פראבאביליטי חלק ב

פראבאביליטי חלק ב.

איך וועל ממשיך זיין מיט ערקלערן קאמביניטאריקס, ביים דעפינירן א נייע קאנסעפט גערופן ״פאקטאריאל״ (factorial) (אדער אין העברעאיש: ״עצרת״).
די פאקטאריאל פון א נאטורליכע נומער, איז די מולטיפליקעישן פון אלע נאטורליכע נומערן קלענער פון איהם. און מען צייכענט עס מיט די באקאנטע צייכן ״!״ ווי למשל:

1!=1
2!=1*2=2
3!=1*2*3=6
4!=1*2*3*4=24

און אזוי ווייטער.
דאן לאמיר זעהן ווען עס קומט צו נוץ:

״טוישונגען״
לאמיר זאגן אונז האבן מיר n קארטלעך וואס אויף יעדע איינץ שטייט א געוויסע נומער, וויפיל מעגליכקייטן זענען דא צוזאמצושטעלן א סדר פון די אלע קארטלעך.
דער ענטפער איז, נוצנדיג דעם דאבלען פרינציפ, אז אינעם ערשטן שטאפל האבן מיר n מעגליכקייטן, (ווען n קומט דענאטירן יעדע נאטורליכע נומער), אינעם צווייטן שטאפל, האבן מיר שוין נאר n-1 מעגליכקייטן (ווייל מיר האבן דאך שוין אויסגענוצט איינס), ווידער אינעם דריטן שטאפל האבן מיר שוין נאר n-2, און אזוי ווייטער, ביז ביים n'טן שטאפל האבן מיר נאר איין אויסוואל, דאן קומט אויס אז דער סך הכל פון אלע מעגליכקייטן, זענען:

n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*…*3*2*1=n!

למשל אויב עס זענען דא 7 קארטלעך, דאן וועט דער ענטפער זיין:

7!=5,040

״k טוישונג״

לאמיר זאגן אז מיר פארמאגן א באקס וואס עס ליגט דערין n קארטלעך, וואס האבן געוויסע נומערן, און איך וויל ארויסנעמען k קארטלעך פון צווישן די n, (ווען k איז יעדע נאטורליכע נומער וואס איז קלענער פון n, אדער מאטעמאטיש געשריבן k<n ). וויפיל מעגליכקייטן זענען דא?
דער ענטפער איז:

n!/(n-k)!

למשל, אויב מיר וועלן לאזן n זיין 12, און k וועט זיין 5. אין אנדערע ווערטער מיר האבן א באקס מיט 12 פארשידענע קארטלעך, און מיר קענען ארויסנעמען 5 קארטלעך פון צווישן זיי, וויפיל מעגליכקייטן זענען דא?
דער ענטפער איז, לויט ווי אויבנדערמאנט:

12!/(12-5)!=12!/7!=(2*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12)/(2*3*4*5*6*7)=8*9*10*11*12=95,040

(איך האף אז דער עולם האט פארשטאנען וואס איך האב דא געטוהן, אנשטאט צו נוצן ריזיגע נומערן, וואס נישט יעדע קאלקעלעיטער קען זיך ספראווען דערמיט).

״רונד טוישונג״

אויב מיר האבן n קארטלעך, יעדע איינס מיט א געוויסע נומער, און מיר ווילן זיי אויסלייגן אין א סירקל, (נישט אזוי ווי אין אנפאנג וואס ס׳איז געווען א אנהייב און א ענד), וויפיל מעגליכקייטן איז דא עס אויסצושטעלן?
אין דעם פאל, איז אונז נישט קיין חילוק, ווער עס איז דער ערשטער, און ווער דער לעצטער. דעמאלטס, לאמיר נעמען די רעזאלטאט פון א געווענליכע טוישונג, וואס ווי פריער דערמאנט, איז !n, און לאמיר איהם צוטיילן אין די נומער וויפיל פלעצער עס זענען דא אינעם סירקל, (וואס איז n), וועלן מיר באקומען:

n!/n=(n-1)!

למשל, אויב מיר וועלן אוועקשטעלן דעם נומער 12 פאר n, דאס הייסט, אז עס איז פארהאן 12 קארטלעך, דאן, וועט דער ענטפער זיין:

(12-1)!=11!=39,916,800

____________________________________________________________________
איבונגען:
וויפיל צירופים פון שם הוי״ה זענען דא?
וויפיל פון שם אלקים?
וויפיל מעגליכקייטן זענען דא צו צוזאמשטעלן א ווארט וואס באשטייט פון אלע אלף-בית, (אן איבער נוצן א אות)?

