

דר. שרה-מערי בּעלקאַסטראָ האט אויפגעוואוזן אז ביי א מאָבּיִאוס סטריפּ וואס איז ברייט 2 קעסטעלעך און לאנג א געוויסע צאל (און די דריי דערין איז ביי די לענג) וועט די צאל וועגן פון טיילינגס מיט דאַמינוֺיס וואס זענען 1x2 קעסטעלעך ווען די לענג איז 1 אדער 2, איז 3 וועגן. ווען די לענג איז לענגער ווי דעם דאן איז די צאל וועגן פון דאַמינוֺי טיילינגס 1 ווייניגער ווי די צאל קעסטעלעך אין די לענג אבער די נומער קען נישט זיין מער ווי 2 (עס איז מאַדולער ארום 2, והיינו אז עס איז אדער 0, אדער 1, אדער 2, וחוזר חלילה) און דאס גיי איך מאָלטיפּלייען טיימס 2, און וואס איך באקום נעם איך אוועק פון פון די סומע טיילינגס ביי א מאָבּיִאוס סטריפּ וואס די לענג איז 1 ווייניגער ווי די, צוזאמען מיט די די סומע טיילינגס ביי א מאָבּיִאוס סטריפּ וואס די לענג איז 2 ווייניגער ווי די. 📎 IMG_5031.jpeg אגב, בנוגע פיבּאָנאַטשי נומערן האט דער מאטעמאטיקער דר. אייראַ געסעל אויפגעוואוזן אז א נומער איז א פיבּאָנאַטשי נומער נאר טאמער עס וועט אויסקומען צו א סקווער נומער אויב מאָלטיפּליי איך 5 מאל די נומער און איך נעם אוועק אדער לייג צו דערצו 4.

טאמער האב איך פונקטן אויף א 2D לעטיס, איינס אונטער דאס אנדערע און אין שורות נעבן דאס אנדערע, וואס יעדעס איינס איז פונקט דאס זעלבע ווייט פונעם אנדערן (און וואו די ווייטקייט איז אין גאנצע נומערן/אינטעדזשערס), און איך וויל דאס טיילן מיט שׁעיפּס וואס יעדעס איינס איז איר סענטער ביי א פונקט און אזוי אז די פּערימעטער פונעם שׁעיפּ [די גאנצע מרחק רינגסט ארום דאס שׁעיפּ] זאל זיין דאס קלענסטע שייך, דאן איז די אַפּטימעל טיילינג דערפון נישט א סקווער. עס איז א שׁעיפּ וואס ווערט גערופן טשוי׳ס אירעגולאר העקסאגאן כזה:📎 IMG_5926.jpeg

אין טעסעלעישאנס איז דא די קאַנוועי קרייטעריאן. דאס לויטעט אז אויב האב איך איין שׁעיפּ און איך וויל וויסן טאמער צי אסאך טיילס פון די טייל אליינס קען טיילן די פּלעין, דאן אויב איז דאס א פארמאכטע שׁעיפּ רינגסט ארום אָן קיינע לעכער בתוכה (אזוי אז איך קען דאס אויספארעמען אין צו א סירקעל אָן שניטן), אויף וועלכע איך שטעל אויס אויף איר פארעם 6 פונקטן, וואס כאטש 3 זענען גענצליך אפגעזונדערט, אזוי אז אז עס קומט נאך צוויי תנאים:

1). אז די ליינס צווישן צוויי סעטס פון צוויי פונקטן דערויף, קענען ווערן געהעריג פארטוישט ווען איך ריק (אָן דרייען; א טרענסלעישאן) ווען איין ליין צווישן צוויי פונקטן איבער די אנדערע ליין צווישן די צוויי אנדערע פונקטן

2). די פיר אנדערע ליינס וואס זענען צווישן די אנדערע סעטס פון פונקטן, דארפן צו זיין סענטראָסימעטריק, והיינו אז אויב איך דריי זיי ארום 180⁰ ארום זייער מיטל-פונקט, דאן זעהט דאס אויס גענוי דאס זעלבע ווי בעפארן דרייען