ווען איך האב א נומער-שלאס, וואס באשטייט פון 10 נומערן און 4 בוכשטאבן, און עס נעמט צו אויספראבירן יעדע מעגליכע קאד, 10 סעקונדעס, וויפיל צייט דארף איך אוועק געבן כדי צו אויספראבירן ״אלע״ מעגליכע קאדס, ווען א קאד באשטייט פון 4 נומערן/בוכשטאבן (ווען עס איז דא א חילוק אויף וועלכע סדר, די קאד ווערט געדרוקט)?

א חסידישער קינדער-גארטן מלמד, וואס פלעגט מאכן זיינע 15 תלמידים טאנצן יעדן טאג אין א רינג, נישט ווילנדיג אז די קינדער זאלן זיך קריגן: איך וויל זיין אויף די לינקע זייט פון יענקי! איך וויל זיין אויף די רעכטע זייט פון מוישי! איז ער אויפגעקומען מיט א בריליאנטענע געדאנק: מען גייט יעדן טאג טוישן, אז עס זאל זיין אנדערש ווי נעכטן.
וויפיל אקטיווע טעג דארף אריבער גיין כדי אז יעדער אינגל זאל האבן געהאט די טשאנס צו זיין רעכטס און לינקס צו יעדער אנדערער אינגל?

איך פיל מיך גוט דיר צו געבן א לייק כאילו איך האב פארשטאנען

איך האב נישט קיין דעפינאציע פארן ווארט ״מעגליכקייט״.
אבער בנידון דידן, יא! איך רעד פון נוצן אלע קארטלעך ביי יעדע אויסשטעל.

שלום עליכם @Engager איך זעה אז מיר קענען אסאך קונה זיין פון אייך, איהר האט געשריבן דא, אזוי:

עס זענען דא א פאר שטיקלעך וועריאבעלס אין דיין הודעה:

מיינע ווערטער זענען געבעיסט אויף דיינע אייגענע ווערטער וואס דו האסט דא געשריבן, און הודאת בעל דין כמאה עדים.

דער פראבאביליטי אז עמיצער אויף קאווע שטיבל איז א היימישער יונגערמאן:
(P(A
לאמיר זאגען אז דאס איז 0.8

דער פראבאביליטי פון האבען אן אינטערעסע אין מאטעמאטיקס:
(P(B

דער פראבאביליטי פון האבען אן אינטערעסע אין מאטעמאטיקס נישט זייענדיג א חסיד:

לאמיר זאגען אז דאס איז P(B|A')=0.2.

דער פראבאביליטי פון א חסיד צו האבען אן אינטערעסע און מאטעמאטיקס:



לאמיר זאגען דו האלסט אז דאס איז P(B|A)=0.01.

ביסטו משוגע? פון יעדע הונדערט חסידים איז דא איין מענטש וואס האט א אינטערעסע אין מאטעמאטיקס. שווער צו גלויבן...
איך וואלט ענדערשער געזאגט אז עס איז א פראבאביליטי פון 0.001

אויב אזוי, פרעגסטו טאקע א גוטע קשיא: ווי אזוי קומט עס צו אז עמיצער ווי איך למשל (80% זיכער א היימישער יונגערמאן) זאל זיין פון דער 1% וואס האט אן אינטערעסע אין מאטעמאטיקס?
--
אבער, דו דארפסט צוריקגיין א טריט, און פרעגען קודם צו בין איך טאקע א היימישע יונגערמאן? לאמיר דאס אויסארבעטען מיט Bayes' Formula:




אויב אזוי, וואס איז (P(A|B)? דער פראבאביליטי אז איך בין א היימישער יונגערמאן, given that איך האב אן אינטערעסע אין מאטעמאטיקס?

0.8*0.01

(0.8*0.01) + (0.2*0.2)

= 0.1667

ממילא קומט יעצט אויס דער פראבאבילטי אז איך בין א היימישע יונגערמאן אויף בלויז 16.7%.
עס איז אסאך מער שייך (83.3%) אז איך בין נישט...
❗

לויט ווי מיין השערה קומט עס אויס נאך ווייניגער (כ׳האב עס נישט אויסגערעכנט פונקט, אבער כ׳מיין עס קומט אויס ביי די 6 פראצענט).
אבער מ׳דארף דא צולייגן אין באטראכט די פראצענט פון אומ-היימישע יונגעלייט וואס וועלן זאגן אויף זיך אז זיי זענען היימיש.

ווען די סדר מאכט אויס הייסט עס א פערמוטעישן, וואס דעמאלטס איז די פארמולא:

 n!/(n-k)!

ווען די סדר מאכט נישט אויס הייסט עס א קאמבינעישן, וואס דעמאלטס איז די פארמולא:

 n!/(n-k)!(k!)

פארוואס?

וויפיל צירופים פון שם הוי״ה זענען דא?

דאס איז שוין ״טריקי״. ווייל הגם דאס איז א פערמוטעישן וויבאלד די סדר צירופי האותיות מאכן אויס, זענען אבער דא צוויי ה׳ אותיות וואס מ׳קען נישט פונאנדערשיידן צווישן זיי ווועלכע איז ערשט און וועלכע צווייט, איז לגבם מאכט די סדר נישט אויס. אין אזא פאל מאלטיפלייט מען די דענאמינעיטאר/דיווייזאר אין די פערמוטעישן פארמולא ביי די פעקטאריאל פון צאל וואס איז געדאפלט; אין אונזער פאל !2, וויבאלד ה׳ איז דא צוויי מאל אין די ווארט.

אויב וואלט איך למשל געווען צוויי ה׳ס און דריי ג׳ס אינ׳ם ווארט אויף וואס איך וויל אויסרעכענען די פערמוטעישן, דעמאלטס מאלטיפליי איך די דענאמינעיטאר/דיווייזאר ביי סיי !2 און !3. דאס איז ווייל איך דיווייד עס אויך לויט וויפיל מאל ס׳קומט אויס די זעלבע.

אז מ׳האט גערעדט דא פונעם p-וועליוּ און וואס דאס באדייט איז דא אין דעם וואס מ׳רופט דעם עראָר/פאָלאָסיִ פון דעם טרענספּוֺיסד קאנדישענאל. דאס מיינט אז די p-וועליוּ באדייט בעצם די פראבעביליטי פון זעהן די אבזערוואציעס וואס איך האב געזעהן אָננעמענדיג אז די עפעקט איז וועגן דעם וואס איך זאג [די אָלטערנעט היפאטעזיע]; עס באדייט אבער נישט די פראבעביליטי פון דעם אז עס איז טאקע בעצם דא דעם עפעקט אָננעמענדיג די אבזערוואציעס וואס איך זעה - און דאס איז דער עיקר וואס איך וויל טאקע וויסן. אין אנדערע ווערטער, וואס דאס מיינט איז אז די p-וועליוּ געבט דיר נישט בעצם די פראבעביליטי פון דעם צי דיינע אבזערוואציעס האבן פאסירט ביי טשענס אליין.

דאס האט א שייכות מיט בּעיס׳ טעארעם אין דעם אז עס זאגט אז:
P(A|B) ≠ P(B|A

די באקאנטע קמע פון ר' יהונתן אייבשיץ ווי לויט ווי די מעשה גייט האט ער געשריבן א קמיע ווי ס'שטייט 45,760 מאל די ווערטער "עם ישראל חי לעולמי עד" צו מבטל זיין די גזירה צו פארטייבן די 45,760 אידן פון די שטאט מץ. (אויב די מעשה איז וואר ווייס איך נישט, אבער די קמיע איז זיכער אינטערסאנט).



אויב מ'הויבט אן פון די עי"ן אין די צענטער איז דא 45,760 וועגן וויאזוי צו ליינען די ווערטער.

אויב מ'נעמט איין פערטל קעסטל וועט מען אייבעג גיין ניין איין ריכטונג און זיבן די אנדערע ריכטונג. למשל, אויב מ'נעמט די אויבערשטע רעכטע חלק וועט מען אייבעג גיין ניין ארויף און זיבן רעכטס נאר איעדע וועג וועט זיין א אנדערע קאמבענאציע פון ניין ארויף און זיבן רעכטס.
אזוי אויך די אנדערע פערטל חלקים נאר דעמאלט וועט מען גיין אויף אנדערע ריכטונגען.

קומט אויס אז די סכום פון איין פערטל איז 16 טשוז 9. וואס דאס איז 16!/9!/7! (די נומערן קומען אויס פארקערט און כ'ווייס נישט וויאזוי עס צו פארעכטן). וואס דאס קומט אויס 11,440.
און אויב מ'מאכט עס מאל פיר וועט עס אויסקומען 45,760 וואס דאס איז די סכום פון אלע וועגן.