אויב קומט די שׁעיפּ נאך די תנאים, דאן ווייס איך זיכער אז דאס איז א פּראָטאָטייל וואס מיט קאַפּיס פון נאר די טייל אליינס, קען מען טיילן דעם גאנצן 2D פּלעין פּעריאדיש. עס וועט דאס טיילן אזוי אז אדער איז דאס גראד (רעלאטיוו צו וואס איך רעכן ״גראד״ ביי דעם שׁעיפּ) אדער 180⁰ פון דעם; נישט אנדערש. ווי אויך זאגט דאס נישט אז א פּראָטאָטייל וואס קען אליינס טיילן דעם גאנצן פּלעין ״מוז בהכרח״ האבן די תנאים און ״נאר אזוי״ קען זיין אז עס זאל טיילן דאס גאנצע. עס זאגט נאר אז טאמער האט דאס די תנאים, דאן ווייס איך זיכער אז דאס קען דאס טוהן; עס איז סאָפישענט אבער נישט נעסעסערי.

דא זעהט מען א סארט שׁעיפּ וואס קומט נאך די תנאים: 📎 IMG_5964.jpeg די רויטע פונקטן זענען די 6 פונקטן. די ליינס אין שווארץ, צווישן צוויי סעטס פון צוויי רויטע פונקטן, זענען גענוי דאס זעלבע דורכ׳ן פשוט רוקן איינס אויפ׳ן צווייטן אָן דאס דרייען. די איבעריגע סענקשאנס צווישן די אנדערע רויטע פונקטן, קען מען זיי דרייען 180⁰ (אָנכאפענדיג דעם בלויען פונקט אינדערמיט), און עס וועט אויסזעהן גענוי דאס זעלבע ווי פאר׳ן דרייען. 📎 IMG_5965.jpeg דא זעהט מען ווי אזוי עס טיילט דעם פּלעין; יעדעס קאליר איז די שׁעיפּ, וואס די שׁעיפּ איז דאך צאמגעשטעלט פון העקסאגאנס וואס מ׳ווייסט שוין קען אליינס טיילן דעם גאנצן פּלעין.

דער מאטעמאטיקער דר. קאַרל ריינהאַרט האט געשטעלט א פראגע צי ס׳איז דא אזא סארט טייל, וואס צוויי פון זיי קענען גענצליך ארומנעמען א דריטע אינדערמיט. מ׳האט גע׳ספק׳ענט צי דאס איז בכלל מעגליך. זיין תלמיד דר. היינז וואדערבערג איז אויפגעקומען מיט די טייל:📎 IMG_6024.jpeg וואס קען דאס טוהן:📎 IMG_6027.jpeg ולא זו בלבד, נאר צוויי פון די טיילס קענען גענצליך ארומנעמען צוויי פון זייערע זעלבע טיילס:📎 IMG_6025.jpeg די סארט טייל קען גענצליך טיילן דעם פּלעין, בדרך ספּיירעל (וממילא איז עס נאַן-פּעריאדיק אבער נישט דוקא עיפּעריאדיק):📎 IMG_6026.jpeg

אינעם סוגיא פון דאַמינוֺיס זענען דא די ווענג טיילס פון דר. האָאַ ווענג. דאס זענען קעסטעלעך וואס אויף יעדעס זייט האט עס א געוויסע קאליר (אדער אויסשניט). מער ווי איין זייט דערפון מעג האבן די זעלבע קאליר. די שאלה איז צי איך קען האבן א סעט דערפון, אזוי אז עס זאל טיילן די גאנצע פּלעין, אויב מוז איך זיי אויסשטעלן אז א זייט וואס האט איין מין קאליר זאל זיך באהעפטן צו אַן אנדערע טייל וואס האט די זעלבע קאליר אויף יענע זייט (אדער וואו די אויסשניטן מעטשען און קענען באהעפטן). און טאמער עס קען, צי עס קען עס טוהן פּעריאדיש?

דר. האָאַ׳ס תלמיד דר. ראבּערט בּערגער האט אויפגעוואוזן אז עס איז נישטא קיין אלגאריטם דאס מברר צו זיין פאר א געוויסע סעט פון טיילס וואס מ׳האט. אבער עס עקזיסטירט בבטח סעטס פון אזעלכע טיילס וואס קענען טיילן די פּלעין עכ״פ עיפּעריאדיש. לדוגמא, די סעט פון 11 ווענג טיילס קען דאס טוהן:📎 IMG_6029.jpeg און דאס איז די זעלבע סעט נאר מיט אויסשניטן אנשטאטס קאלירן:📎 IMG_6030.jpeg

מי אני #

אירעגולארע טיילינגס זענען ווען די שׁעיפּ דערין איז נישט קיין רעגולארע פּאַליגאַן, דהיינו נישט אלע אירע זייטן (וממילא ענגעלס) זענען אייניג. דאס איז אפילו טאמער נוץ איך נאר איין אזא שׁעיפּ און דאך טיילט עס אנע געפּס און מיט א פּעטערן.

יעדעס סארט טרייענגעל אדער פיר-עק, ואפילו אירעגולארע, קענען לגמרי טיילן דעם פּלעין. למשל: 📎 טיילס.jpg אויב האט עס זיבן זייטן אדער מער, קען דאס נישט טיילן דעם פּלעין (נוצענדיג נאר די טייל).

עס זענען דא דריי סארטן אירעגולארע קאַנוועקס העקסאגאַנס וועלכע קענען טיילן דעם פּלעין.📎 העקסאגאן.jpg רעגולארע פּענטאגאנס קענען נישט טיילן דעם פּלעין. אבער מ'האט אויפגעוואוזן אז עס זענען נאר פארהאן 15 סארטן אירעגולארע פּענטאגאנס וועלכע קענען דאס יא טיילן.📎 פענטאגאן 1.jpg📎 פענטאגאן 2.jpg

אז מ׳האט דערמאנט דעם ארטיסט מאריטץ עשער בנוגע טעסעלעישאנס, האט ער געמאכט אַן עמבּיגרעם טעסעלעישאן פון זיין נאמען. אַן עמבּיגרעם איז א געשריבענע זאך וכדומה, וואס ווען מ׳דרייט דאס ארום זאגט עס עפעס אנדערש. די ״עפעס אנדערש״ קען בעצם זיין דאס זעלבע ווי די געשריבענע זאך אליינס, נאר מ׳קען עס זעהן איבערגעדרייט פונדאסניי. ער האט געמאכט א טעסעלעישאן פון זיין נאמען ״עשער״ אזוי, אז ווען מ׳דרייט דאס ארום אינגאנצן זעהט מען די חלק הגליון [נעגאטיוו ספּעיס], די פלאץ צווישן די אותיות מעיקרא, ווי זיי שרייבן ארויס נאכאמאל זיין נאמען: 📎 IMG_6869.jpeg ער האט אויך געהאט געמאלן ווי א האנט קומט ארויס פון א פאפיר און מאלט א צווייטע האנט, וואס די צווייטע האנט איז וואס מאלט אט די האנט וואס מאלט אים, וחוזר חלילה: 📎 IMG_6868.jpeg ועפי״ז האט מען (כעין) צאמגעשטעלט די צוויי בילדער כזה:📎 IMG_6867.jpeg

עס איז ידוע אז געהעריגע און געווענליכע קאמפּיוטערס ארבעטן דורך בּיינערי בּיטס בתוך די טרענסיסטארס (בתוך די לאגיק געיטס). דאס קען נאר האבן איינס פון צוויי סטעיטס: אנגעצינדן אויף דורכצולאזן עלעקטראנס/אינפארמאציע אדער נישט. די קאמפּיוטינג פּאַוּער פון געווענליכע קאמפּיוטערס האט אבער בהכרח א לימיט, ביחס צו ווי גרויס עס איז. דאס איז וויבאלד די טרענזיסטארס ווערן קלענער און קלענער עד כדי די קליינקייט פון אטאמען, וואס דארט נעמען די קוואנטום געזעצן איבער און עלעקטראנס ״ארבעטן״ אנדערש.

פיזיקער ארבעטן אויף א ״קוואנטום קאמפּיוטער״ וואס איז נאך שטערקער. דאס ארבעט מיט ״קיוּבּיטס״, וועלכע נוצט טאקע די געדאנק פון סוּפּערפּאזישאן ביי קוואנטום פיזיקס. והיינו, אנדערש ווי א געהעריגע בּיט וועלכע קען נאר זיין אין איינס פון צוויי סטעיטס, קען א קיוּבּיט בעצם זיין אין ביידע (עכ״פ מיט׳ן האבן א פּראַבּעבּיליטי באהאפטן צו יעדעס מעגליכע סטעיט, ועיין בדברי דר. סקאַט עראנסאן), ביז מען מעסט איר און עס דיקאָהערט צו איינע פון זיי. דאס איז היפש שטערקער ווי סתם א בּיט (עכ״פ ביי לענגערע קאמפּיוטעישאנס). למשל, אז מ׳האט 4 בּיטס, וואו יעדעס איז אין איינס פון צוויי סטעיטס, קענען זיי זיין אין איינס פון 2⁴ = 16 סטעיטס. משא״כ 4 קיוּבּיטס קענען זיין אין אלע 16. און ווי מער, אלס מער וואקסט איר קאמפּיוטינג פּאַוּער עקספּאָנענשאלי ביחס צו געהעריגע בּיטס.

די שוועריקייט פון דעם איז אז די קיוּבּיטס זאלן נישט דיקאָהערן וכדומה נאכ׳ן האבן די אינפארמאציע ענקוֺידעד בתוכם. דער מאטעמאטיקער דר. פּיטער שׁאָר איז אויפגעקומען מיט א מהלך וואו מ׳צוטיילט די ״אינפארמאציע״ איבער מערערע קיוּבּיטס. אין אנדערע ווערטער, פון איין קיוּבּיט ווייסטו אבסאלוט גארנישט קיין אינפארמאציע; עס איז נאר פונעם צאמשטעל וואס עפעס קומט בכלל ארויס. און דערנאך איז דא א וועג פון ״פאררעכטן״ די קארופטירטע קיוּבּיט. 📎 IMG_6908.jpeg דר. זשי לי און דר. לעטעם בּוֺיל האבן אויפגעוואוזן אז ס׳דא א מאטעמאטישע שייכות מיט דעם געדאנק צו די פּענרוֺיס עיפּעריאדישע טיילינג. והיינו אין קורצן, אז ביי זיי איז אויך שייך וואו עס איז דא בתוך א קלאס פון טיילינגס א גאנצע שטיק וואס איז דאס זעלבע ווי אַן אנדערע טיילינג, אבער איך קען דאדורך בשו״א נישט געוואור ווערן אינפארמאציע איבער די גאנצע טיילינג. 📎 IMG_6905.jpeg ‏די סארט טיילינג האט אויך א שייכות מיט געוויסע מאדעלן פון קוואנטום גראוויטי. ובפרט ביי אנטי-דע-סיטער ספּעיס, וואס אין אזא מאדעל ‏וואקסט ארויס די ריאליטעט פון קוואנטום קאָרעקשאנס (און ביי שווארצע לעכער קען עס זיך שוין נישט פאררעכטן). און אנטי-דע-סיטער ספּעיס איז הייפּערבּאַליק (און מער ניתן צו זיין האלאגרעפיק), ועיין לעיל איבער הייפּערבּאַליק טעסעלעישאנס.

די פּיטעגאריען טיילינג איז וואו איך האב א סקווער וועלכע איך נעם ארום מיט גרעסערע סקווערס אדער (רעקטענגעלס): 📎 IMG-20240503-WA0009.jpg דאס ווערט גערופן ״פּיטאגאריען״, וויבאלד מ׳קען דאס נוצן צו אויפווייזן דאס פּיטאגאריען טעארעם דורכ׳ן ארויפלייגן דערויף שיפערהייט א גרעסערע סקווער וועלכע צוטיילט דאס אין צו רייט טרייענגעלס כזה: 📎 IMG-20240503-WA0008.jpg אין די 1665 מאלעריי פון יעקב אכטערוועלט זעהט מען די טיילינג אויפ׳ן פלאָר: 📎 IMG-20240503-WA0010.jpg ובענין זה איז דא קעלער'ס קאנדזשעקטשור. דאס לויטעט אז אויב מאך איך א טיילינג, אין עני דיימענשאן, מיט קאַפּיס פון 1 גענויע זעלבע הייפּערקיוּבּ, גייען בהכרח צוויי פון די הייפּערקיוּבּס דערין זיין גענצליך איינס קעגן דאס אנדערע זייט-ביי-זייט. והיינו, א הייפּערקיוּבּ באדייט די שׁעיפּ/פּאַליגאַן וואס אין יענע דיימענשאן איז כל צלעותיו שוות: א סקווער אין 2D, א קיוּבּ אין 3D, א טעסערעקט אין 4D אא״וו. וממילא זאגט די קאנדזשעקטשור אז אויב מאכט מען א טיילינג אין א דיימענשאן מיט נאר די איין סארט שׁעיפּ, וואו אלע זענען די גענוי זעלבע סייז, דאן מוז בהכרח זיין כאטש צוויי פון זיי וועלכע רירן זיך אָן איינע די אנדערע גענצליך ביי א זייט; דאס גאנצע זייט פון איינע אויף די גאנצע זייט פונעם צווייטן. דאס איז לדוגמא ביי א טיילינג אין 2D און 3D פון זעלבע-סייז סקווערס/קיוּבּס: 📎 IMG-20240503-WA0011.jpg עס קומט אויס אז די זייט וואס טרעפט זיך מיט׳ן אנדערן, איז אט די הייפּערקיוּבּ שׁעיפּ אין איין דיימענשאן נידעריגער. ביי א 2D סקווער איז עס א ליין וועלכע איז דאס אין 1D, און ביי א 3D קיוּבּ איז דאס איינע פון אירע זייטן/פנימ׳ער וועלכע איז א סקווער אין 2D. אא״וו.

מ׳קען דאס פארוואנדלען אין צו א גרעף וועלכע ווערט גערופן דעם קעלער גרעף. דאס ארבעט אז פאר א געוויסע דיימענשאן שטעל איך אויס אזויפיל פונקטן ווי 4 געהויבן צו דאס עקספּאָנענט פון די נומער פון יענע דיימענשאן. יעדעס פונקט האט אויף זיך אזויפיל נומערן/קאלירן ווי יענע דיימענשאן, פון אַן אויסוואל פון אַן איִווען צאל קאלירן (פון 4 און ארויף), וואו פון די 4 (אדער ארויף) זענען זיי צוויי גרופעס פון צוויי קאלירן א פּאָר. דערנאך באהעפט איך איין פונקט צו א צווייטן מיט א ליין/עדזש נאר אויב די קאלירן דערין זענען איינס אנדערש פונעם צווייטן, און די אנדערע איז סיי אנדערש און סיי איר פּאָר. אויב קען איך דערנאך מאכן דערין א קליִק, והיינו ארויסנעמען דערפון אַן עקסטערע גרעף וואו יעדעס פונקט דערין איז מקושר צו אלע אנדערע פונקטן דערין, וואס גייט האבן כאטש אזויפיל באהאפטענע פונקטן ווי 2 געהעכערט צום עקספּאָנענט פון די דיימענשאן, דאן איז די קאנדזשעקשטור פאלש אין יענעם דיימענשאן. דא איז א משל פון די קעלער גרעף ביי 2D: 📎 IMG-20240503-WA0012.jpg 📎 IMG_7258.jpeg די קאנדזשעקטשור איז אויפגעוואוזן צו זיין אמת ביז 7D ועד בכלל, און פאלש אין אלע העכערע דיימענשאנס ווי דעם. אויב אבער שטעלט מען אויס די טיילינג פון די הייפּערקיוּבּס אזוי אז זייערע סענטערס מאכן א לעטיס, דאן איז דאס יא אמת אין יעדעס דיימענשאן (דאס ווערט גערופן האדזשאס׳ טעארעם).

לגבי פּאַליאַמינוֺיס זאגט דער מאטעמאטיקער דר. דוד ריטשעסאן אז עס זענען פארהאן 12 סארטן וועגן פון וויאזוי א פּענטאַמינוֺי קען זיין אויסגעשטעלט. א פּענטאַמינוֺי איז א פּאַליאַמינוֺי וואס איז צאמגעשטעלט פון 5 סקווערס: 📎 IMG_7372.jpeg עס קומט אויס אז יעדעס פון די 12 סארטן פּענטאַמינוֺיס קען אליינס ווערן צאמגעשטעלט פון 9 קלענערע פּענטאַמינוֺיס. 📎 IMG_7367.jpeg און דאס קען ווייטער גיין קלענער און קלענער, הלאה והלאה. דא איז וואו ער האט דאס געמאכט דריי מאל בתוך איין פּענטאַמינוֺי: 📎 IMG_7373.jpeg 📎 IMG_7369.jpeg 📎 IMG_7370.jpeg 📎 IMG_7371.jpeg דאס דערמאנט אביסל פון ‏פרעקטעלס.

מי אני #

מי אני

בנוגע עיפּעריאדישע טיילינגס האט מען אלס געפרעגט צו ס׳איז שייך אן ״איינשטיין״ טייל, על שם ״איין שטיין״, וואס מיט נאר איין טייל זאל מען קענען טיילען דעם גאנצן פּלעין אבער עס זאל אויסקומען נאר עיפּעריאדיש (די ווייניגסטע ביי די פּענרוֺיס טיילינגס פארלאנגט צוויי סארט טיילס).

מ'האט אויפגעוואוזן די חודש אז עס איז יא דא אזא סארט קאָנעקטעד טייל. כזה: איינשטיין.jpg

📎 IMG_7474.jpeg די סארט ״איינשטיין״ טייל, טיילד די גאנצע פּלעין נאר עיפּעריאדיש, און אָן דארפן ריפלעקטן די טייל אז עס זאל זיין א שפיגל פונעם אנדערן (אזוי ווי מ׳דארף טוהן מיט די אריגינעלע ״הוט״ טייל); וואס אין אזא פאל וואו מ׳ריפלעקט די טייל קען מען טענה׳ן אז זיי זענען צוויי באזונדערע שׁעיפּס און נישט אַן עכטע ״איינשטיין״, זייענדיג אז די ‏שפיגל פון איינס איז טשירעל צום צווייטן און מ׳קען נישט ארויפלייגן איינע איבער דאס אנדערע עס זאל זיין דאס זעלבע [כלדוגמא א רעכטע שיך אויף א לינקע שיך]. ביי דעם אבער דארף מען דאס נישט טוהן און עס גייט טיילן די גאנצע פּלעין נאר עיפּעריאדיש, טאמער לאז איך דאס נישט שפיגלען. (טאמער לאז איך דאס יא שפיגלען, דאן קען עס יא טיילן דעם פּלעין אויך פּעריאדיש און נישט נאר עיפּעריאדיש. די אריגינעלע ״הוט״ טייל קען טיילן נאר עיפּעריאדיש, אויב קען מען דאס שפיגלען בתוך די טיילינג; בלא זה גייט דאס אינגאנצן נישט טיילן.)

‏עס קען האבן השלכות לגבי כעמיסטרי וואס, ווי באקאנט, איז דא א חילוק אין די פונקציעס צווישן מאלעקיולס וואס זענען איין ‏געבוי און די מאלעקיולס מיט די זעלבע גענויע געבוי, אבער איז פשוט געשפיגעלט און טשירעל צום אנדערע.

עס איז אויך מערקווידיג ווי דר. ניקאלעס דע בּרואין האט אויפגעוואוזן אז די עיפּעריאדישע פּענרוֺיס טיילינג, וועלכע איז אויף א 2D פּלעין, איז נובע בשורשה פון א פּעריאדישע טיילינג אין 5D. די געדאנק איז ענליך צו ווי אזוי די לעטיס אין 2D ווערט ״מפורש״ אין 1D. 📎 IMG_7476.jpeg

דר. נאטאלי פּריעבּע פרענק ברענגט צו פון דר. טערענס טאַוּ, אז ער גלייבט ס'איז דא א סארט טייל, אויף וועלכע עס איז דא א פּרוּף אז מ'קען נישט פּרוּוון אז עס קען טיילן די פּלעין און אויך נישט פּרוּוון אז עס קען נישט טיילן די פּלעין (ואפילו אין 2D, און נאך מער טאמער נעמט מען אויך אריין אין כלל טיילינגס אין העכערע דיימענשאנס). דר. דזשאנא לעווין גלייכט דאס צו צום געדאנק פון גאָדעל'ס טעארעמס. (ועיין כאן בדבריה בענין זה לגבי פיזיקס און די "טעאריע פון אלעס".)

זייענדיג אז דר. פרענק ארבעט אין דעם פעלד, האט זי אליינס געטיילט די פלאָרס פון איר ביהכ"ס און איר קרובים'ס:📎 טיילינגס.jpg

לגבי טרוּשׁעט טיילס זאגט דער מאטעמאטיקער דר. דוד ריטשעסאן:📎 IMG_7789.jpeg

מי אני #

אין 1997 האט דר. ראַדזשער פּענרויס, וועלכע האט געהאט ארויסגענומען א קאַפּירייט/פּאטענט אין 1979 אויף די פּענרויס טיילס וואס ער האט געפונען, גערופן קלינעקס אין געריכט ווען זיי האבן געמאכט זיין טיילינג אויף טוילעט פּאפּיר. ער האט געוואונען און זיי זענען געקומען צו א הסכם.
A2935CD5-47C4-47B1-9B89-BE2C5FF50C62.jpeg

לגבי דעם איינשטיין טייל:📎 IMG_7976.jpeg